Doppelspalt
Zwei kohärente Spalte, ein Gangunterschied – und daraus die Wellenlänge des Lichts bestimmen.
Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen
Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.
Was bedeuten Sinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck?
Wann darf man sin α ≈ tan α ≈ α setzen?
Wie hängen Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit zusammen?
Was heißt Superposition (Überlagerung) von Wellen?
Einheiten: 532 nm in m? 0,25 mm in m? „500 Striche pro mm“ – wie groß ist g?
Was passiert am Doppelspalt?
Ein Laser beleuchtet eine Platte mit zwei schmalen Spalten (Spaltbreite $d$, Mittenabstand $g$). Im Abstand $a$ steht ein Schirm. Statt zweier heller Striche siehst du ein Streifenmuster: in der Mitte das helle Maximum 0. Ordnung, daneben abwechselnd dunkle und helle Streifen, die bei kleinen Winkeln alle gleich weit auseinanderliegen.
Erklärung in drei Sätzen (so, wie es in der Klausur stehen soll):
- Phänomen: Nach Huygens ist jeder Spalt Ausgangspunkt einer Elementarwelle; beide Spalte werden von derselben Welle angeregt und schwingen deshalb kohärent (gleiche Frequenz, feste Phasenbeziehung).
- Ursache: An einem Schirmpunkt $P$ haben die beiden Wellen verschiedene Wege zurückgelegt. Der Wegunterschied heißt Gangunterschied $\Delta s$.
- Bedingung: Ist $\Delta s$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\lambda$, treffen Berg auf Berg – Maximum. Ist $\Delta s$ ein ungerades Vielfaches von $\lambda/2$, treffen Berg auf Tal – Minimum.
Gangunterschied – das zentrale Konzept
Alles am Doppelspalt hängt an einer Größe: $\Delta s = |r_2 - r_1|$, der Differenz der beiden Weglängen von den Spalten zum Schirmpunkt. In der Notation des Regelhefts:
$$\text{Maxima: } \Delta s = n\cdot\lambda \quad (n = 0, 1, 2, \dots)\qquad\qquad \text{Minima: } \Delta s = \left(n - \tfrac12\right)\cdot\lambda \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$Das erste Minimum liegt also bei $\Delta s = \tfrac12\lambda$, das zweite bei $\tfrac32\lambda$. Gangunterschied und Phasendifferenz sind zwei Sprachen für dasselbe: $\Delta\varphi = 2\pi\cdot\dfrac{\Delta s}{\lambda}$. Ein Gangunterschied von $\lambda$ entspricht einer vollen Periode, also $2\pi$ – die Wellen sind wieder „im Takt“.
Von der Bedingung zur messbaren Größe
$\Delta s$ kann man nicht direkt messen. Zwei Dreiecke übersetzen es in Größen, die man mit dem Lineal bestimmt:
- Dreieck an den Spalten (Strahlen praktisch parallel, da $a \gg g$): $\Delta s = g\cdot\sin\alpha$.
- Dreieck Spalt–Schirm: $\tan\alpha_n = \dfrac{x_n}{a}$, wobei $x_n$ der Abstand des $n$-ten Maximums von der Mitte ist.
Für das Maximum $n$-ter Ordnung gilt damit $g\sin\alpha_n = n\lambda$, also $\sin\alpha_n = \dfrac{n\lambda}{g}$. Für kleine Winkel ($x_n \ll a$) ist $\sin\alpha \approx \tan\alpha$ und es folgt die Klausurformel
$$x_n \approx \frac{n\cdot\lambda\cdot a}{g}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta x = x_{n+1} - x_n = \frac{\lambda\cdot a}{g}$$Die Maxima liegen äquidistant; der Streifenabstand $\Delta x$ wächst mit $\lambda$ und $a$ und schrumpft mit $g$. Beispiel: $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, $g = 0{,}25\,\mathrm{mm}$, $a = 2{,}00\,\mathrm{m}$ ergibt $\Delta x = \dfrac{6{,}33\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}\cdot 2{,}00\,\mathrm{m}}{2{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}} = 5{,}06\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m} = 5{,}06\,\mathrm{mm}$.
Wenn die Winkel groß sind (Gitter, oder $x$ nicht mehr klein gegen $a$): keine Näherung, sondern exakt $\sin\alpha_n = \dfrac{x_n}{\sqrt{x_n^2 + a^2}}$ und damit $\lambda = \dfrac{g}{n}\cdot\dfrac{x_n}{\sqrt{x_n^2+a^2}}$.
Wellenlänge aus einer Messreihe – so holst du alle Punkte
Die Abituraufgabe gibt fast immer eine Messreihe: $x_n$ für mehrere Ordnungen $n$. Der sichere Weg:
- Symmetrisch messen: Abstand zwischen dem $n$-ten Maximum links und rechts ist $2x_n$ – halbieren. Das halbiert den Ablesefehler und verhindert Nullpunktfehler.
- $x_n$ gegen $n$ auftragen. Nach $x_n = \dfrac{\lambda a}{g}\cdot n$ ist das eine Ursprungsgerade mit Steigung $m = \dfrac{\lambda a}{g}$.
- Ausgleichsgerade zeichnen (oder rechnerisch), Steigung ablesen, $\lambda = \dfrac{m\cdot g}{a}$.
- Plausibilität: Liegt $\lambda$ zwischen $400$ und $700\,\mathrm{nm}$? Passt die Farbe des Lasers? Geht die Gerade durch den Ursprung?
- Unsicherheit: Die Ablesegenauigkeit $\pm 0{,}5\,\mathrm{mm}$ wirkt sich beim großen $x_5$ relativ weniger aus als bei $x_1$ – deshalb hohe Ordnungen bevorzugen und ein Intervall für $\lambda$ angeben.
Ein einzelner Messwert liefert zwar auch ein $\lambda$, aber die Aufgabe verlangt „aus der Messreihe“ – dafür gibt es die Punkte für Diagramm, Gerade und Steigung.
Was die Parameter mit dem Bild machen
| Änderung | Wirkung auf $\Delta x = \lambda a/g$ | Begründung |
|---|---|---|
| $\lambda$ größer (rot statt grün) | Streifen weiter auseinander | $\Delta x \propto \lambda$ |
| $g$ größer | Streifen enger | $\Delta x \propto 1/g$; gleicher $\Delta s$ wird schon bei kleinerem Winkel erreicht |
| $a$ größer | Streifen weiter auseinander, Winkel unverändert | $\tan\alpha = x/a$; die Winkel hängen nur von $\lambda$ und $g$ ab |
| Weißes Licht | Mitte weiß, außen Farbsäume (blau innen, rot außen) | Bei $n=0$ ist $\Delta s = 0$ für alle $\lambda$; sonst $x_n \propto \lambda$ |
| Spaltbreite $d$ kleiner | Maxima bleiben, Helligkeit nach außen nimmt langsamer ab | Einzelspalt-Einhüllende wird breiter (siehe Seite Einzelspalt) |
Besonderheit: Ist $g/d$ ganzzahlig, fällt das Doppelspaltmaximum der Ordnung $n = g/d$ genau auf ein Einzelspaltminimum und fehlt. Das ist eine beliebte „Erläutern“-Frage.
Simulation: Streifenmuster am Doppelspalt
Oben rechts siehst du den Schirm, unten die Intensität. Die gestrichelten Linien markieren die exakt berechneten Maxima.
- Halbiere $g$ mit dem Knopf. Was passiert mit $\Delta x$? Rechne vorher mit $\Delta x = \lambda a/g$ nach, dann vergleiche.
- Verdopple $a$ und $g$ gleichzeitig – warum bleibt der Streifenabstand gleich? Schalte dann die Einhüllende ein: Was ändert sich trotzdem, und warum?
- Schalte die Einhüllende ein und stelle $d$ so, dass $g/d = 3$ ist. Welche Ordnung verschwindet? Begründe mit beiden Bedingungen.
- Stelle $\lambda = 450$ nm und dann $650$ nm ein. Formuliere in einem Satz, was weißes Licht am Doppelspalt zeigt.
Herleitung: Lage der Maxima $x_n = \dfrac{n\,\lambda\, a}{g}$
Diese Herleitung ist Pflichtstoff. Im Abitur bringt sie nur dann volle Punkte, wenn die Skizze mit $g$, $\alpha$, $\Delta s$ und dem rechtwinkligen Dreieck dabei ist und jeder Schritt einen Grund hat. Tippe „Verdecken“ und versuche es zuerst selbst.
- Die beiden Spalte $S_1$ und $S_2$ (Abstand $g$) werden von derselben ebenen Welle getroffen. Sie schwingen daher gleichphasig und sind nach Huygens Ausgangspunkte zweier kohärenter Elementarwellen.
- Ein Schirmpunkt $P$ liegt weit entfernt ($a \gg g$). Die beiden Strahlen von $S_1$ und $S_2$ nach $P$ verlaufen daher praktisch parallel unter dem Winkel $\alpha$ zur Mittelachse.
- Fälle das Lot von $S_1$ auf den Strahl von $S_2$. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $g$ und Gegenkathete $\Delta s$ (der Winkel bei $S_1$ ist wieder $\alpha$, Winkel mit paarweise senkrechten Schenkeln).$$ \sin\alpha = \frac{\Delta s}{g}\quad\Rightarrow\quad \Delta s = g\cdot\sin\alpha $$
- Konstruktive Interferenz (Maximum $n$-ter Ordnung) tritt auf, wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist.$$ g\sin\alpha_n = n\cdot\lambda\quad\Rightarrow\quad \sin\alpha_n = \frac{n\lambda}{g} $$
- Im Dreieck Spaltmitte–Schirmmitte–$P$ gilt für den Abstand $x_n$ des Maximums von der Mitte:$$ \tan\alpha_n = \frac{x_n}{a} $$
- Für kleine Winkel ($x_n \ll a$, typisch $\alpha < 5^\circ$) gilt $\sin\alpha \approx \tan\alpha$. Gleichsetzen und nach $x_n$ auflösen:$$ \frac{x_n}{a} \approx \frac{n\lambda}{g}\quad\Rightarrow\quad x_n \approx \frac{n\cdot\lambda\cdot a}{g} $$
Formeln, die du sicher können musst
| Größe / Gesetz | Formel | Was sie sagt · wann sie gilt |
|---|---|---|
| Gangunterschied | $\Delta s = g\cdot\sin\alpha$ | Fernfeld ($a\gg g$), Strahlen parallel; $g$ = Spaltabstand |
| Maxima | $g\sin\alpha_n = n\lambda$ | $n = 0,1,2,\dots$; $n=0$ ist das Hauptmaximum in der Mitte |
| Minima | $g\sin\alpha_n = \left(n-\tfrac12\right)\lambda$ | $n = 1,2,\dots$ (Regelheft); 1. Minimum bei $\Delta s = \lambda/2$ |
| Schirmgeometrie | $\tan\alpha_n = \dfrac{x_n}{a}$ | $x_n$ Abstand von der Mitte, $a$ Schirmabstand – immer exakt gültig |
| Kleinwinkelnäherung | $x_n \approx \dfrac{n\lambda a}{g}$ | nur für $x_n \ll a$; Näherung in der Klausur benennen |
| Streifenabstand | $\Delta x = \dfrac{\lambda a}{g}$ | Maxima äquidistant; Steigung der Geraden $x_n(n)$ |
| Exakt (große Winkel) | $\sin\alpha_n = \dfrac{x_n}{\sqrt{x_n^2+a^2}}$ | wenn die Näherung nicht erlaubt ist (Gitter!) |
| Phasendifferenz | $\Delta\varphi = 2\pi\,\dfrac{\Delta s}{\lambda}$ | $\Delta s = \lambda \leftrightarrow \Delta\varphi = 2\pi$; Minimum bei $\Delta\varphi = \pi$ |
Typische Fehler – und wie du die Punkte holst
- $g$ und $d$ verwechselt – „Spaltabstand 0,1 mm“ als Spaltbreite in die Einzelspaltformel gesteckt.$g$ = Abstand der Spaltmitten (Doppelspalt, Gitter), $d$ = Breite eines Spalts (Einzelspalt). In der Doppelspaltbedingung steht immer $g$. Schreib beide Größen mit Bezeichnung in die Skizze.
- Minima mit $\Delta s = n\cdot\lambda/2$ angesetzt – dann wäre $n=2$ schon ein Maximum.Regelheft: Minima bei $\Delta s = (n-\tfrac12)\lambda$ mit $n = 1,2,\dots$ Das 1. Minimum liegt bei $\lambda/2$, das 2. bei $3\lambda/2$. Einmal $n = 1$ einsetzen und prüfen.
- $\sin\alpha = x/a$ geschrieben (oder $\sin$ und $\tan$ stillschweigend gleichgesetzt).Exakt gilt $\tan\alpha = x/a$. Erst mit der Begründung „$x \ll a$, also kleine Winkel“ darf $\sin\alpha \approx \tan\alpha$ benutzt werden – dieser Satz ist ein Punkt im Erwartungshorizont.
- $\lambda$ nur aus einem einzigen Messwert bestimmt, obwohl eine Messreihe gegeben war.Diagramm $x_n$ gegen $n$, Ausgleichsgerade, Steigung $m$, dann $\lambda = m g/a$. Begründung: Zufallsfehler mitteln sich heraus, Nullpunktfehler zeigt sich als Achsenabschnitt.
- Einheiten gemischt: $g$ in mm, $a$ in m, $x$ in cm – Ergebnis um Zehnerpotenzen falsch, nicht bemerkt.Vor dem Einsetzen alles in m umrechnen, Ergebnis in SCI-3 ($5{,}32\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$), dann Plausibilitätshaken: liegt $\lambda$ zwischen $4\cdot 10^{-7}$ und $7\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$?
- Beim „Erläutern“ nur die Formel hingeschrieben.Drei-Satz-Regel: Phänomen (Streifen) – Ursache (Gangunterschied der kohärenten Elementarwellen) – Bedingung ($\Delta s = n\lambda$ bzw. $(n-\tfrac12)\lambda$). Dann erst die Formel.
- Erläutern (Streifenmuster, fehlende Ordnung, weißes Licht): Phänomen → Ursache → Bedingung, in ganzen Sätzen, mit Fachbegriffen Kohärenz, Gangunterschied, konstruktiv/destruktiv.
- Zeigen / Leiten Sie her: beschriftete Skizze ($S_1$, $S_2$, $g$, $\alpha$, $\Delta s$, Lot), jede Zeile mit Begründung („da $a\gg g$ parallel“, „für kleine Winkel“), am Ende Schlusssatz mit der gesuchten Formel.
- Berechnen / Bestimmen: Formel – Umstellen – Einsetzen mit Einheiten – Ergebnis mit 3 gültigen Ziffern – Antwortsatz. Bei Messreihe: Diagramm und Steigung.
- Beurteilen: Annahmen prüfen (Kleinwinkel? Kohärenz? Ablesegenauigkeit?), Vergleich mit Literaturwert über ein Unsicherheitsintervall, nicht nur „stimmt ungefähr“.
5 harte Fragen – hast du es wirklich verstanden?
Offene Aufgaben auf Papier lösen (Zeit stoppen!), erst dann die Lösung aufdecken und ehrlich Punkte geben. Die Ergebnisse werden auf diesem Gerät gespeichert.
Wellenlänge und Näherung
Ein grüner Laser beleuchtet einen Doppelspalt. Der Schirm steht im Abstand $a = 3{,}20\,\mathrm{m}$. Zwischen dem 3. Maximum links und dem 3. Maximum rechts der Mitte misst man $41{,}0\,\mathrm{mm}$. Die Wellenlänge des Lasers beträgt $\lambda = 532\,\mathrm{nm}$.
- Bestimme den Spaltabstand $g$.
- Prüfe rechnerisch, ob die Kleinwinkelnäherung hier zulässig ist.
- Der Laser wird durch eine weiße Lichtquelle ersetzt. Beschreibe und begründe, wie sich das Schirmbild ändert.
- 3 Pa) Ansatz $x_3 = 20{,}5\,\mathrm{mm}$ (Halbierung begründet), $x_n = n\lambda a/g$ umgestellt zu $g = n\lambda a/x_n$, Einsetzen mit Einheiten
- 1 Pa) $g = 2{,}49\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m} = 0{,}249\,\mathrm{mm}$ mit Antwortsatz
- 3 Pb) $\tan\alpha_3 = x_3/a$ berechnet, $\alpha_3 \approx 0{,}37^\circ$, Vergleich $\sin$/$\tan$ (Abweichung $\ll 1\,\%$), Urteil: zulässig
- 3 Pc) Mitte weiß (für $n=0$ ist $\Delta s = 0$ für alle $\lambda$); seitlich Farbsäume blau innen, rot außen wegen $x_n \propto \lambda$; ab höheren Ordnungen Überlappung, Kontrast verschwindet
a) Der gemessene Abstand ist $2x_3$, also $x_3 = 20{,}5\,\mathrm{mm} = 2{,}05\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}$. Aus $x_n = \dfrac{n\lambda a}{g}$ folgt $$g = \frac{n\,\lambda\, a}{x_n} = \frac{3\cdot 5{,}32\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}\cdot 3{,}20\,\mathrm{m}}{2{,}05\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}} = 2{,}49\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}.$$ Der Spaltabstand beträgt $0{,}249\,\mathrm{mm}$.
b) $\tan\alpha_3 = \dfrac{x_3}{a} = \dfrac{0{,}0205}{3{,}20} = 6{,}41\cdot 10^{-3}$, also $\alpha_3 = 0{,}367^\circ$. Dann ist $\sin\alpha_3 = 6{,}41\cdot 10^{-3}$ – auf drei gültige Ziffern identisch mit $\tan\alpha_3$ (relative Abweichung $\approx \alpha^2/2 \approx 2\cdot 10^{-5}$). Die Näherung $\sin\alpha\approx\tan\alpha$ ist also zulässig; $g$ ändert sich bei exakter Rechnung nicht.
c) Weißes Licht enthält alle Wellenlängen von etwa $400$ bis $700\,\mathrm{nm}$. In der Mitte ($n=0$) ist der Gangunterschied für jede Wellenlänge null, alle Farben verstärken sich dort – das Maximum 0. Ordnung bleibt weiß. Für $n \ge 1$ gilt $x_n = n\lambda a/g \propto \lambda$: Jede Farbe hat ihr Maximum an einer anderen Stelle, es entstehen farbige Säume, innen (kleines $x$) blau/violett, außen rot. Da das rote Maximum 1. Ordnung ($x \approx 1{,}75\cdot x_{\text{blau}}$) schon fast beim blauen 2. Ordnung liegt, überlappen sich die Spektren ab der 2. Ordnung und das Muster wird kontrastarm. Zusätzlich ist weißes Licht aus einer Glühlampe weniger kohärent, sodass nur wenige Ordnungen sichtbar sind.
Herleitung der Minima
Leite die Bedingung für die Minima am Doppelspalt her und zeige, dass die Minima bei kleinen Winkeln genau in der Mitte zwischen benachbarten Maxima liegen. Fertige eine beschriftete Skizze an.
- 2 PSkizze: $S_1$, $S_2$, $g$, parallele Strahlen unter $\alpha$, Lot, $\Delta s$ eingezeichnet
- 2 P$\Delta s = g\sin\alpha$ aus dem rechtwinkligen Dreieck begründet (Fernfeld $a\gg g$)
- 2 PDestruktive Interferenz: Berg trifft Tal, Phasendifferenz $\pi$ bzw. ungerades Vielfaches davon $\Rightarrow$ $\Delta s = (n-\tfrac12)\lambda$, $n = 1, 2, \dots$
- 2 PKleinwinkel: $x^{\min}_n = (n-\tfrac12)\lambda a/g = \tfrac12\,(x_{n-1} + x_n)$, Schlusssatz
Skizze: Platte mit $S_1$ und $S_2$ im Abstand $g$; von beiden ein Strahl unter dem Winkel $\alpha$ nach rechts oben; Lot von $S_1$ auf den unteren Strahl; das Stück zwischen Lotfußpunkt und $S_2$ ist $\Delta s$.
Weil der Schirm weit entfernt ist ($a \gg g$), laufen die Strahlen zu einem Schirmpunkt praktisch parallel. Im rechtwinkligen Dreieck $S_1$–$S_2$–Lotfußpunkt ist $g$ die Hypotenuse und $\Delta s$ die Gegenkathete des Winkels $\alpha$ (Winkel mit paarweise senkrechten Schenkeln), also $\Delta s = g\sin\alpha$.
Auslöschung tritt ein, wenn die beiden Wellen gegenphasig ankommen: Wellenberg trifft Wellental. Das ist der Fall, wenn der Gangunterschied eine halbe Wellenlänge oder eine halbe plus ganze Wellenlängen beträgt: $$\Delta s = \left(n - \tfrac12\right)\lambda,\quad n = 1, 2, 3,\dots\qquad\Rightarrow\qquad g\sin\alpha_n = \left(n-\tfrac12\right)\lambda .$$
Mit $\tan\alpha = x/a$ und für kleine Winkel $\sin\alpha\approx\tan\alpha$ folgt für das $n$-te Minimum $x^{\min}_n = \dfrac{(n-\frac12)\lambda a}{g}$. Die Maxima liegen bei $x_{n-1} = \dfrac{(n-1)\lambda a}{g}$ und $x_n = \dfrac{n\lambda a}{g}$; ihr Mittelwert ist $\dfrac{(n-\frac12)\lambda a}{g} = x^{\min}_n$.
Schlusssatz: Die Minima erfüllen $g\sin\alpha_n = (n-\tfrac12)\lambda$ und liegen bei kleinen Winkeln genau in der Mitte zwischen zwei benachbarten Maxima, was zu zeigen war.
Messreihe auswerten
Mit einem Doppelspalt ($g = 0{,}20\,\mathrm{mm}$) und Schirmabstand $a = 1{,}50\,\mathrm{m}$ wurden die Abstände der Maxima von der Mitte gemessen:
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $x_n$ in mm | 4,1 | 8,3 | 12,2 | 16,5 | 20,4 |
- Bestimme die Wellenlänge des Lichts aus der gesamten Messreihe.
- Begründe, warum dieses Verfahren einem einzelnen Messwert vorzuziehen ist.
- Die Ablesegenauigkeit beträgt $\pm 0{,}3\,\mathrm{mm}$. Gib für $\lambda$ ein Unsicherheitsintervall an, das sich aus $x_5$ ergibt, und beurteile, ob ein Laser mit $\lambda = 532\,\mathrm{nm}$ in Frage kommt.
- 3 Pa) $x_n$ gegen $n$ aufgetragen (oder rechnerisch), Ursprungsgerade erkannt, Steigung $m \approx 4{,}08\,\mathrm{mm}$ je Ordnung
- 2 Pa) $\lambda = m g/a = 5{,}44\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m} = 544\,\mathrm{nm}$ mit Einheiten und Antwortsatz
- 1 Pb) Zufallsfehler mitteln sich heraus; systematischer Nullpunktfehler wäre als Achsenabschnitt sichtbar; Linearität bestätigt die Näherung
- 2 Pc) $\lambda_5 = 544\,\mathrm{nm}$, relative Unsicherheit $0{,}3/20{,}4 = 1{,}5\,\%$ $\Rightarrow$ $\lambda \in [536; 552]\,\mathrm{nm}$; $532\,\mathrm{nm}$ liegt knapp außerhalb $\Rightarrow$ eher nicht (oder: nur bei zusätzlicher Unsicherheit von $g$, $a$)
a) Nach $x_n = \dfrac{\lambda a}{g}\cdot n$ liegen die Messpunkte auf einer Ursprungsgeraden mit Steigung $m = \lambda a/g$. Ausgleichsgerade (rechnerisch mit Mittelwerten $\bar n = 3$, $\bar x = 12{,}3\,\mathrm{mm}$): $$m = \frac{\sum (n-\bar n)(x_n-\bar x)}{\sum (n-\bar n)^2} = \frac{16{,}4 + 4{,}0 + 0 + 4{,}2 + 16{,}2}{4+1+0+1+4}\,\mathrm{mm} = \frac{40{,}8}{10}\,\mathrm{mm} = 4{,}08\,\mathrm{mm}.$$ Achsenabschnitt $\bar x - m\bar n = 0{,}06\,\mathrm{mm} \approx 0$ – die Gerade geht durch den Ursprung, wie erwartet. Damit $$\lambda = \frac{m\,g}{a} = \frac{4{,}08\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}}{1{,}50\,\mathrm{m}} = 5{,}44\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}.$$ Die Wellenlänge beträgt $544\,\mathrm{nm}$ (grünes Licht – plausibel).
b) Jeder einzelne Wert $x_n$ trägt einen zufälligen Ablesefehler von $\pm 0{,}3\,\mathrm{mm}$. In der Ausgleichsgeraden gleichen sich diese Abweichungen teilweise aus, die Steigung ist genauer als jeder Einzelwert. Außerdem prüft die Messreihe das Modell: Liegen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden, ist die Kleinwinkelnäherung bestätigt; ein Fehler beim Nullpunkt (Mitte falsch gesetzt) würde als Achsenabschnitt sichtbar, bei einem Einzelwert bliebe er unbemerkt.
c) Aus $x_5$ allein: $\lambda = \dfrac{x_5\, g}{5a} = \dfrac{20{,}4\cdot 10^{-3}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-4}}{5\cdot 1{,}50}\,\mathrm{m} = 5{,}44\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$. Relative Unsicherheit $\dfrac{0{,}3}{20{,}4} = 1{,}5\,\%$, also $\Delta\lambda = 8\,\mathrm{nm}$ und $\lambda \in [536\,\mathrm{nm};\,552\,\mathrm{nm}]$. Der Wert $532\,\mathrm{nm}$ liegt knapp außerhalb des Intervalls. Berücksichtigt man zusätzlich Unsicherheiten von $g$ und $a$ (je etwa $1\,\%$), wäre $532\,\mathrm{nm}$ gerade noch verträglich – ein grüner Laser ist also nicht ausgeschlossen, aber die Messung spricht eher für eine etwas längere Wellenlänge.
Welcher Gangunterschied liegt beim 2. Minimum neben der Mitte vor?
Beim Doppelspaltversuch werden Spaltabstand $g$ und Schirmabstand $a$ beide verdoppelt. Was passiert mit dem Streifenabstand $\Delta x$ auf dem Schirm?
Meine Notizen zu „Doppelspalt“
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