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Wellen (Q2) · Klausur 19.10.

Einzelspalt: Beugung und Minima

Ein einziger schmaler Spalt macht aus einem Lichtstrahl ein breites Hauptmaximum mit dunklen Minima – und je schmaler der Spalt, desto breiter das Bild.

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Das Wichtigste in einem SatzHinter einem Spalt der Breite $d$ entsteht ein breites helles Hauptmaximum mit schwachen Nebenmaxima, weil nach Huygens alle Punkte der Spaltöffnung Elementarwellen aussenden, die miteinander interferieren. Dunkel wird es dort, wo sich das Bündel in Paare zerlegen lässt, die sich gegenseitig auslöschen: $\sin\alpha_n = \dfrac{n\lambda}{d}$ mit $n = 1, 2, \dots$ Das Hauptmaximum ist auf dem Schirm etwa $2x_1 \approx \dfrac{2\lambda a}{d}$ breit – schmaler Spalt, breites Bild.

Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen

Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.

Was besagt das Huygenssche Prinzip?
Jeder Punkt, den eine Welle erreicht, ist Ausgangspunkt einer kreisförmigen (räumlich: kugelförmigen) Elementarwelle mit derselben Frequenz. Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die neue Wellenfront. Für eine ebene Welle, die ungestört läuft, bleibt so eine ebene Welle. Trifft sie auf eine Öffnung, senden nur die Punkte in der Öffnung Elementarwellen aus – genau das macht die Beugung am Spalt rechenbar.
Was ist Beugung, und wann ist sie stark?
Beugung heißt: Wellen laufen hinter einem Hindernis oder einer Öffnung auch in den geometrischen Schattenraum hinein. Sie ist stark, wenn die Öffnung etwa so groß ist wie die Wellenlänge, und kaum sichtbar, wenn die Öffnung sehr viel größer ist. Beispiel Wasserwellen: Durch eine $2\,\mathrm{cm}$ breite Lücke laufen $3\,\mathrm{cm}$-Wellen als Halbkreise weiter; durch eine $50\,\mathrm{cm}$ breite Lücke fast geradlinig. Schall ($\lambda \approx 1\,\mathrm{m}$) hört man um die Ecke, Licht ($\lambda \approx 5\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$) sieht man nur durch sehr schmale Spalte gebeugt.
Wie groß ist der Gangunterschied zweier paralleler Strahlen, die von zwei Punkten im Abstand $b$ unter dem Winkel $\alpha$ starten?
$\Delta s = b\cdot\sin\alpha$. Begründung: Fälle das Lot vom einen Startpunkt auf den anderen Strahl; es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $b$ und Gegenkathete $\Delta s$ zum Winkel $\alpha$. Beispiel: $b = 0{,}1\,\mathrm{mm}$, $\alpha = 0{,}3^\circ$: $\Delta s = 10^{-4}\,\mathrm{m}\cdot 0{,}00524 = 5{,}2\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$, also etwa eine Lichtwellenlänge. Diese Formel brauchst du beim Doppelspalt mit $b = g$, beim Einzelspalt mit $b = d$ oder $b = d/2$.
Wann löschen sich zwei Wellen aus?
Wenn sie gleiche Frequenz und Amplitude haben und gegenphasig ankommen: Berg trifft Tal. Das ist bei einem Gangunterschied von $\lambda/2$ (oder $\tfrac32\lambda$, $\tfrac52\lambda$, …) der Fall, als Phasendifferenz $\Delta\varphi = \pi$. Haben die Amplituden verschiedene Größe, bleibt ein Rest – deshalb muss bei der Teilbündelmethode jeder Strahl einen gleich starken Partner haben.
Wann darf man $\sin\alpha\approx\tan\alpha\approx\alpha$ setzen – und warum ist $\sin\alpha \le 1$ wichtig?
Für kleine Winkel ($x \ll a$, praktisch $\alpha \lt 5^\circ$) weichen $\sin\alpha$ und $\tan\alpha$ um weniger als $0{,}4\,\%$ voneinander ab. Beim Einzelspalt mit $d = 0{,}2\,\mathrm{mm}$ liegt das erste Minimum bei $\alpha_1 = 0{,}18^\circ$ – Näherung erlaubt. Andererseits kann $\sin\alpha$ nie größer als 1 werden: Eine Bedingung wie $\sin\alpha_n = n\lambda/d$ hat nur dann eine Lösung, wenn $n\lambda \le d$. Ist der Spalt schmaler als eine Wellenlänge, gibt es kein Minimum.
Einheiten: Wie dick ist ein Haar ($70\,\mathrm{\mu m}$) in Metern? Und $0{,}2\,\mathrm{mm}$?
$70\,\mathrm{\mu m} = 70\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m} = 7{,}0\cdot 10^{-5}\,\mathrm{m}$; $0{,}2\,\mathrm{mm} = 2\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}$. Zum Vergleich: $\lambda = 633\,\mathrm{nm} = 6{,}33\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$. Ein Haar ist also etwa $100$ Wellenlängen dick, ein typischer Laborspalt $300$ Wellenlängen – Beugung ist sichtbar, aber die Winkel bleiben klein. Immer erst in Meter umrechnen, dann einsetzen.

Was passiert am Einzelspalt?

Ein Laser trifft auf einen einzelnen Spalt der Breite $d$ (typisch $0{,}05$ bis $0{,}5\,\mathrm{mm}$). Im Abstand $a$ steht ein Schirm. Nach der geometrischen Optik müsste dort ein scharfer heller Strich von der Breite $d$ erscheinen. Stattdessen siehst du ein Beugungsbild: in der Mitte ein breites, helles Hauptmaximum, daneben dunkle Minima und dazwischen schwache Nebenmaxima, die nach außen schnell dunkler werden.

Erklärung in drei Sätzen (Klausurformat):

  1. Phänomen: Nach Huygens ist jeder Punkt der Spaltöffnung Ausgangspunkt einer Elementarwelle. Alle diese Elementarwellen sind kohärent, weil sie von derselben einlaufenden Welle angeregt werden.
  2. Ursache: Zu einem Schirmpunkt unter dem Winkel $\alpha$ haben die Elementarwellen aus verschiedenen Teilen des Spalts unterschiedliche Wege – zwischen den beiden Randstrahlen beträgt der Gangunterschied $d\sin\alpha$. Die Elementarwellen interferieren.
  3. Bedingung: Lässt sich das Bündel so in Paare zerlegen, dass jedes Paar den Gangunterschied $\lambda/2$ hat, löscht sich alles aus: Minimum bei $d\sin\alpha_n = n\lambda$. Geradeaus ($\alpha = 0$) haben alle Elementarwellen denselben Weg – Hauptmaximum.

Zwei Dinge unterscheiden das Bild vom Doppelspalt: Das Hauptmaximum ist doppelt so breit wie jedes Nebenmaximum, und die Nebenmaxima sind sehr viel schwächer (das erste hat nur rund $4{,}5\,\%$ der Intensität des Hauptmaximums, das zweite $1{,}6\,\%$). Beim Doppelspalt sind die Streifen dagegen gleich breit und – ohne Einhüllende – gleich hell.

Warum wird es dunkel? Die Teilbündelmethode

Beim Doppelspalt hattest du zwei Wellen. Beim Einzelspalt hast du unendlich viele – eine aus jedem Punkt der Öffnung. Der Trick, um damit ohne Integral umzugehen, heißt Teilbündelmethode (auch Paarmethode):

  1. Betrachte das Bündel aller Strahlen, die den Spalt unter demselben Winkel $\alpha$ verlassen (Fernfeld: $a \gg d$, Strahlen parallel). Die Randstrahlen haben den Gangunterschied $\Delta s = d\sin\alpha$.
  2. Teile das Bündel in zwei gleich breite Hälften. Jeder Strahl der oberen Hälfte hat einen Partner in der unteren Hälfte im Abstand $d/2$. Das Paar hat den Gangunterschied $\dfrac d2\sin\alpha$.
  3. Ist dieser Gangunterschied genau $\lambda/2$, löschen sich die beiden Partner aus. Weil das für jedes Paar gilt, löscht sich das gesamte Bündel aus: 1. Minimum bei $\dfrac d2\sin\alpha_1 = \dfrac\lambda2$, also $d\sin\alpha_1 = \lambda$.
  4. Für das $n$-te Minimum teilst du in $2n$ Teilbündel: Partner in benachbarten Teilbündeln haben den Abstand $\dfrac{d}{2n}$, die Bedingung lautet $\dfrac{d}{2n}\sin\alpha_n = \dfrac\lambda2$, also $d\sin\alpha_n = n\lambda$.
Die wichtigste Falle dieses Kapitels
Beim Einzelspalt liegt das erste Minimum, wenn die Randstrahlen den Gangunterschied $\lambda$ haben – nicht $\lambda/2$! Bei $d\sin\alpha = \lambda/2$ löschen sich zwar die beiden Randstrahlen aus, aber die Strahlen aus der Mitte des Spalts haben untereinander viel kleinere Gangunterschiede und bleiben übrig; dort ist es noch etwa $40\,\%$ so hell wie in der Mitte. Erst wenn jeder Strahl einen Partner mit Gangunterschied $\lambda/2$ hat, wird es dunkel.

Zwischen zwei Minima bleibt Licht übrig: Teilst du das Bündel bei $d\sin\alpha = \tfrac32\lambda$ in drei Teilbündel, löschen sich zwei davon paarweise aus, das dritte bleibt – ein Nebenmaximum mit nur einem Drittel der Breite und entsprechend kleiner Intensität. Deshalb liegen die Nebenmaxima näherungsweise bei $d\sin\alpha \approx (n + \tfrac12)\lambda$ und sind so schwach.

Die Mathematik: Minima, Breite, Intensität

In der Schreibweise des Regelhefts lautet die Minima-Bedingung

$$\sin\alpha_n = \frac{n\cdot\lambda}{d},\qquad n = 1, 2, 3, \dots$$

Achtung: Hier beginnt $n$ bei 1, und $n = 0$ ist kein Minimum, sondern das Hauptmaximum. Aus $\sin\alpha \le 1$ folgt sofort: Minima existieren nur für $n\lambda \le d$. Bei $d = 10\lambda$ gibt es neun Minima pro Seite (das zehnte läge bei $90^\circ$), bei $d \le \lambda$ gar keins – der Spalt strahlt dann in den gesamten Halbraum.

Auf dem Schirm gilt wie immer $\tan\alpha_n = x_n/a$. Für kleine Winkel ($x_n \ll a$) ist $\sin\alpha\approx\tan\alpha$ und

$$x_n \approx \frac{n\lambda a}{d}\qquad\Rightarrow\qquad \text{Breite des Hauptmaximums } b_0 = 2x_1 \approx \frac{2\lambda a}{d}$$

Die Minima liegen äquidistant im Abstand $\lambda a/d$; das Hauptmaximum reicht von $-x_1$ bis $+x_1$ und ist damit doppelt so breit wie jedes Nebenmaximum (die liegen zwischen zwei benachbarten Minima). Beispiel: $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, $d = 0{,}20\,\mathrm{mm}$, $a = 2{,}5\,\mathrm{m}$: $x_1 = \dfrac{6{,}33\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}\cdot 2{,}5\,\mathrm{m}}{2{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}} = 7{,}9\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}$, Hauptmaximum $15{,}8\,\mathrm{mm}$ breit – obwohl der Spalt nur $0{,}2\,\mathrm{mm}$ breit ist.

Der vollständige Intensitätsverlauf (nur kennen, nicht herleiten) lautet

$$I(\alpha) = I_0\cdot\left(\frac{\sin u}{u}\right)^2\qquad\text{mit}\qquad u = \frac{\pi\, d\sin\alpha}{\lambda}.$$

Prüfe, dass das zur Teilbündelmethode passt: $\sin u = 0$ genau dann, wenn $u = n\pi$, also $d\sin\alpha = n\lambda$ – die Minima. Für $u \to 0$ geht $\sin u/u \to 1$ – das Hauptmaximum. Die Nebenmaxima liegen ungefähr bei $u \approx (n+\tfrac12)\pi$ mit den Intensitäten $\left(\dfrac{2}{3\pi}\right)^2 = 4{,}5\,\%$ und $\left(\dfrac{2}{5\pi}\right)^2 = 1{,}6\,\%$ von $I_0$ (genauer Wert des ersten: $4{,}7\,\%$, es liegt etwas vor $1{,}5\pi$).

Messen mit dem Einzelspalt: Spaltbreite, Haar, Draht

Die Standardaufgabe: Aus dem Beugungsbild die Spaltbreite bestimmen. Umgestellt nach $d$ (kleine Winkel):

$$d = \frac{n\lambda a}{x_n}\qquad\text{bzw. exakt}\qquad d = \frac{n\lambda}{\sin\alpha_n} = n\lambda\cdot\frac{\sqrt{x_n^2+a^2}}{x_n}.$$

Rechenbeispiel: Laser $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, Schirmabstand $a = 2{,}50\,\mathrm{m}$, erstes Minimum bei $x_1 = 7{,}9\,\mathrm{mm}$ (gemessen als halber Abstand der beiden ersten Minima). Dann $d = \dfrac{1\cdot 6{,}33\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}\cdot 2{,}50\,\mathrm{m}}{7{,}9\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}} = 2{,}00\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m} = 0{,}200\,\mathrm{mm}$. Kontrolle der Näherung: $\tan\alpha_1 = 0{,}0079/2{,}50 = 0{,}00316$, also $\alpha_1 = 0{,}18^\circ$ – weit unter $5^\circ$.

Haar oder dünner Draht statt Spalt: Nach dem Babinetschen Prinzip erzeugt ein Hindernis der Breite $d$ (außerhalb der Mitte) dasselbe Beugungsbild wie ein Spalt derselben Breite: Spalt und Hindernis ergänzen sich zur ungestörten Welle, die außerhalb von $\alpha = 0$ nichts liefert – also müssen ihre Beugungswellen dort gleich groß (nur mit entgegengesetztem Vorzeichen) sein, und die Intensität ist gleich. Ein Haar mit $d = 70\,\mathrm{\mu m}$ liefert bei $a = 2\,\mathrm{m}$ und $633\,\mathrm{nm}$ ein Hauptmaximum von $2\lambda a/d = 36\,\mathrm{mm}$ Breite – gut messbar. So bestimmt man Haardicken oder Drahtdurchmesser auf wenige Prozent genau.

So holst du bei der Messaufgabe alle Punkte
  • Abstände symmetrisch messen (Minimum links bis Minimum rechts) und halbieren – die Minima sind scharf, die Maxima nicht; darum misst man beim Einzelspalt immer Minima.
  • Mehrere Ordnungen: $x_n$ gegen $n$ auftragen, Ursprungsgerade mit Steigung $m = \lambda a/d$, dann $d = \lambda a/m$.
  • Hohe Ordnung bevorzugen: Bei $\pm 0{,}5\,\mathrm{mm}$ Ablesegenauigkeit ist der relative Fehler bei $x_3 = 24\,\mathrm{mm}$ nur ein Drittel so groß wie bei $x_1$.
  • Plausibilität: Spalte $0{,}05$–$0{,}5\,\mathrm{mm}$, Haare $0{,}05$–$0{,}1\,\mathrm{mm}$. Kommt $2\,\mathrm{mm}$ oder $2\,\mathrm{\mu m}$ heraus, stimmt eine Einheit nicht.

Parameter, Grenzfälle und die Brücke zum Doppelspalt

ÄnderungWirkung auf $b_0 = 2\lambda a/d$Begründung
$d$ halbierenHauptmaximum doppelt so breit, Minima doppelt so weit auseinander$\sin\alpha_1 = \lambda/d$ – ein schmalerer Spalt braucht einen größeren Winkel für denselben Gangunterschied $\lambda$
$\lambda$ größer (rot statt blau)breiter$b_0 \propto \lambda$; weißes Licht: Mitte weiß, Ränder des Hauptmaximums rötlich
$a$ größerbreiter, Winkel unverändert$\tan\alpha = x/a$; die Winkel hängen nur von $\lambda/d$ ab
$d \gg \lambda$ (z. B. $d = 1\,\mathrm{cm}$)$\alpha_1 \approx 0{,}004^\circ$ – praktisch kein Beugungsbildgeometrischer Schatten; Beugung spielt keine Rolle
$d \approx \lambda$ oder kleinerkein Minimum, Licht im gesamten Halbraum$\sin\alpha_1 = \lambda/d \ge 1$ hat keine Lösung – der Spalt wirkt wie eine punktförmige Quelle (Huygens)

Merksatz: Je schmaler der Spalt, desto breiter das Beugungsbild. Das widerspricht der Alltagsintuition und ist deshalb eine beliebte Erläutern-Frage.

Brücke zum Doppelspalt: Auch die Spalte eines Doppelspalts haben eine Breite $d$. Das Doppelspaltmuster $\cos^2$ wird deshalb mit dem Einzelspaltverlauf multipliziert:

$$I(\alpha) = I_0\cdot\cos^2\!\left(\frac{\pi g\sin\alpha}{\lambda}\right)\cdot\left(\frac{\sin u}{u}\right)^2,\qquad u = \frac{\pi d\sin\alpha}{\lambda}.$$

Der Einzelspalt bildet die Einhüllende der Doppelspaltstreifen. Fällt ein Doppelspaltmaximum ($g\sin\alpha = n\lambda$) auf ein Einzelspaltminimum ($d\sin\alpha = m\lambda$), fehlt diese Ordnung: Das passiert für $n = m\cdot g/d$, also immer dann, wenn $g/d$ ganzzahlig ist. Bei $g = 4d$ fehlen die Ordnungen $4, 8, 12,\dots$ – schalte in der Simulation den Vergleich ein und zähle nach. (Die Herleitung des Doppelspalts findest du auf der Seite Doppelspalt.)

Simulation: Beugungsbild am Einzelspalt

Oben der Schirm (Helligkeit für die schwachen Nebenmaxima angehoben), unten der echte Intensitätsverlauf. Gestrichelte Linien markieren die Minima n = 1, 2, 3.

Probiere in der Simulation
  • Sage voraus, was mit $x_1$ passiert, wenn du $d$ halbierst. Drücke dann den Knopf und prüfe mit $x_1 = \lambda a/d$.
  • Stelle $d = 10\lambda$ ein. Wie viele Minima gibt es höchstens pro Seite, und bei welchem Winkel liegt das erste? Rechne mit $\sin\alpha_n = n\lambda/d$ nach, bevor du auf das Readout schaust.
  • Drücke „$d = \lambda$“. Erkläre mit $\sin\alpha \le 1$, warum kein Minimum mehr existiert und wie das Schirmbild dann aussieht.
  • Schalte den Vergleich mit dem Doppelspaltmuster ($g = 4d$) ein. Welche Doppelspalt-Ordnung fällt auf das erste Einzelspaltminimum? Begründe mit beiden Bedingungen.

Herleitung: Minima am Einzelspalt: $\sin\alpha_n = \dfrac{n\lambda}{d}$ (Teilbündelmethode)

Diese Herleitung steht so im Regelheft und ist Pflicht. Punkte gibt es für die Skizze (Spalt der Breite $d$, paralleles Bündel unter $\alpha$, Aufteilung in Hälften, Partnerstrahlen im Abstand $d/2$, Gangunterschied eingezeichnet), für das Argument „paarweise Auslöschung“ und für die Verallgemeinerung auf $2n$ Teilbündel. Erst „Verdecken“, dann selbst versuchen.

  1. Eine ebene Welle trifft senkrecht auf einen Spalt der Breite $d$. Nach Huygens ist jeder Punkt der Öffnung Ausgangspunkt einer Elementarwelle; alle Elementarwellen starten gleichphasig und sind kohärent.
  2. Der Schirm ist weit entfernt ($a \gg d$). Alle Elementarwellen, die zu einem Schirmpunkt gelangen, verlassen den Spalt daher praktisch parallel unter demselben Winkel $\alpha$ zur Mittelachse. Für die beiden Randstrahlen entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $d$ und Gegenkathete $\Delta s_{\text{Rand}}$ (Winkel mit paarweise senkrechten Schenkeln):
    $$ \Delta s_{\text{Rand}} = d\cdot\sin\alpha $$
  3. Teile das Bündel in zwei gleich breite Hälften. Zu jedem Strahl der oberen Hälfte gehört ein Partnerstrahl der unteren Hälfte im Abstand $d/2$. Jedes dieser Paare hat denselben Gangunterschied:
    $$ \Delta s_{\text{Paar}} = \frac{d}{2}\cdot\sin\alpha $$
  4. Beträgt dieser Gangunterschied $\lambda/2$, kommen die beiden Partner gegenphasig an (Berg auf Tal) und löschen sich aus. Da das für jedes Paar gilt, verschwindet das gesamte Bündel: Das ist das 1. Minimum.
    $$ \frac d2\sin\alpha_1 = \frac\lambda2\quad\Rightarrow\quad d\sin\alpha_1 = \lambda $$
  5. Für das $n$-te Minimum teilt man das Bündel in $2n$ gleich breite Teilbündel. Partner in benachbarten Teilbündeln haben den Abstand $d/(2n)$; sie löschen sich aus, wenn ihr Gangunterschied $\lambda/2$ ist. Dann heben sich alle $2n$ Teilbündel paarweise auf.
    $$ \frac{d}{2n}\sin\alpha_n = \frac\lambda2\quad\Rightarrow\quad \sin\alpha_n = \frac{n\lambda}{d},\qquad n = 1, 2, 3,\dots $$
  6. Übertragung auf den Schirm: $\tan\alpha_n = x_n/a$. Für kleine Winkel ($x_n \ll a$) ist $\sin\alpha_n \approx \tan\alpha_n$, also
    $$ x_n \approx \frac{n\lambda a}{d}\qquad\Rightarrow\qquad b_0 = 2x_1 \approx \frac{2\lambda a}{d} $$
Schlusssatz (im Abitur Pflicht): Die Minima des Einzelspalts liegen bei $\sin\alpha_n = n\lambda/d$ ($n = 1, 2, \dots$), auf dem Schirm für kleine Winkel bei $x_n = n\lambda a/d$. Das Hauptmaximum zwischen $-x_1$ und $+x_1$ ist $2\lambda a/d$ breit und wird umso breiter, je schmaler der Spalt ist, was zu zeigen war.

Formeln, die du sicher können musst

Größe / GesetzFormelWas sie sagt · wann sie gilt
Minima Einzelspalt$\sin\alpha_n = \dfrac{n\lambda}{d}$$n = 1, 2, \dots$ (Regelheft); $d$ = Spaltbreite; $n = 0$ ist das Hauptmaximum, kein Minimum
Gangunterschied Randstrahlen$\Delta s_{\text{Rand}} = d\sin\alpha$Fernfeld ($a \gg d$); 1. Minimum bei $\Delta s_{\text{Rand}} = \lambda$ – nicht $\lambda/2$
Partnerstrahlen$\dfrac{d}{2n}\sin\alpha_n = \dfrac\lambda2$Teilbündelmethode: $2n$ Teilbündel, Partner im Abstand $d/(2n)$ löschen sich paarweise aus
Lage der Minima auf dem Schirm$x_n \approx \dfrac{n\lambda a}{d}$nur für kleine Winkel ($x_n \ll a$); exakt $\tan\alpha_n = x_n/a$
Breite des Hauptmaximums$b_0 = 2x_1 \approx \dfrac{2\lambda a}{d}$von Minimum zu Minimum; doppelt so breit wie ein Nebenmaximum; $\propto 1/d$
Nebenmaxima (näherungsweise)$d\sin\alpha \approx \left(n+\tfrac12\right)\lambda$Intensität nur $\approx 4{,}5\,\%$, $1{,}6\,\%$, $0{,}8\,\%$ von $I_0$
Intensitätsverlauf$I(\alpha) = I_0\left(\dfrac{\sin u}{u}\right)^2$mit $u = \pi d\sin\alpha/\lambda$; nur kennen: Nullstellen bei $u = n\pi$ sind die Minima
Spaltbreite aus Messung$d = \dfrac{n\lambda a}{x_n}$Minima messen (scharf), symmetrisch, hohe Ordnung; Haar/Draht nach Babinet genauso
Doppelspalt mit Einhüllender$I = I_0\cos^2\!\beta\cdot\left(\dfrac{\sin u}{u}\right)^2$$\beta = \pi g\sin\alpha/\lambda$, $u = \pi d\sin\alpha/\lambda$; Ordnung $n$ fehlt, wenn $n = m\cdot g/d$ ganzzahlig

Typische Fehler – und wie du die Punkte holst

  • Erstes Minimum bei $d\sin\alpha = \lambda/2$ angesetzt – „wie beim Doppelspalt“.
    Beim Einzelspalt gilt $d\sin\alpha_1 = \lambda$: Erst dann hat jeder Strahl einen Partner im Abstand $d/2$ mit Gangunterschied $\lambda/2$. Bei $\lambda/2$ löschen sich nur die Randstrahlen aus, die Mitte bleibt hell. Merke: Doppelspalt-Minima $(n-\tfrac12)\lambda$, Einzelspalt-Minima $n\lambda$.
  • $d$ und $g$ verwechselt oder die Doppelspaltformel $g\sin\alpha = n\lambda$ als Maxima-Bedingung des Einzelspalts benutzt.
    $d$ = Breite des einen Spalts; $n\lambda/d$ liefert beim Einzelspalt Minima, bei Doppelspalt und Gitter liefert $n\lambda/g$ Maxima. Formal gleich, physikalisch das Gegenteil – immer dazuschreiben, was du berechnest.
  • Breite des Hauptmaximums mit $x_1 = \lambda a/d$ angegeben.
    Das Hauptmaximum reicht von $-x_1$ bis $+x_1$, also $b_0 = 2x_1 = 2\lambda a/d$. Schreibe „Abstand der beiden ersten Minima“ hin, dann vergisst du den Faktor 2 nicht.
  • „Schmalerer Spalt → schmaleres Bild“ – Intuition aus der geometrischen Optik.
    $\sin\alpha_1 = \lambda/d$: Halbierst du $d$, verdoppelt sich $\sin\alpha_1$ und damit die Breite des Hauptmaximums. Begründung in der Klausur: Für denselben Gangunterschied $\lambda$ zwischen den Randstrahlen braucht ein schmalerer Spalt einen größeren Winkel.
  • Nebenmaxima genauso hell wie das Hauptmaximum skizziert, oder „Nebenmaxima genau bei $(n+\frac12)\lambda$“ als exakte Aussage.
    Skizze: Hauptmaximum doppelt so breit, erstes Nebenmaximum etwa $1/20$ so hoch, zweites $1/60$. Die Lage $(n+\tfrac12)\lambda$ ist eine Näherung (Teilbündelmethode mit ungerader Anzahl Teilbündel) – „näherungsweise“ dazuschreiben.
  • Kleinwinkelnäherung ohne Prüfung, oder $\sin\alpha_n = n\lambda/d \gt 1$ ausgerechnet und nicht gemerkt.
    Erst $\tan\alpha = x/a$ berechnen und „$\alpha \lt 5^\circ$, daher $\sin\alpha\approx\tan\alpha$“ hinschreiben. Ergibt $n\lambda/d \gt 1$, existiert dieses Minimum nicht – das ist die Antwort, kein Rechenfehler.
  • Beim „Erläutern“ nur $\sin\alpha_n = n\lambda/d$ hingeschrieben.
    Drei Sätze: Phänomen (breites Hauptmaximum, schwache Nebenmaxima) – Ursache (Huygens: Elementarwellen aus allen Punkten des Spalts interferieren) – Bedingung (Teilbündel mit Partnern im Abstand $d/2$, Gangunterschied $\lambda/2$, also $d\sin\alpha_1 = \lambda$). Dann die Formel.
Abitur-Operatoren bei diesem Thema
  • Erläutern (Beugungsbild, „schmaler Spalt – breites Bild“, Haar statt Spalt): Phänomen → Ursache (Huygens, Elementarwellen, Interferenz) → Bedingung (Teilbündel, Gangunterschied $\lambda/2$ der Partner). Fachbegriffe: Elementarwelle, kohärent, Gangunterschied, Teilbündel, Hauptmaximum, Nebenmaximum.
  • Zeigen / Leiten Sie her (Minima-Bedingung): Skizze mit $d$, parallelem Bündel unter $\alpha$, Teilung in Hälften, Partnerpaar im Abstand $d/2$, Lot und $\Delta s$; jede Zeile begründen („da $a\gg d$“, „paarweise Auslöschung bei $\lambda/2$“); Verallgemeinerung auf $2n$ Teilbündel; Schlusssatz.
  • Berechnen / Bestimmen (Spaltbreite, Breite des Hauptmaximums): Minima symmetrisch messen und halbieren, Formel, Einheiten in m, SCI-3, Antwortsatz; bei Messreihe $x_n$ gegen $n$ und Steigung.
  • Skizzieren (Intensitätsverlauf): Hauptmaximum doppelt so breit, Nebenmaxima deutlich niedriger, Minima bei $n\lambda a/d$ beschriften, Achsen mit $x$ bzw. $\alpha$ und $I$.
  • Beurteilen: Näherung geprüft? Welche Ordnung ist am genauesten? Ergebnis plausibel ($\mathrm{\mu m}$ bis $\mathrm{mm}$)? Unsicherheitsintervall statt „ungefähr“.
Warum das über die Klausur hinaus wichtig bleibt
Der Einzelspalt erklärt, warum beim Gitter und beim Doppelspalt die äußeren Ordnungen schwächer werden und manche fehlen – das kommt in jeder Wellenklausur als Einhüllende vor. In der Quantenphysik (Q3) wird die Beugung einzelner Elektronen oder Photonen am Spalt zum Schlüsselexperiment für die Unschärferelation: Je schmaler der Spalt (genauer Ort), desto breiter das Beugungsbild (unschärferer Impuls) – exakt $\sin\alpha_1 = \lambda/d$. Im Maschinenbau begegnet dir dasselbe Gesetz als Auflösungsgrenze jedes optischen Systems (Mikroskop, Kamera, Lithographie für Chips) und in der Laser-Messtechnik, wo Drahtdurchmesser und Spaltmaße berührungslos aus Beugungsbildern bestimmt werden.

5 harte Fragen – hast du es wirklich verstanden?

Offene Aufgaben auf Papier lösen (Zeit stoppen!), erst dann die Lösung aufdecken und ehrlich Punkte geben. Die Ergebnisse werden auf diesem Gerät gespeichert.

Aufgabe 1Offene Aufgabe · ca. 15 min10 P

Spaltbreite aus einer Messreihe

Ein He-Ne-Laser ($\lambda = 633\,\mathrm{nm}$) beleuchtet einen Einzelspalt. Auf einem Schirm im Abstand $a = 2{,}50\,\mathrm{m}$ werden die Abstände der Minima von der Mitte gemessen (jeweils als halber Abstand der symmetrisch liegenden Minima):

$n$123
$x_n$ in mm7,915,923,6
  1. Bestimme die Spaltbreite $d$ aus der gesamten Messreihe.
  2. Gib die Breite des Hauptmaximums an und prüfe rechnerisch, ob die Kleinwinkelnäherung auch für das 3. Minimum zulässig ist.
  3. Der Spalt wird durch einen halb so breiten ersetzt. Beschreibe und begründe, wie sich das Beugungsbild ändert, und gib die neue Breite des Hauptmaximums an.
Erwartungshorizont
  • 3 Pa) $x_n = \dfrac{\lambda a}{d}\cdot n$ als Ursprungsgerade erkannt, $x_n$ gegen $n$ aufgetragen bzw. Steigung rechnerisch: $m \approx 7{,}85\,\mathrm{mm}$ je Ordnung
  • 2 Pa) $d = \lambda a/m = 2{,}02\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m} = 0{,}202\,\mathrm{mm}$ mit Einheiten und Antwortsatz
  • 2 Pb) $b_0 = 2x_1 \approx 2m = 15{,}7\,\mathrm{mm}$; $\tan\alpha_3 = 0{,}00944$, $\alpha_3 = 0{,}54^\circ \ll 5^\circ$, $\sin$ und $\tan$ auf drei Ziffern gleich → zulässig
  • 3 Pc) $\sin\alpha_1 = \lambda/d$: halbes $d$ → doppelter Sinus, Minima doppelt so weit außen, Hauptmaximum doppelt so breit ($31{,}4\,\mathrm{mm}$), Nebenmaxima ebenfalls breiter; Begründung über Gangunterschied der Randstrahlen
Musterlösung

a) Für kleine Winkel gilt $x_n = \dfrac{\lambda a}{d}\cdot n$: Die Messpunkte liegen auf einer Ursprungsgeraden mit Steigung $m = \lambda a/d$. Rechnerische Ausgleichsgerade mit $\bar n = 2$ und $\bar x = \dfrac{7{,}9 + 15{,}9 + 23{,}6}{3}\,\mathrm{mm} = 15{,}8\,\mathrm{mm}$: $$m = \frac{\sum (n-\bar n)(x_n - \bar x)}{\sum (n - \bar n)^2} = \frac{(-1)(-7{,}9) + 0 + (1)(7{,}8)}{1 + 0 + 1}\,\mathrm{mm} = \frac{15{,}7}{2}\,\mathrm{mm} = 7{,}85\,\mathrm{mm}.$$ Achsenabschnitt $\bar x - m\bar n = 0{,}1\,\mathrm{mm} \approx 0$ – passt zur Ursprungsgeraden. Damit $$d = \frac{\lambda a}{m} = \frac{6{,}33\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}\cdot 2{,}50\,\mathrm{m}}{7{,}85\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}} = 2{,}02\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}.$$ Der Spalt ist $0{,}202\,\mathrm{mm}$ breit – ein plausibler Wert für einen Laborspalt.

b) Das Hauptmaximum reicht vom 1. Minimum links bis zum 1. Minimum rechts: $b_0 = 2x_1 = 2\cdot 7{,}85\,\mathrm{mm} = 15{,}7\,\mathrm{mm}$ (aus der Steigung; der Einzelwert $x_1$ liefert $15{,}8\,\mathrm{mm}$). Prüfung der Näherung beim größten Winkel: $\tan\alpha_3 = \dfrac{23{,}6\,\mathrm{mm}}{2500\,\mathrm{mm}} = 9{,}44\cdot 10^{-3}$, also $\alpha_3 = 0{,}541^\circ$. Dann ist $\sin\alpha_3 = 9{,}44\cdot 10^{-3}$ – auf drei gültige Ziffern identisch mit $\tan\alpha_3$. Die Näherung $\sin\alpha\approx\tan\alpha$ ist für alle drei Minima zulässig.

c) Für das 1. Minimum gilt $\sin\alpha_1 = \lambda/d$. Halbiert man $d$, verdoppelt sich $\sin\alpha_1$ und (bei kleinen Winkeln) auch $x_1$: Die Randstrahlen brauchen für denselben Gangunterschied $\lambda$ einen doppelt so großen Winkel. Alle Minima rücken doppelt so weit nach außen, das Hauptmaximum wird doppelt so breit, $b_0 = 2\cdot 15{,}7\,\mathrm{mm} = 31{,}4\,\mathrm{mm}$, die Nebenmaxima ebenfalls doppelt so breit. Gleichzeitig wird das Bild insgesamt dunkler, weil weniger Licht durch den Spalt kommt und sich auf eine größere Fläche verteilt. Kurz: Je schmaler der Spalt, desto breiter das Beugungsbild.

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Typisch: $d$ nur aus $x_1$ berechnet (Messreihe nicht genutzt – zwei Punkte weg); Breite des Hauptmaximums als $x_1$ statt $2x_1$ angegeben; bei c) „Bild wird schmaler“ aus der Intuition. Die Begründung über $\sin\alpha_1 = \lambda/d$ muss dastehen, nicht nur das Ergebnis.
Meine Punkte:
Aufgabe 2Offene Aufgabe · ca. 12 min8 P

Herleitung mit der Teilbündelmethode

  1. Leite mit der Teilbündelmethode her, unter welchem Winkel $\alpha_1$ das erste Minimum hinter einem Spalt der Breite $d$ liegt, und verallgemeinere auf das $n$-te Minimum. Fertige eine beschriftete Skizze an.
  2. Ein Mitschüler behauptet: „Wie beim Doppelspalt liegt das erste Minimum dort, wo die beiden Randstrahlen den Gangunterschied $\lambda/2$ haben.“ Nimm begründet Stellung.
Erwartungshorizont
  • 2 Pa) Skizze: Spalt der Breite $d$, paralleles Bündel unter $\alpha$, Teilung in zwei Hälften, Partnerstrahlen im Abstand $d/2$, Lot und Gangunterschied eingezeichnet
  • 2 Pa) Huygens: Elementarwellen aus allen Punkten, kohärent; Fernfeld $a \gg d$ → parallele Strahlen; Gangunterschied der Partner $\tfrac d2\sin\alpha$
  • 2 Pa) Paarweise Auslöschung bei $\tfrac d2\sin\alpha_1 = \tfrac\lambda2$ → $d\sin\alpha_1 = \lambda$; Verallgemeinerung mit $2n$ Teilbündeln: $\sin\alpha_n = n\lambda/d$; Schlusssatz
  • 2 Pb) Falsch: Bei $d\sin\alpha = \lambda/2$ löschen sich nur die Randstrahlen aus; innere Strahlen haben kleinere Gangunterschiede und bleiben übrig (noch ca. $40\,\%$ Intensität). Beim Doppelspalt gibt es nur zwei Wellen, beim Einzelspalt unendlich viele – deshalb Partnerbildung über $d/2$.
Musterlösung

a) Skizze: Spalt der Breite $d$ (senkrecht), rechts davon ein Bündel paralleler Strahlen unter dem Winkel $\alpha$ zur Achse; waagerechte Hilfslinie teilt den Spalt in zwei Hälften; ein Strahl vom oberen Rand und sein Partner aus der Spaltmitte im Abstand $d/2$; Lot vom oberen Startpunkt auf den Partnerstrahl; markiertes Stück $\Delta s = \tfrac d2\sin\alpha$.

Nach Huygens ist jeder Punkt der Spaltöffnung Ausgangspunkt einer Elementarwelle; weil sie von derselben Welle angeregt werden, sind sie kohärent. Da $a\gg d$, verlaufen die Strahlen zu einem Schirmpunkt parallel unter dem Winkel $\alpha$. Teilt man das Bündel in zwei gleich breite Hälften, hat jeder Strahl der oberen Hälfte einen Partner in der unteren Hälfte im Abstand $d/2$. Im rechtwinkligen Dreieck (Hypotenuse $d/2$, Gegenkathete $\Delta s$) gilt $\Delta s = \tfrac d2\sin\alpha$.

Beträgt $\Delta s = \lambda/2$, kommen beide Partner gegenphasig an und löschen sich aus. Das gilt für jedes Paar, also für das gesamte Bündel – Minimum: $$\frac d2\sin\alpha_1 = \frac\lambda2 \quad\Rightarrow\quad \sin\alpha_1 = \frac{\lambda}{d}.$$ Für das $n$-te Minimum teilt man das Bündel in $2n$ Teilbündel. Partner in benachbarten Teilbündeln haben den Abstand $\dfrac{d}{2n}$ und löschen sich aus, wenn $\dfrac{d}{2n}\sin\alpha_n = \dfrac\lambda2$, also $$\sin\alpha_n = \frac{n\lambda}{d},\qquad n = 1, 2, 3, \dots$$ Schlusssatz: Hinter einem Spalt der Breite $d$ liegen die Minima bei $\sin\alpha_n = n\lambda/d$, was zu zeigen war.

b) Die Behauptung ist falsch. Beim Doppelspalt interferieren nur zwei Wellen; haben sie den Gangunterschied $\lambda/2$, löschen sie sich vollständig aus. Beim Einzelspalt interferieren unendlich viele Elementarwellen aus der gesamten Öffnung. Bei $d\sin\alpha = \lambda/2$ löschen sich zwar die beiden Randstrahlen gegenseitig aus, aber ein Strahl aus der Spaltmitte hat zu jedem Randstrahl nur den Gangunterschied $\lambda/4$ und wird nicht ausgelöscht. Insgesamt bleibt noch etwa $40\,\%$ der Intensität des Hauptmaximums übrig. Vollständige Auslöschung erfordert, dass jeder Strahl einen Partner mit Gangunterschied $\lambda/2$ hat – das ist erst bei $d\sin\alpha = \lambda$ der Fall (Partner im Abstand $d/2$). Richtig ist also: Das erste Minimum liegt dort, wo die Randstrahlen den Gangunterschied $\lambda$ haben.

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Ohne Skizze fehlen zwei Punkte. Wer bei der Verallgemeinerung „$n$ Teilbündel“ statt „$2n$“ schreibt, bekommt $\sin\alpha_n = n\lambda/(2d)$ – falsch. Bei b) reicht „stimmt nicht, es ist $\lambda$“ nicht: Der Punkt ist das Argument mit den inneren Strahlen bzw. der Partnerbildung.
Meine Punkte:
Aufgabe 3Offene Aufgabe · ca. 12 min8 P

Transfer: Dicke eines Haares

Statt eines Spalts wird ein Haar in den Strahl eines grünen Lasers ($\lambda = 532\,\mathrm{nm}$) gehalten. Auf dem Schirm im Abstand $a = 1{,}80\,\mathrm{m}$ erscheint ein Beugungsbild wie am Einzelspalt. Der Abstand zwischen dem 2. Minimum links und dem 2. Minimum rechts der Mitte beträgt $54{,}8\,\mathrm{mm}$ (Ablesegenauigkeit $\pm 1\,\mathrm{mm}$).

  1. Erläutere, warum ein Haar dasselbe Beugungsbild erzeugt wie ein Spalt gleicher Breite.
  2. Bestimme die Dicke des Haares.
  3. Gib ein Unsicherheitsintervall für die Dicke an und beurteile, warum das 2. Minimum statt des 1. gemessen wurde.
Erwartungshorizont
  • 2 Pa) Babinetsches Prinzip: Haar und Spalt gleicher Breite sind komplementär; zusammen ergeben sie die ungestörte Welle, die außerhalb der Mitte nichts beiträgt → gleiche Beugungsintensität; Huygens: die vom Haar „fehlenden“ Elementarwellen interferieren wie die des Spalts
  • 1 Pb) $x_2 = 27{,}4\,\mathrm{mm}$ (Halbierung begründet), $n = 2$
  • 3 Pb) $d = \dfrac{n\lambda a}{x_2} = 6{,}99\cdot 10^{-5}\,\mathrm{m} = 69{,}9\,\mathrm{\mu m}$ mit Einheiten, Näherung geprüft ($\alpha_2 = 0{,}87^\circ$), Antwortsatz
  • 2 Pc) relative Unsicherheit $1/54{,}8 = 1{,}8\,\%$ → $d \in [68{,}6;\,71{,}2]\,\mathrm{\mu m}$; 2. Minimum: doppelter Abstand bei gleichem Ablesefehler → halbe relative Unsicherheit; plausibel für ein Haar ($50$–$100\,\mathrm{\mu m}$)
Musterlösung

a) Haar und Spalt gleicher Breite sind komplementäre Hindernisse: Wo das Haar undurchlässig ist, ist der Spalt offen, und umgekehrt. Nach Huygens setzt sich die ungestörte Welle aus den Elementarwellen aller Punkte zusammen; sie liefert außerhalb der Mitte ($\alpha \ne 0$) keine Intensität. Also müssen die Elementarwellen, die der Spalt durchlässt, und die, die das Haar durchlässt, dort in der Summe null ergeben – sie sind gleich groß und gegenphasig. Da die Intensität vom Quadrat der Amplitude abhängt, ist sie für Haar und Spalt gleich (Babinetsches Prinzip). Das Beugungsbild des Haares hat daher Minima bei $\sin\alpha_n = n\lambda/d$ mit $d$ = Haardicke.

b) Der gemessene Abstand ist $2x_2$, also $x_2 = 27{,}4\,\mathrm{mm} = 2{,}74\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}$. Näherung prüfen: $\tan\alpha_2 = 0{,}0274/1{,}80 = 0{,}0152$, $\alpha_2 = 0{,}87^\circ$ – klein, also $\sin\alpha_2 \approx \tan\alpha_2$. Aus $\sin\alpha_n = n\lambda/d$ und $\tan\alpha_n = x_n/a$ folgt $$d = \frac{n\lambda a}{x_n} = \frac{2\cdot 5{,}32\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}\cdot 1{,}80\,\mathrm{m}}{2{,}74\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}} = 6{,}99\cdot 10^{-5}\,\mathrm{m}.$$ Das Haar ist $69{,}9\,\mathrm{\mu m}$, also etwa $0{,}07\,\mathrm{mm}$ dick. (Exakt mit $\sin\alpha_2 = x_2/\sqrt{x_2^2+a^2}$: $6{,}99\cdot 10^{-5}\,\mathrm{m}$ – kein Unterschied in drei Ziffern.)

c) Der Ablesefehler $\pm 1\,\mathrm{mm}$ auf $54{,}8\,\mathrm{mm}$ bedeutet eine relative Unsicherheit von $\dfrac{1}{54{,}8} = 1{,}8\,\%$. Da $d \propto 1/x_2$, überträgt sie sich mit demselben Prozentsatz: $\Delta d = 0{,}018\cdot 69{,}9\,\mathrm{\mu m} = 1{,}3\,\mathrm{\mu m}$, also $d \in [68{,}6\,\mathrm{\mu m};\,71{,}2\,\mathrm{\mu m}]$. Menschliche Haare sind $50$–$100\,\mathrm{\mu m}$ dick – das Ergebnis ist plausibel. Das 2. Minimum liegt doppelt so weit außen wie das 1.; bei gleichem absoluten Ablesefehler halbiert sich die relative Unsicherheit ($1{,}8\,\%$ statt $3{,}6\,\%$). Noch besser wäre eine Messreihe über mehrere Minima mit Ausgleichsgerade.

Typische Fehler → so holst du die Punkte
$54{,}8\,\mathrm{mm}$ direkt als $x_2$ eingesetzt (Faktor 2) oder $n = 1$ statt $n = 2$ – beides halbiert bzw. verdoppelt das Ergebnis, und wer den Plausibilitätshaken ($50$–$100\,\mathrm{\mu m}$) macht, merkt es. Bei a) reicht „Babinet“ als Stichwort nicht – die Komplementarität muss in zwei Sätzen erklärt werden.
Meine Punkte:
Aufgabe 4Multiple Choice · genau eine Antwort2 P

Welchen Gangunterschied haben die beiden Randstrahlen eines Einzelspalts in Richtung des 1. Minimums?

Aufgabe 5Multiple Choice · genau eine Antwort2 P

Ein Spalt ist nur $d = 0{,}50\,\mathrm{\mu m}$ breit und wird mit rotem Laserlicht ($\lambda = 633\,\mathrm{nm}$) beleuchtet. Was zeigt der Schirm?

Meine Notizen zu „Einzelspalt: Beugung und Minima“

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