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Wellen (Q2) · Klausur 19.10.

Gitter: scharfe Maxima und Spektren

Viele Spalte statt zwei: dieselbe Maxima-Bedingung wie am Doppelspalt, aber messerscharfe Linien, große Winkel und bunte Spektren.

0 von 5 Fragen bearbeitet
Das Wichtigste in einem SatzEin Gitter mit vielen Spalten im Abstand $g$ liefert Maxima genau dort, wo benachbarte Spalte den Gangunterschied $n\lambda$ haben: $g\sin\alpha_n = n\lambda$ – dieselbe Bedingung wie beim Doppelspalt. Weil aber $N$ Wellen zusammenwirken, sind die Maxima sehr scharf (Breite $\propto 1/N$) und hell ($\propto N^2$); dazwischen ist es praktisch dunkel. Die Winkel sind groß, also keine Kleinwinkelnäherung: $\sin\alpha_n = \dfrac{x_n}{\sqrt{x_n^2+a^2}}$ oder Winkel direkt messen. Weißes Licht wird in jeder Ordnung in ein Spektrum zerlegt – violett innen, rot außen.

Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen

Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.

Was ist eine Gitterkonstante, und wie rechnet man „600 Striche pro mm“ um?
Die Gitterkonstante $g$ ist der Abstand benachbarter Spalte (Mitte zu Mitte). Bei 600 Strichen pro Millimeter teilen sich 600 Spalte einen Millimeter: $g = \dfrac{1\,\mathrm{mm}}{600} = \dfrac{10^{-3}\,\mathrm{m}}{600} = 1{,}67\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$. Allgemein $g = 1/(\text{Striche pro Länge})$. Vergleich: Rotes Licht hat $\lambda = 6{,}33\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ – auf eine Gitterkonstante passen nur zweieinhalb Wellenlängen. Deshalb sind die Winkel groß.
Wie bestimmt man exakt $\sin\alpha$, wenn $x$ und $a$ gegeben sind?
Im rechtwinkligen Dreieck Gitter–Schirmmitte–Maximum ist $x$ die Gegenkathete, $a$ die Ankathete und $\sqrt{x^2+a^2}$ die Hypotenuse (Pythagoras). Also $\sin\alpha = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ und $\tan\alpha = \dfrac{x}{a}$. Beispiel: $x = 15{,}5\,\mathrm{cm}$, $a = 80{,}0\,\mathrm{cm}$: $\sin\alpha = \dfrac{15{,}5}{\sqrt{15{,}5^2+80{,}0^2}} = \dfrac{15{,}5}{81{,}5} = 0{,}190$, dagegen $\tan\alpha = 0{,}194$ – schon $2\,\%$ Unterschied. Beim Gitter immer die exakte Form nehmen.
Wie addiert man Schwingungen mit Zeigern?
Jede Sinusschwingung $\hat y\sin(\omega t + \varphi)$ lässt sich als rotierender Zeiger der Länge $\hat y$ mit dem Winkel $\varphi$ darstellen. Die Überlagerung mehrerer Schwingungen gleicher Frequenz ist der Vektorsumme der Zeiger. Zwei gleich lange Zeiger mit Winkel $0$: doppelte Länge (konstruktiv). Zwei Zeiger mit Winkel $\pi$ ($180^\circ$): Länge null (destruktiv). Drei gleich lange Zeiger mit je $120^\circ$ Winkel zueinander: geschlossenes Dreieck, Summe null – das ist der Schlüssel zur Gitterschärfe.
Was heißt $\sin\alpha \le 1$ für Beugungsbedingungen?
Der Sinus eines Winkels ist nie größer als 1 (bei $90^\circ$ genau 1). Aus $\sin\alpha_n = n\lambda/g$ folgt: Ein Maximum der Ordnung $n$ existiert nur, wenn $n\lambda \le g$, also $n \le g/\lambda$. Beispiel: $g = 1{,}67\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$: $g/\lambda = 2{,}63$, also höchstens $n = 2$. Das dritte Maximum gibt es nicht, egal wie groß der Schirm ist.
Was ist Dispersion beim Prisma?
Die Brechzahl $n$ von Glas hängt von der Wellenlänge ab: Für blaues Licht ist $n$ etwas größer als für rotes (etwa $1{,}53$ gegenüber $1{,}51$ bei Kronglas). Nach dem Brechungsgesetz wird blau daher stärker gebrochen – beim Prisma wird rot am wenigsten abgelenkt. Beim Gitter ist es genau umgekehrt: $\sin\alpha = \lambda/g$ wächst mit $\lambda$, rot wird am stärksten abgelenkt. Eine klassische Vergleichsfrage.

Vom Doppelspalt zum Gitter

Ein optisches Gitter ist eine Platte mit sehr vielen parallelen, gleich breiten Spalten im festen Abstand $g$, der Gitterkonstante. Typische Werte: 100 bis 1200 Striche pro Millimeter, also $g$ zwischen $10\,\mathrm{\mu m}$ und $0{,}8\,\mathrm{\mu m}$ – nur wenige Wellenlängen. Beleuchtet man ein Gitter mit einem Laser, erscheinen auf dem Schirm wenige, sehr scharfe, helle Punkte weit auseinander; dazwischen ist es dunkel.

Die Lage der Maxima folgt aus demselben Gedanken wie beim Doppelspalt: Nach Huygens ist jeder Spalt Ausgangspunkt einer kohärenten Elementarwelle. Unter dem Winkel $\alpha$ haben benachbarte Spalte den Gangunterschied $\Delta s = g\sin\alpha$. Ist $\Delta s = n\lambda$, dann hat der übernächste Spalt den Gangunterschied $2n\lambda$, der nächste $3n\lambda$ usw. – alle $N$ Wellen kommen gleichphasig an und verstärken sich:

$$g\sin\alpha_n = n\lambda,\qquad n = 0, 1, 2, \dots$$

Was sich gegenüber dem Doppelspalt ändert, ist nicht die Lage, sondern die Form der Maxima:

Doppelspalt ($N = 2$)Gitter ($N$ groß)
Lage der Hauptmaxima$g\sin\alpha_n = n\lambda$$g\sin\alpha_n = n\lambda$ (gleich)
Breite der Maximabreit, $\cos^2$-Verlaufsehr schmal, $\propto 1/N$
Helligkeit der Maxima$4 I_1$ ($2^2$)$N^2 I_1$
Zwischen den Maximalangsam auf null$N-2$ winzige Nebenmaxima, praktisch dunkel
Typische Winkelunter $1^\circ$ (Kleinwinkel ok)$10^\circ$ bis $80^\circ$ (keine Näherung!)

Warum werden die Maxima mit N schärfer?

Das ist die zentrale Erläutern-Frage zum Gitter. Antwort in drei Sätzen:

  1. Phänomen: Mit wachsender Spaltzahl $N$ werden die Hauptmaxima schmaler und heller; dazwischen wird es dunkel.
  2. Ursache: Weicht der Winkel nur wenig vom Maximum ab, ist der Gangunterschied benachbarter Spalte nur wenig von $n\lambda$ verschieden – zwischen Spalt 1 und 2 fällt das kaum auf. Aber die Abweichungen summieren sich über die vielen Spalte: Zwischen Spalt 1 und Spalt $N$ ist die Phasendifferenz $N$-mal so groß.
  3. Bedingung: Sobald die Phasendifferenz benachbarter Spalte $\Delta\varphi = 2\pi/N$ beträgt (Gangunterschied $\lambda/N$ zusätzlich zu $n\lambda$), lässt sich jeder Spalt mit einem Partner $N/2$ Spalte weiter paaren, der um $\pi$ versetzt ist: vollständige Auslöschung. Das erste Minimum neben einem Hauptmaximum liegt also bei $g\sin\alpha = n\lambda \pm \lambda/N$. Je größer $N$, desto näher rückt dieses Minimum an das Maximum heran – die Breite des Maximums ist proportional zu $1/N$.

Im Zeigerbild: $N$ gleich lange Zeiger mit dem Winkel $2\pi/N$ zwischen Nachbarn bilden ein geschlossenes regelmäßiges $N$-Eck – ihre Summe ist null. Im Maximum liegen dagegen alle $N$ Zeiger parallel: Amplitude $N\hat y$, Intensität $N^2 I_1$. Weil die Energie erhalten bleibt, muss das Licht, das aus den Zwischenräumen verschwindet, in den schmalen Maxima landen – deshalb werden sie so hell.

Zahlenbeispiel: $g = 1{,}67\,\mathrm{\mu m}$ (600 Striche/mm), $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$. Das Maximum 1. Ordnung liegt bei $\sin\alpha_1 = 0{,}380$, also $\alpha_1 = 22{,}3^\circ$. Bei $N = 5$ beleuchteten Spalten ist es etwa $9{,}4^\circ$ breit (von Minimum zu Minimum), bei $N = 500$ nur noch $0{,}094^\circ$. Ein Laserstrahl von $1\,\mathrm{mm}$ Durchmesser beleuchtet schon $600$ Spalte.

Nebenmaxima
Zwischen zwei Hauptmaxima liegen $N-1$ Minima und dazwischen $N-2$ schwache Nebenmaxima. Beim Doppelspalt ($N=2$) gibt es also null Nebenmaxima – das passt. Bei $N = 5$ sieht man in der Simulation drei kleine Buckel zwischen den Hauptmaxima; bei $N = 40$ sind sie nicht mehr zu erkennen. Das erste Nebenmaximum hat bei großem $N$ etwa $4{,}7\,\%$ der Intensität des Hauptmaximums; bei kleinem $N$ ist es relativ stärker (bei $N = 5$ gut $6\,\%$, bei $N = 3$ etwa $11\,\%$).

Die Mathematik: exakte Winkel, höchste Ordnung, Intensität

Keine Kleinwinkelnäherung. Bei $\alpha = 22^\circ$ unterscheiden sich $\sin\alpha$ und $\tan\alpha$ um $8\,\%$ – die Wellenlänge wäre um $8\,\%$ falsch. Beim Gitter rechnest du deshalb immer exakt:

$$\sin\alpha_n = \frac{x_n}{\sqrt{x_n^2+a^2}}\qquad\Rightarrow\qquad \lambda = \frac{g\sin\alpha_n}{n} = \frac{g}{n}\cdot\frac{x_n}{\sqrt{x_n^2+a^2}}$$

Oder du misst den Winkel direkt (Gitterspektrometer mit Drehteller) und setzt in $g\sin\alpha_n = n\lambda$ ein. Zur Kontrolle: $\tan\alpha_n = x_n/a$ gilt natürlich exakt – nur $\sin\alpha\approx\tan\alpha$ ist verboten.

Höchste beobachtbare Ordnung. Aus $\sin\alpha_n = n\lambda/g \le 1$ folgt

$$n_{\max} = \left\lfloor \frac{g}{\lambda} \right\rfloor\quad(\text{abrunden}),\qquad \text{Zahl der Maxima insgesamt: } 2n_{\max}+1.$$

Beispiel: 600 Striche/mm, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$: $g/\lambda = 1{,}67\cdot 10^{-6}/6{,}33\cdot 10^{-7} = 2{,}63$, also $n_{\max} = 2$ und insgesamt fünf Maxima ($n = -2,\dots,2$). Bei violettem Licht ($400\,\mathrm{nm}$) wären es $n_{\max} = 4$. Ein feineres Gitter (größere Strichzahl) spreizt stärker, zeigt aber weniger Ordnungen.

Intensitätsverlauf (nur kennen, nicht herleiten): Mit der Phasendifferenz benachbarter Spalte $\varphi = 2\pi g\sin\alpha/\lambda$ gilt

$$I(\alpha) = I_1\cdot\left(\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)}\right)^2 .$$

Für $\varphi = 2\pi n$ (Hauptmaximum) wird der Bruch $N$, also $I = N^2 I_1$. Nullstellen des Zählers bei $N\varphi/2 = m\pi$ liefern die Minima bei $g\sin\alpha = m\lambda/N$ für alle $m$, die kein Vielfaches von $N$ sind – das erste neben dem Hauptmaximum bei $\lambda/N$, wie in der Herleitung. Die endliche Spaltbreite $d$ legt zusätzlich die Einzelspalt-Einhüllende darüber (Seite Einzelspalt), weshalb hohe Ordnungen schwächer sind.

Spektren: Was weißes Licht am Gitter macht

Weißes Licht enthält alle Wellenlängen von etwa $400\,\mathrm{nm}$ (violett) bis $700\,\mathrm{nm}$ (rot). Nach $\sin\alpha_n = n\lambda/g$ hat jede Wellenlänge ihren eigenen Beugungswinkel:

  • 0. Ordnung: $\Delta s = 0$ für alle $\lambda$ – alle Farben überlagern sich, der Mittelstreifen bleibt weiß.
  • Jede Ordnung $n \ge 1$ ist ein vollständiges Spektrum: violett innen (kleines $\lambda$, kleiner Winkel), rot außen. Bei 600 Strichen/mm reicht das Spektrum 1. Ordnung von $\alpha = 13{,}9^\circ$ (violett) bis $24{,}8^\circ$ (rot).
  • Überlappung: Rot der 2. Ordnung liegt bei $g\sin\alpha = 2\cdot 700\,\mathrm{nm} = 1400\,\mathrm{nm}$, violett der 3. Ordnung bei $3\cdot 400\,\mathrm{nm} = 1200\,\mathrm{nm}$. Weil $1200 \lt 1400$, beginnt das Spektrum 3. Ordnung noch innerhalb des Spektrums 2. Ordnung – ab der 2. und 3. Ordnung überlappen sich die Spektren. Das Spektrum 1. Ordnung ($400$ bis $700\,\mathrm{nm}$) und das der 2. Ordnung ($800$ bis $1400\,\mathrm{nm}$ in $g\sin\alpha$) sind noch getrennt.

Gitter gegen Prisma: Beide zerlegen weißes Licht, aber in umgekehrter Reihenfolge. Beim Prisma entsteht das Spektrum durch Dispersion (Brechzahl hängt von $\lambda$ ab); rot wird am wenigsten abgelenkt. Beim Gitter entsteht es durch Interferenz; rot wird am stärksten abgelenkt, weil $\sin\alpha \propto \lambda$. Das Gitter liefert außerdem mehrere Spektren (eine Ordnung links und rechts) und einen linearen Zusammenhang zwischen $\sin\alpha$ und $\lambda$ – deshalb nimmt man es zur Wellenlängenmessung.

Alltag: die CD als Reflexionsgitter
Die Datenspur einer CD hat einen Spurabstand von $1{,}6\,\mathrm{\mu m}$ – das ist ein Reflexionsgitter mit $g = 1{,}6\,\mathrm{\mu m}$ (625 „Striche“ pro mm). Deshalb schillert eine CD in Spektralfarben. Mit einem Laserpointer kannst du daraus $g$ bestimmen oder umgekehrt $\lambda$. Eine DVD ($g = 0{,}74\,\mathrm{\mu m}$) spreizt noch stärker.

Gitterspektrometer: Wellenlängen messen

Das Gitter ist das Instrument der Spektroskopie. Zwei Anwendungen, die im Abitur vorkommen:

  1. Kontinuierliches Spektrum (Glühlampe, Sonne): breites Farbband in jeder Ordnung. Dunkle Linien darin (Fraunhofer-Linien der Sonne) verraten, welche Elemente Licht absorbieren.
  2. Linienspektrum (Gasentladungslampe: Natrium, Quecksilber, Wasserstoff): Nur einzelne scharfe Linien. Die gelbe Natrium-D-Linie bei $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ist der Klassiker. Bei 600 Strichen/mm erscheint sie in 1. Ordnung bei $\sin\alpha_1 = 589/1667 = 0{,}353$, also $\alpha_1 = 20{,}7^\circ$. Aus dem gemessenen Winkel bestimmst du $\lambda = g\sin\alpha_1$ und identifizierst das Element – so wurden Helium und die Zusammensetzung der Sterne entdeckt.

Messvorschrift (Punkte in der Klausur): Gitterkonstante aus der Strichzahl in m umrechnen; Abstand $2x_n$ zwischen den symmetrischen Maxima messen und halbieren (oder Winkel ablesen); exakt $\sin\alpha_n = x_n/\sqrt{x_n^2+a^2}$ berechnen; $\lambda = g\sin\alpha_n/n$; für mehrere Ordnungen den Mittelwert bilden; Plausibilität ($400$–$700\,\mathrm{nm}$, Farbe); Antwortsatz mit SCI-3.

Ausblick: Auflösungsvermögen. Die Natrium-D-Linie ist in Wirklichkeit ein Doppel: $589{,}0$ und $589{,}6\,\mathrm{nm}$. Zwei Linien sind trennbar, wenn das Maximum der einen auf das erste Minimum der anderen fällt. Das führt auf $\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda} = n\cdot N$. Für die D-Linien braucht man $\lambda/\Delta\lambda = 589/0{,}6 \approx 980$, also in 1. Ordnung etwa $1000$ beleuchtete Striche – bei 600 Strichen/mm nur $1{,}7\,\mathrm{mm}$ Gitterbreite. Darum sind Gitterspektrometer so leistungsfähig: viele Spalte, scharfe Linien, feine Unterschiede. (Formel nur zur Orientierung, keine Herleitung verlangt.)

Simulation: Intensität am Gitter über dem Winkel

Die Achse zeigt den Winkel α in Grad (−90° bis 90°), nicht x auf dem Schirm – beim Gitter sind die Winkel groß. Oben der Schirmstreifen, unten I(α); gestrichelt die exakten Maxima.

Probiere in der Simulation
  • Starte mit $N = 2$ (Doppelspalt) und erhöhe $N$ schrittweise auf 5 und 40. Was passiert mit der Lage, was mit der Breite der Maxima? Zähle bei $N = 5$ die Nebenmaxima zwischen zwei Hauptmaxima.
  • Stelle 600 Striche/mm und $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ein. Berechne vorher $\alpha_1$, $\alpha_2$ und $n_{\max}$ mit $g\sin\alpha_n = n\lambda$ und vergleiche mit dem Readout. Warum gibt es keine 3. Ordnung?
  • Verdopple die Strichzahl. Sage voraus, wie sich $\alpha_1$ und $n_{\max}$ ändern, dann prüfe.
  • Schalte „weißes Licht“ ein. Welche Farbe liegt innen, welche außen? Ab welcher Ordnung überlappen sich die Spektren? Begründe mit $g\sin\alpha = n\lambda$ für $400$ und $700\,\mathrm{nm}$.

Herleitung: Maxima $g\sin\alpha_n = n\lambda$ und Schärfe $\propto 1/N$

Die Maxima-Bedingung ist dieselbe wie beim Doppelspalt und sollte sitzen. Der zweite Teil – warum ein Gitter mit $N$ Spalten bei einer Phasendifferenz $2\pi/N$ zwischen Nachbarn vollständig auslöscht – ist die typische „Zeigen Sie“-Aufgabe zum Gitter. Skizze: Gitter mit Spalten im Abstand $g$, paralleles Bündel unter $\alpha$, Gangunterschied benachbarter Spalte; für den zweiten Teil ein Zeigerpolygon.

  1. Ein Gitter besteht aus $N$ Spalten im Abstand $g$. Eine ebene Welle trifft senkrecht auf; nach Huygens sind alle Spalte Ausgangspunkte kohärenter, gleichphasiger Elementarwellen.
  2. Der Schirm ist weit entfernt ($a \gg Ng$), also laufen die Strahlen zu einem Schirmpunkt parallel unter dem Winkel $\alpha$. Für zwei benachbarte Spalte entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $g$; der Gangunterschied ist die Gegenkathete:
    $$ \Delta s = g\sin\alpha $$
  3. Ist $\Delta s = n\lambda$, so haben Spalt 1 und 2 den Gangunterschied $n\lambda$, Spalt 1 und 3 den Gangunterschied $2n\lambda$, allgemein Spalt 1 und $k$ den Gangunterschied $(k-1)n\lambda$ – alles ganzzahlige Vielfache von $\lambda$. Alle $N$ Wellen kommen gleichphasig an und verstärken sich maximal (Amplitude $N\hat y$, Intensität $N^2 I_1$):
    $$ g\sin\alpha_n = n\lambda,\qquad n = 0, 1, 2, \dots,\ n \le g/\lambda $$
  4. Nun weiche der Winkel etwas vom Maximum ab, sodass benachbarte Spalte die zusätzliche Phasendifferenz $\Delta\varphi$ haben. Im Zeigerbild sind die $N$ Wellen $N$ gleich lange Zeiger, von denen jeder gegen den vorigen um $\Delta\varphi$ gedreht ist. Die Gesamtamplitude ist die Länge der Zeigersumme.
  5. Wähle $\Delta\varphi = 2\pi/N$. Dann drehen sich die $N$ Zeiger insgesamt um $N\cdot 2\pi/N = 2\pi$, also einmal ganz herum: Sie bilden ein geschlossenes regelmäßiges $N$-Eck, die Zeigersumme ist null – vollständige Auslöschung. Anschaulich: Spalt $k$ und Spalt $k + N/2$ sind um $\pi$ versetzt und löschen sich paarweise aus (bei ungeradem $N$ gilt das Polygonargument genauso).
    $$ \Delta\varphi = \frac{2\pi}{N}\quad\Leftrightarrow\quad \Delta s = \frac{\lambda}{N} $$
  6. Das erste Minimum neben dem Hauptmaximum $n$-ter Ordnung liegt also dort, wo der Gangunterschied benachbarter Spalte um $\lambda/N$ vom Wert $n\lambda$ abweicht. Für $n = 0$:
    $$ g\sin\alpha_{\min} = \frac{\lambda}{N}\qquad\Rightarrow\qquad \sin\alpha_{\min} = \frac{\lambda}{N g} $$
  7. Die halbe Breite des Hauptmaximums (bis zum ersten Minimum) ist damit $\sin\alpha_{\min} = \lambda/(Ng)$, die volle Breite $\Delta(\sin\alpha) = 2\lambda/(Ng)$ – sie ist umgekehrt proportional zur Spaltzahl $N$. Für $N = 2$ ergibt sich $g\sin\alpha = \lambda/2$, das bekannte Doppelspaltminimum.
    $$ \text{Breite} \propto \frac{1}{N} $$
Schlusssatz (im Abitur Pflicht): Die Hauptmaxima eines Gitters liegen bei $g\sin\alpha_n = n\lambda$ wie beim Doppelspalt. Bei einer Phasendifferenz $2\pi/N$ zwischen Nachbarspalten bilden die $N$ Zeiger ein geschlossenes Polygon und löschen sich vollständig aus; das erste Minimum liegt daher bei $g\sin\alpha = \lambda/N$ neben dem Maximum, und die Breite der Maxima ist proportional zu $1/N$ – je mehr Spalte, desto schärfer, was zu zeigen war.

Formeln, die du sicher können musst

Größe / GesetzFormelWas sie sagt · wann sie gilt
Gitterkonstante$g = \dfrac{1\,\mathrm{mm}}{Z}$$Z$ = Striche pro mm; 600 Striche/mm: $g = 10^{-3}\,\mathrm{m}/600$, also $1{,}67\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$
Maxima Gitter$g\sin\alpha_n = n\lambda$$n = 0, 1, 2, \dots$; benachbarte Spalte haben Gangunterschied $n\lambda$ → alle $N$ verstärken sich
Winkel exakt$\sin\alpha_n = \dfrac{x_n}{\sqrt{x_n^2+a^2}}$beim Gitter Pflicht – keine Kleinwinkelnäherung ($\alpha$ oft $\gt 10^\circ$)
Wellenlänge aus Messung$\lambda = \dfrac{g\sin\alpha_n}{n}$Winkel direkt messen oder exakt aus $x_n$, $a$; mehrere Ordnungen mitteln
Höchste Ordnung$n_{\max} = \left\lfloor \dfrac{g}{\lambda}\right\rfloor$aus $\sin\alpha \le 1$; insgesamt $2n_{\max}+1$ Maxima
Erstes Minimum neben Maximum$g\sin\alpha = n\lambda \pm \dfrac{\lambda}{N}$Phasendifferenz $2\pi/N$ zwischen Nachbarn → Zeigerpolygon geschlossen; Breite $\propto 1/N$
Intensität im Maximum$I_{\max} = N^2\cdot I_1$Amplituden addieren sich ($N\hat y$), Intensität $\propto$ Amplitude$^2$
Intensitätsverlauf (kennen)$I(\alpha) = I_1\left(\dfrac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)}\right)^2$$\varphi = 2\pi g\sin\alpha/\lambda$; $N-1$ Minima und $N-2$ Nebenmaxima zwischen zwei Hauptmaxima
Auflösungsvermögen (Ausblick)$\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda} = n\cdot N$Na-D-Doppellinie ($\Delta\lambda = 0{,}6\,\mathrm{nm}$) braucht $nN \approx 1000$

Typische Fehler – und wie du die Punkte holst

  • Kleinwinkelnäherung $\sin\alpha \approx x/a$ beim Gitter benutzt.
    Beim Gitter sind die Winkel groß ($10^\circ$ bis $80^\circ$); bei $22^\circ$ liegt der Fehler schon bei $8\,\%$. Immer $\sin\alpha_n = x_n/\sqrt{x_n^2+a^2}$ oder den Winkel direkt verwenden. Die Näherung ist nur beim Doppelspalt mit $x \ll a$ erlaubt – und auch dort begründet.
  • Gitterkonstante falsch umgerechnet: „600 Striche/mm, also $g = 600\,\mathrm{mm}$“ oder $g = 6\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}$.
    $g = \dfrac{1\,\mathrm{mm}}{600} = \dfrac{10^{-3}\,\mathrm{m}}{600} = 1{,}67\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$. Plausibilitätshaken: $g$ muss wenige Wellenlängen betragen ($10^{-6}\,\mathrm{m}$), sonst wären die Winkel winzig.
  • Nach einer 3. Ordnung gesucht, die nicht existiert, oder $n_{\max}$ aufgerundet.
    $\sin\alpha_n = n\lambda/g \le 1$ → $n \le g/\lambda$, abrunden. Bei $g/\lambda = 2{,}63$ ist $n_{\max} = 2$. Schreib den Satz „Für $n = 3$ wäre $\sin\alpha = 1{,}14 \gt 1$, also existiert kein Maximum 3. Ordnung“.
  • „Die Maxima liegen beim Gitter an anderen Stellen als beim Doppelspalt.“
    Nein – bei gleichem $g$ liegen die Hauptmaxima exakt gleich ($g\sin\alpha_n = n\lambda$). Das Gitter macht sie nur schärfer ($\propto 1/N$) und heller ($\propto N^2$). Das ist in der Simulation mit $N = 2$ gegen $N = 40$ direkt zu sehen.
  • Beim Spektrum „rot innen, blau außen“ (vom Prisma übernommen) oder 0. Ordnung farbig gezeichnet.
    Gitter: $\sin\alpha \propto \lambda$ – rot (großes $\lambda$) außen, violett innen; 0. Ordnung weiß, weil dort $\Delta s = 0$ für alle Wellenlängen. Prisma: rot am wenigsten abgelenkt (Dispersion). Beide Sätze mit Begründung aufschreiben.
  • Schärfe der Maxima „weil mehr Licht durchkommt“ oder nur „wegen Interferenz“ begründet.
    Punkte gibt es für das Argument: Kleine Phasendifferenzen benachbarter Spalte summieren sich über viele Spalte, bei $\Delta\varphi = 2\pi/N$ schließt sich das Zeigerpolygon – vollständige Auslöschung schon dicht neben dem Maximum, erstes Minimum bei $\lambda/N$.
  • Überlappung der Spektren ohne Rechnung behauptet oder bei der falschen Ordnung.
    Vergleiche $g\sin\alpha$: rot 2. Ordnung $2\cdot 700 = 1400\,\mathrm{nm}$, violett 3. Ordnung $3\cdot 400 = 1200\,\mathrm{nm}$. Da $1200 \lt 1400$: 2. und 3. Ordnung überlappen; 1. und 2. ($700 \lt 800$) nicht.
Abitur-Operatoren bei diesem Thema
  • Erläutern (scharfe Maxima, Spektrum, fehlende hohe Ordnung, Gitter gegen Prisma): Phänomen → Ursache (kohärente Elementarwellen aller Spalte, Gangunterschied benachbarter Spalte, Aufsummieren der Phasendifferenzen) → Bedingung ($g\sin\alpha_n = n\lambda$, Auslöschung bei $\lambda/N$). Ganze Sätze, Fachbegriffe.
  • Zeigen / Leiten Sie her: Skizze mit Spalten im Abstand $g$, parallelem Bündel, Lot und $\Delta s$; Begründung „benachbarte Spalte $n\lambda$ → alle verstärken sich“; für die Schärfe das Zeigerpolygon mit Winkel $2\pi/N$; Schlusssatz.
  • Berechnen / Bestimmen ($\lambda$, $g$, Winkel, $n_{\max}$): $g$ aus Strichzahl in m; exakt $\sin\alpha$; Einheiten; SCI-3; Antwortsatz; bei mehreren Ordnungen Mittelwert und Vergleich.
  • Beurteilen / Vergleichen (Gitter vs. Doppelspalt, Gitter vs. Prisma, welches Gitter ist geeignet): Kriterien nennen (Schärfe, Helligkeit, Ordnungszahl, Spreizung, Reihenfolge der Farben) und mit Formeln belegen, nicht nur aufzählen.
Warum das über die Klausur hinaus wichtig bleibt
Das Gitter ist das Messinstrument, mit dem in der Quantenphysik (Q3) die Linienspektren von Wasserstoff und Quecksilber vermessen werden – aus den Wellenlängen folgen die Energieniveaus der Atome (Balmer-Formel, Franck-Hertz, Photoeffekt mit Spektrallinien). Dieselbe Bedingung $g\sin\alpha = n\lambda$ beschreibt die Bragg-Reflexion von Röntgenstrahlen und Elektronen am Kristallgitter, mit der Kristallstrukturen bestimmt werden. Im Maschinenbau begegnet dir das Gitter in der optischen Spektroskopie zur Werkstoff- und Abgasanalyse, in Gitterlinealen für Positionsmessungen von Werkzeugmaschinen auf Mikrometer genau, in Spektrometern der Qualitätssicherung und in der Lasertechnik (Beugungsgitter als Wellenlängenfilter). Wer versteht, warum viele Spalte scharfe Maxima machen, versteht auch Antennenarrays und phased-array-Radar.

5 harte Fragen – hast du es wirklich verstanden?

Offene Aufgaben auf Papier lösen (Zeit stoppen!), erst dann die Lösung aufdecken und ehrlich Punkte geben. Die Ergebnisse werden auf diesem Gerät gespeichert.

Aufgabe 1Offene Aufgabe · ca. 15 min10 P

Wellenlänge eines Lasers mit dem Gitter

Ein roter Laser beleuchtet ein Gitter mit 300 Strichen pro Millimeter. Auf dem Schirm im Abstand $a = 80{,}0\,\mathrm{cm}$ misst man zwischen den beiden Maxima 1. Ordnung $31{,}0\,\mathrm{cm}$ und zwischen den beiden Maxima 2. Ordnung $65{,}7\,\mathrm{cm}$ (Ablesegenauigkeit jeweils $\pm 0{,}5\,\mathrm{cm}$).

  1. Bestimme die Wellenlänge des Lasers aus beiden Ordnungen und gib einen Mittelwert an.
  2. Ein Mitschüler rechnet mit der Kleinwinkelnäherung $\sin\alpha\approx x/a$ und erhält aus der 1. Ordnung $646\,\mathrm{nm}$. Beurteile sein Vorgehen quantitativ.
  3. Wie viele Maxima sind mit diesem Gitter und diesem Laser insgesamt beobachtbar? Begründe.
Erwartungshorizont
  • 2 Pa) $g = 1\,\mathrm{mm}/300 = 3{,}33\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$; $x_1 = 15{,}5\,\mathrm{cm}$, $x_2 = 32{,}85\,\mathrm{cm}$ (Halbierung begründet)
  • 3 Pa) exakt $\sin\alpha_n = x_n/\sqrt{x_n^2+a^2}$: $\sin\alpha_1 = 0{,}190$, $\sin\alpha_2 = 0{,}380$; $\lambda_1 = g\sin\alpha_1 = 634\,\mathrm{nm}$, $\lambda_2 = g\sin\alpha_2/2 = 633\,\mathrm{nm}$; Mittelwert $634\,\mathrm{nm}$, Antwortsatz (He-Ne-Laser, plausibel)
  • 3 Pb) $\tan\alpha_1 = 0{,}194$ statt $\sin\alpha_1 = 0{,}190$ → $\lambda$ um $1{,}9\,\%$ zu groß; $\alpha_1 = 11{,}0^\circ$ ist kein kleiner Winkel; die Abweichung ($12\,\mathrm{nm}$) ist größer als die Messunsicherheit ($\approx \pm 10\,\mathrm{nm}$) → Näherung unzulässig; in 2. Ordnung ($22{,}3^\circ$) wäre der Fehler $8\,\%$
  • 2 Pc) $n_{\max} = \lfloor g/\lambda\rfloor = \lfloor 5{,}26\rfloor = 5$; $n = 6$: $\sin\alpha = 1{,}14 \gt 1$; insgesamt $2\cdot 5 + 1 = 11$ Maxima
Musterlösung

a) Gitterkonstante: $g = \dfrac{1\,\mathrm{mm}}{300} = \dfrac{10^{-3}\,\mathrm{m}}{300} = 3{,}33\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$. Die gemessenen Abstände sind jeweils $2x_n$ (symmetrisch zur Mitte), also $x_1 = 15{,}5\,\mathrm{cm}$ und $x_2 = 32{,}85\,\mathrm{cm}$. Da die Winkel beim Gitter groß sind, rechnen wir exakt: $$\sin\alpha_1 = \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+a^2}} = \frac{15{,}5}{\sqrt{15{,}5^2+80{,}0^2}} = \frac{15{,}5}{81{,}5} = 0{,}190\quad(\alpha_1 = 11{,}0^\circ)$$ $$\sin\alpha_2 = \frac{32{,}85}{\sqrt{32{,}85^2+80{,}0^2}} = \frac{32{,}85}{86{,}5} = 0{,}380\quad(\alpha_2 = 22{,}3^\circ)$$ Aus $g\sin\alpha_n = n\lambda$: $\lambda_1 = g\sin\alpha_1 = 3{,}33\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}\cdot 0{,}190 = 6{,}34\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ und $\lambda_2 = \dfrac{g\sin\alpha_2}{2} = \dfrac{3{,}33\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}\cdot 0{,}380}{2} = 6{,}33\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$. Mittelwert: $\lambda = 6{,}34\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m} = 634\,\mathrm{nm}$. Das passt zu einem He-Ne-Laser ($633\,\mathrm{nm}$) – die beiden Ordnungen stimmen innerhalb von $0{,}2\,\%$ überein.

b) Mit $\sin\alpha_1 \approx \tan\alpha_1 = x_1/a = 15{,}5/80{,}0 = 0{,}194$ erhält man $\lambda = g\cdot 0{,}194 = 6{,}46\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ – also $646\,\mathrm{nm}$, um $12\,\mathrm{nm}$ oder $1{,}9\,\%$ zu groß. Der Winkel $\alpha_1 = 11{,}0^\circ$ ist kein kleiner Winkel mehr ($\tan$ und $\sin$ unterscheiden sich um fast $2\,\%$). Zum Vergleich die Messunsicherheit: $\pm 0{,}5\,\mathrm{cm}$ auf $31{,}0\,\mathrm{cm}$ sind $1{,}6\,\%$, also etwa $\pm 10\,\mathrm{nm}$. Der systematische Fehler der Näherung ist größer als die zufällige Messunsicherheit – das Vorgehen ist unzulässig. In der 2. Ordnung ($\alpha_2 = 22{,}3^\circ$) wäre der Fehler sogar $8\,\%$ ($\tan\alpha_2 = 0{,}411$ gegenüber $\sin\alpha_2 = 0{,}380$). Beim Gitter immer exakt rechnen.

c) Wegen $\sin\alpha_n \le 1$ muss $n\lambda \le g$ gelten: $n_{\max} = \left\lfloor\dfrac{g}{\lambda}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{3{,}33\cdot 10^{-6}}{6{,}34\cdot 10^{-7}}\right\rfloor = \lfloor 5{,}26\rfloor = 5$. Für $n = 6$ wäre $\sin\alpha = 6\cdot 0{,}190 = 1{,}14 \gt 1$ – unmöglich. Das Maximum 5. Ordnung liegt bei $\sin\alpha_5 = 0{,}951$, also $\alpha_5 = 72^\circ$ (auf einem ebenen Schirm bei $a = 80\,\mathrm{cm}$ wären das $x_5 = 2{,}5\,\mathrm{m}$ von der Mitte – der Schirm müsste sehr breit sein). Beobachtbar sind also $n = -5, \dots, 5$, insgesamt $11$ Maxima.

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Die drei Klassiker: $31{,}0\,\mathrm{cm}$ nicht halbiert; $g = 300\,\mathrm{mm}$ oder $3{,}33\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}$; Kleinwinkelnäherung ohne Prüfung. Bei b) genügt „ist nicht erlaubt“ nicht – der Punkt ist der Zahlenvergleich (Fehler $1{,}9\,\%$ gegenüber Messunsicherheit $1{,}6\,\%$). Bei c) $n_{\max}$ aufgerundet oder die Maxima nur auf einer Seite gezählt.
Meine Punkte:
Aufgabe 2Offene Aufgabe · ca. 12 min8 P

Herleitung: Warum das Gitter scharfe Maxima liefert

Ein Gitter wird mit $N$ Spalten beleuchtet.

  1. Zeige mit einer beschrifteten Skizze, dass die Hauptmaxima bei $g\sin\alpha_n = n\lambda$ liegen, und begründe, warum sich dabei alle $N$ Wellen verstärken.
  2. Zeige mit Hilfe von Zeigern, dass vollständige Auslöschung auftritt, wenn benachbarte Spalte die Phasendifferenz $\Delta\varphi = 2\pi/N$ haben, und folgere daraus, wie die Breite der Hauptmaxima von $N$ abhängt.
  3. Ein Gitter mit 600 Strichen/mm wird mit $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ beleuchtet. Berechne die Winkelbreite des Maximums 1. Ordnung (von Minimum zu Minimum) für $N = 5$ und für $N = 500$.
Erwartungshorizont
  • 2 Pa) Skizze (Spalte im Abstand $g$, paralleles Bündel unter $\alpha$, Lot, $\Delta s$); $\Delta s = g\sin\alpha$; bei $\Delta s = n\lambda$ hat Spalt $k$ gegenüber Spalt 1 den Gangunterschied $(k-1)n\lambda$ → alle gleichphasig → Maximum
  • 3 Pb) $N$ gleich lange Zeiger, jeder um $2\pi/N$ gegen den vorigen gedreht; Gesamtdrehung $2\pi$ → geschlossenes regelmäßiges $N$-Eck → Summe null; entspricht $\Delta s = \lambda/N$; erstes Minimum bei $g\sin\alpha = n\lambda \pm \lambda/N$ → Breite $\propto 1/N$; Schlusssatz
  • 3 Pc) $g = 1{,}67\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$, $\sin\alpha_1 = 0{,}380$; Minima bei $\sin\alpha = 0{,}380 \pm \lambda/(Ng)$; $N = 5$: $\sin\alpha = 0{,}304$ bzw. $0{,}456$ → $17{,}7^\circ$ bis $27{,}1^\circ$, Breite $9{,}4^\circ$; $N = 500$: $\pm 0{,}00076$ → Breite $0{,}094^\circ$
Musterlösung

a) Skizze: Gitter mit Spalten $S_1, S_2, S_3, \dots$ im Abstand $g$; von jedem Spalt ein Strahl unter dem Winkel $\alpha$ nach rechts oben (parallel, da $a \gg Ng$); Lot von $S_1$ auf den Strahl von $S_2$; das abgeschnittene Stück ist $\Delta s$.

Nach Huygens sind alle Spalte Ausgangspunkte kohärenter Elementarwellen. Im rechtwinkligen Dreieck $S_1$–$S_2$–Lotfußpunkt ist $g$ die Hypotenuse und $\Delta s$ die Gegenkathete von $\alpha$: $\Delta s = g\sin\alpha$. Ist $\Delta s = n\lambda$, so beträgt der Gangunterschied zwischen $S_1$ und $S_k$ gerade $(k-1)\cdot n\lambda$ – ein ganzzahliges Vielfaches von $\lambda$ für jedes $k$. Alle $N$ Wellen treffen daher gleichphasig ein (Berg auf Berg) und verstärken sich zur Amplitude $N\hat y$: Hauptmaximum bei $g\sin\alpha_n = n\lambda$.

b) Stelle jede der $N$ Wellen als Zeiger gleicher Länge dar. Haben benachbarte Spalte die Phasendifferenz $\Delta\varphi = 2\pi/N$, so ist jeder Zeiger gegenüber dem vorigen um den Winkel $2\pi/N$ gedreht. Nach $N$ Zeigern beträgt die Gesamtdrehung $N\cdot\dfrac{2\pi}{N} = 2\pi$: Der letzte Zeiger schließt genau an den Anfang des ersten an. Die $N$ Zeiger bilden ein geschlossenes regelmäßiges $N$-Eck, ihre Summe – die resultierende Amplitude – ist null. (Anschaulich: Spalt $k$ und Spalt $k+N/2$ sind um $\pi$ versetzt und löschen sich paarweise aus.) Der Phasendifferenz $2\pi/N$ entspricht der Gangunterschied $\Delta s = \lambda/N$. Das erste Minimum neben dem Hauptmaximum liegt also bei $$g\sin\alpha = n\lambda \pm \frac{\lambda}{N}.$$ Die Breite eines Hauptmaximums (von Minimum zu Minimum) ist damit $\Delta(\sin\alpha) = \dfrac{2\lambda}{Ng}$ – umgekehrt proportional zur Spaltzahl $N$. Schlusssatz: Je mehr Spalte beleuchtet werden, desto näher rückt das erste Minimum an das Maximum und desto schärfer wird es, was zu zeigen war.

c) $g = \dfrac{10^{-3}\,\mathrm{m}}{600} = 1{,}67\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$, $\sin\alpha_1 = \dfrac{\lambda}{g} = \dfrac{6{,}33\cdot 10^{-7}}{1{,}67\cdot 10^{-6}} = 0{,}380$, also $\alpha_1 = 22{,}3^\circ$. Die Minima liegen bei $\sin\alpha = 0{,}380 \pm \dfrac{\lambda}{Ng} = 0{,}380 \pm \dfrac{0{,}380}{N}$.

$N = 5$: $\sin\alpha = 0{,}380 \pm 0{,}076$, also $\sin\alpha = 0{,}304$ ($\alpha = 17{,}7^\circ$) und $0{,}456$ ($\alpha = 27{,}1^\circ$). Breite: $27{,}1^\circ - 17{,}7^\circ = 9{,}4^\circ$.

$N = 500$: $\sin\alpha = 0{,}380 \pm 0{,}00076$, also $\alpha = 22{,}27^\circ$ bis $22{,}37^\circ$, Breite $0{,}094^\circ$ – hundertmal schmaler, wie $1/N$ verlangt. Ein Laserstrahl von $1\,\mathrm{mm}$ Durchmesser beleuchtet bereits $600$ Striche; deshalb erscheinen die Gittermaxima als scharfe Punkte.

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Bei a) wird oft nur das Doppelspaltargument wiederholt, ohne den Satz „Spalt $k$ hat Gangunterschied $(k-1)n\lambda$, also alle gleichphasig“. Bei b) fehlt häufig der Schritt „Gesamtdrehung $N\cdot 2\pi/N = 2\pi$ → Polygon geschlossen“. Bei c) nicht die Winkel differenzieren, sondern $\sin\alpha$ addieren und dann erst die Winkel ausrechnen (bei $N = 5$ macht das einen deutlichen Unterschied).
Meine Punkte:
Aufgabe 3Offene Aufgabe · ca. 12 min8 P

Transfer: CD als Reflexionsgitter und weißes Licht

Ein grüner Laserpointer ($\lambda = 532\,\mathrm{nm}$) trifft senkrecht auf die Datenseite einer CD. Die reflektierten Maxima werden auf einem Schirm im Abstand $a = 20{,}0\,\mathrm{cm}$ parallel zur CD aufgefangen; das Maximum 1. Ordnung liegt $7{,}0\,\mathrm{cm}$ neben dem direkt reflektierten Strahl.

  1. Erläutere, warum eine CD wie ein Gitter wirkt, und bestimme den Spurabstand $g$.
  2. Berechne, wo das Maximum 2. Ordnung liegt, und untersuche, ob ein Maximum 3. Ordnung beobachtbar ist.
  3. Die CD wird nun mit weißem Licht beleuchtet. Beschreibe das Bild in der 1. Ordnung und vergleiche die Farbfolge mit der eines Prismas. Begründe beides.
Erwartungshorizont
  • 1 Pa) Datenspuren im festen Abstand $g$ reflektieren wie viele kohärente Quellen → Reflexionsgitter, Bedingung $g\sin\alpha_n = n\lambda$
  • 2 Pa) exakt $\sin\alpha_1 = 7{,}0/\sqrt{7{,}0^2+20{,}0^2} = 0{,}330$ ($\alpha_1 = 19{,}3^\circ$); $g = \lambda/\sin\alpha_1 = 1{,}61\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$; Antwortsatz (Literatur $1{,}6\,\mathrm{\mu m}$)
  • 2 Pb) $\sin\alpha_2 = 2\lambda/g = 0{,}661$, $\alpha_2 = 41{,}4^\circ$, $x_2 = a\tan\alpha_2 = 17{,}6\,\mathrm{cm}$; $n = 3$: $\sin\alpha_3 = 0{,}991$, $\alpha_3 = 82^\circ$ – theoretisch möglich, aber $x_3 = 1{,}5\,\mathrm{m}$, praktisch nicht auf dem Schirm (streifend, sehr schwach)
  • 3 Pc) 0. Ordnung weiß; 1. Ordnung Spektrum von violett ($14{,}4^\circ$) innen bis rot ($25{,}8^\circ$) außen, da $\sin\alpha \propto \lambda$; Prisma: rot am wenigsten abgelenkt (Dispersion, $n$ für blau größer) – umgekehrte Reihenfolge
Musterlösung

a) Die Datenspuren einer CD liegen als konzentrische Rillen im festen Abstand $g$ nebeneinander. Jede Spur reflektiert das auftreffende Licht; nach Huygens sind die Spuren kohärente Ausgangspunkte von Elementarwellen, genau wie die Spalte eines Durchlichtgitters. Benachbarte Spuren haben unter dem Winkel $\alpha$ den Gangunterschied $g\sin\alpha$, Maxima entstehen bei $g\sin\alpha_n = n\lambda$ – die CD ist ein Reflexionsgitter.

Exakter Winkel (keine Kleinwinkelnäherung, $x$ ist nicht klein gegen $a$): $$\sin\alpha_1 = \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+a^2}} = \frac{7{,}0}{\sqrt{7{,}0^2+20{,}0^2}} = \frac{7{,}0}{21{,}2} = 0{,}330,\qquad \alpha_1 = 19{,}3^\circ.$$ $$g = \frac{\lambda}{\sin\alpha_1} = \frac{5{,}32\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}}{0{,}330} = 1{,}61\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}.$$ Der Spurabstand beträgt $1{,}61\,\mathrm{\mu m}$ – in guter Übereinstimmung mit dem Normwert $1{,}6\,\mathrm{\mu m}$.

b) 2. Ordnung: $\sin\alpha_2 = \dfrac{2\lambda}{g} = 2\cdot 0{,}330 = 0{,}661$, also $\alpha_2 = 41{,}4^\circ$ und $x_2 = a\tan\alpha_2 = 20{,}0\,\mathrm{cm}\cdot 0{,}880 = 17{,}6\,\mathrm{cm}$. (Mit der Kleinwinkelnäherung käme $14\,\mathrm{cm}$ heraus – deutlich falsch.) 3. Ordnung: $\sin\alpha_3 = 3\cdot 0{,}330 = 0{,}991 \lt 1$, also existiert es gerade noch, bei $\alpha_3 = 82^\circ$. Auf dem Schirm wäre das bei $x_3 = a\tan 82^\circ = 1{,}5\,\mathrm{m}$ – fast streifend zur CD, extrem schwach und praktisch nicht beobachtbar. Die 4. Ordnung ($\sin\alpha = 1{,}32$) gibt es nicht: $n_{\max} = \lfloor g/\lambda\rfloor = \lfloor 3{,}03\rfloor = 3$.

c) Mit weißem Licht bleibt die 0. Ordnung (direkte Reflexion) weiß, weil dort der Gangunterschied für alle Wellenlängen null ist. In der 1. Ordnung erscheint ein Spektrum: Nach $\sin\alpha_1 = \lambda/g$ liegt violett ($400\,\mathrm{nm}$) bei $\sin\alpha = 0{,}248$, also $14{,}4^\circ$ – innen; rot ($700\,\mathrm{nm}$) bei $\sin\alpha = 0{,}435$, also $25{,}8^\circ$ – außen. Der Ablenkwinkel wächst mit der Wellenlänge. Beim Prisma ist es umgekehrt: Dort entsteht das Spektrum durch Dispersion, die Brechzahl ist für kurze Wellenlängen größer, also wird violett am stärksten und rot am wenigsten gebrochen. Gitter: rot außen (Interferenz, $\sin\alpha\propto\lambda$); Prisma: rot innen (Brechung, $n(\lambda)$ fällt mit $\lambda$).

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Typisch: Kleinwinkelnäherung bei $19^\circ$ (Fehler $6\,\%$ bei $g$); bei b) „3. Ordnung existiert nicht“ ohne Rechnung – sie existiert knapp ($0{,}991 \lt 1$), ist nur unbeobachtbar; bei c) Farbfolge vom Prisma übernommen. Die Begründung „weil $\sin\alpha\propto\lambda$“ muss dastehen.
Meine Punkte:
Aufgabe 4Multiple Choice · genau eine Antwort2 P

Bei einem Gitterversuch wird die Zahl der beleuchteten Spalte $N$ verdoppelt (Gitterkonstante $g$ und Wellenlänge $\lambda$ bleiben gleich). Welche Aussage ist richtig?

Aufgabe 5Multiple Choice · genau eine Antwort2 P

Ein Gitter mit 600 Strichen/mm wird mit Licht der Wellenlänge $500\,\mathrm{nm}$ beleuchtet. Wie viele Maxima sind insgesamt (beide Seiten plus Mitte) zu sehen?

Meine Notizen zu „Gitter: scharfe Maxima und Spektren“

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