Mathe-Werkzeug für die Physik: Winkel, Näherungen, Ableiten, Einheiten

Die vier Werkzeuge, an denen Physikklausuren wirklich scheitern – sauber erklärt und an LK-Beispielen geübt.

Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen

Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck – und wo sie in der Physik steckt

Alle drei Winkelfunktionen sind Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Vom Winkel $\alpha$ aus gesehen:

Merkhilfe „GAGA HHAG“: Gegenkathete, Ankathete, Gegenkathete über Hypotenuse, Hypotenuse, Ankathete. Die entscheidende Frage in jeder Aufgabe lautet: Welche zwei Seiten kenne ich bzw. brauche ich? Daraus folgt die Funktion. Beispiel: Eine Kraft $F = 10{,}0\,\mathrm{N}$ wirkt unter $30^\circ$ zur Waagerechten. Die waagerechte Komponente ist die Ankathete zur Hypotenuse $F$: $F_x = F\cos 30^\circ = 8{,}66\,\mathrm{N}$; die senkrechte ist die Gegenkathete: $F_y = F\sin 30^\circ = 5{,}00\,\mathrm{N}$. Kontrolle: $\sqrt{8{,}66^2 + 5{,}00^2} = 10{,}0$.

Zwei Dinge gehen in Klausuren schief. Erstens: Beim Doppelspalt gibt es zwei verschiedene Dreiecke – an den Spalten steht $\sin\alpha = \Delta s/g$, zwischen Spalt und Schirm $\tan\alpha = x/a$. Zweitens: Die Umkehrfunktion. Aus $\sin\alpha = 0{,}3165$ folgt $\alpha = \arcsin(0{,}3165) = 18{,}5^\circ$ (Taschenrechner: $\sin^{-1}$, Modus DEG prüfen – im Modus RAD käme $0{,}322$ heraus, das ist derselbe Winkel im Bogenmaß).

Bogenmaß und Kleinwinkelnäherung – mit Grenzen

Ein Winkel lässt sich statt in Grad auch als Bogenlänge am Einheitskreis angeben: $\alpha_{\mathrm{rad}} = \dfrac{\text{Bogenlänge}}{\text{Radius}}$. Der volle Kreis hat den Umfang $2\pi r$, also $360^\circ = 2\pi$ und

Zum Beispiel $30^\circ = \dfrac{\pi}{6} = 0{,}524$, $90^\circ = \dfrac{\pi}{2} = 1{,}571$, $180^\circ = \pi$ und $360^\circ = 2\pi = 6{,}283$.

Das Bogenmaß hat keine Einheit (Länge durch Länge); man schreibt zur Erinnerung „rad“. Darum steht die Kreisfrequenz $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ in $\mathrm{rad/s}$ bzw. einfach $\mathrm{s^{-1}}$: Bei $T = 0{,}50\,\mathrm{s}$ ist $\omega = 12{,}6\,\mathrm{s^{-1}}$ (und nicht $720^\circ\mathrm{/s}$). Nur im Bogenmaß gilt $v = \omega r$ (Bogen $= r\cdot\varphi$), und nur im Bogenmaß stimmt $y(t) = \hat y\sin(\omega t)$. Taschenrechner bei Schwingungen also auf RAD stellen, bei Dreiecksaufgaben auf DEG – und vor jeder Rechnung hinschauen.

Kleinwinkelnäherung. Für kleine Winkel sind Gegenkathete, Bogen und Tangentenstück fast gleich lang (siehe Simulation und Herleitung): $\sin\alpha\approx\alpha\approx\tan\alpha$ – mit $\alpha$ im Bogenmaß. Wer $5^\circ$ einsetzt und $\sin 5^\circ \approx 5$ schreibt, liegt um den Faktor $57$ daneben ($\sin 5^\circ = 0{,}0872$). Wie groß der Fehler ist, sagt die Tabelle:

Faustregel: Bis etwa $5^\circ$ ist der Fehler kleiner als $0{,}4\,\%$ – unterhalb der Ablesegenauigkeit jeder Schulmessung. Bei $10^\circ$ liegt $\tan$ schon $1{,}5\,\%$ über $\sin$, bei $20^\circ$ sind es $6\,\%$. Zwei Grenzfälle aus dem LK:

• Doppelspalt – erlaubt. $g = 0{,}25\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$: $\sin\alpha_1 = \lambda/g = 2{,}53\cdot 10^{-3}$, also $\alpha_1 = 0{,}145^\circ$. Hier ist $x \ll a$, und $\sin\alpha = \tan\alpha$ auf sechs Stellen. Die Näherung $x_n = n\lambda a/g$ ist zulässig – aber die Begründung „$x\ll a$, kleine Winkel“ muss dastehen.
• Gitter – verboten. $500$ Striche pro mm, also $g = 2{,}00\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$: $\sin\alpha_1 = 0{,}3165$, $\alpha_1 = 18{,}5^\circ$. Exakt liegt das erste Maximum bei $x_1 = a\tan\alpha_1 = 0{,}500\,\mathrm{m}$ (für $a = 1{,}50\,\mathrm{m}$), die Näherung liefert $0{,}475\,\mathrm{m}$ – $5\,\%$ daneben, in der 2. Ordnung ($\alpha_2 = 39{,}3^\circ$) schon $23\,\%$. Beim Gitter immer exakt: $\sin\alpha_n = n\lambda/g$ und $\tan\alpha_n = x_n/a$ getrennt rechnen.

Formeln umstellen – Wurzeln, Quotienten, quadratische Gleichungen

Umstellen ist Gleichungslösen mit Buchstaben. Das Prinzip bleibt: Auf beiden Seiten dieselbe Operation, die gesuchte Größe isolieren, und bei jedem Schritt notieren, was du tust. Drei Muster decken fast alles im LK ab.

Muster 1: Wurzel. Federpendel $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}$, gesucht $D$. Erst durch $2\pi$ teilen, dann quadrieren (die Wurzel verschwindet), dann den Bruch auflösen:

Zahlenprobe: $m = 0{,}200\,\mathrm{kg}$, $T = 0{,}80\,\mathrm{s}$ ergibt $D = \dfrac{4\pi^2\cdot 0{,}200\,\mathrm{kg}}{0{,}64\,\mathrm{s^2}} = 12{,}3\,\mathrm{N/m}$. Kehrwertfalle: $D = \dfrac{T^2}{4\pi^2 m}$ wäre falsch – $D$ steht unten im Bruch, nach dem Kehrwertbilden also oben. Kontrolle mit der Einheit: $\mathrm{kg/s^2} = \mathrm{N/m}$, denn $\mathrm{N} = \mathrm{kg\,m/s^2}$. Genauso: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ ergibt $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ und $l = \dfrac{g T^2}{4\pi^2}$.

Muster 2: Quotienten und Produkte. Aus $x_n = \dfrac{n\lambda a}{g}$ folgt $\lambda = \dfrac{x_n g}{n a}$: Was im Zähler steht, kommt beim Auflösen nach unten, was im Nenner steht, nach oben. Hall-Spannung $U_H = \dfrac{IB}{nqd}$ nach $n$ aufgelöst: $n = \dfrac{IB}{U_H\, q\, d}$. Kondensator $C = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{d}$ nach $d$: $d = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{C}$. Doppelbrüche sofort auflösen: $\dfrac{1}{a/b} = \dfrac{b}{a}$.

Muster 3: Quadratische Gleichung. Taucht die Gesuchte quadratisch und linear auf, etwa bei $s = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ (gesucht $t$), bringst du alles auf eine Seite und teilst durch den Faktor vor $t^2$, bis die Normalform $t^2 + p\,t + q = 0$ dasteht. Dann die $pq$-Formel:

Von den zwei Lösungen passt meist nur eine zur Physik (negative Zeiten oder Längen scheiden aus – das begründest du in einem Satz). Steht die Gesuchte nur quadratisch da ($E = \tfrac12 mv^2$), reicht die Wurzel: $v = \sqrt{2E/m}$.

Zehnerpotenzen, Taschenrechner, SCI-3 und Einheitenkontrolle

Die meisten Zahlenfehler in Physikklausuren sind keine Rechenfehler, sondern Zehnerpotenz- und Eingabefehler. Dagegen hilft eine feste Routine: alle Größen in SI-Grundeinheiten umrechnen, bevor sie in die Formel kommen.

Die Potenzgesetze erledigen den Rest: $10^a\cdot 10^b = 10^{a+b}$, $10^a/10^b = 10^{a-b}$, $(10^a)^b = 10^{ab}$. Vorsicht bei Flächen und Volumina: $1\,\mathrm{cm^2} = (10^{-2}\,\mathrm{m})^2 = 10^{-4}\,\mathrm{m^2}$, $1\,\mathrm{mm^3} = 10^{-9}\,\mathrm{m^3}$.

Taschenrechner – drei Regeln. (1) Zehnerpotenzen über die Taste EXP bzw. EE bzw. ×10ˣ eingeben: „6.33 EXP −7“ ist eine einzige Zahl; „$6{,}33\times 10$ ^ $-7$“ funktioniert zwar auch, verführt aber zu Vorrangfehlern. (2) Klammern um jeden Nenner, der mehr als eine Größe enthält: $\dfrac{IB}{nqd}$ muss als „(I·B) ÷ (n·q·d)“ eingegeben werden. Ohne Klammer rechnet der Taschenrechner $\dfrac{IB}{n}\cdot q\cdot d$ – das Ergebnis ist um viele Zehnerpotenzen falsch, und die Zahl sieht trotzdem „irgendwie“ aus. Genauso $\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$: „1 ÷ (2π√(L·C))“. (3) Anzeige auf SCI 3 stellen (wissenschaftliche Schreibweise mit drei gültigen Ziffern). Dann steht $5{,}44\cdot 10^{-7}$ da statt $0{,}000000544$ oder $5{,}4400012\cdot 10^{-7}$ – und du schreibst automatisch das Richtige ab. Zwischenergebnisse behältst du mit mehr Stellen im Speicher (ANS), rundest also erst am Ende.

Einheitenkontrolle als Fehlersuche. Führe die Einheiten beim Einsetzen mit. Kommt nicht die erwartete Einheit heraus, ist die Formel oder das Umstellen falsch – noch bevor du eine Zahl ausgerechnet hast. Drei Beispiele, die im LK ständig auftauchen:

• $\tau = RC$: $\mathrm{\Omega\cdot F} = \dfrac{\mathrm V}{\mathrm A}\cdot\dfrac{\mathrm{A\,s}}{\mathrm V} = \mathrm s$ – eine Zeit, wie es sein muss.
• Feldstärke: $\dfrac{\mathrm V}{\mathrm m} = \dfrac{\mathrm J/\mathrm C}{\mathrm m} = \dfrac{\mathrm{N\,m}}{\mathrm{C\,m}} = \dfrac{\mathrm N}{\mathrm C}$ – darum passen $E = U/d$ und $F = qE$ zusammen.
• Tesla: aus $F = IlB$ folgt $\mathrm T = \dfrac{\mathrm N}{\mathrm{A\,m}}$, aus der Induktion $\mathrm T = \dfrac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{m^2}}$; beides ist dasselbe, denn $\mathrm{V\,A\,s} = \mathrm J = \mathrm{N\,m}$.

Und das Grundgerüst, das du auswendig brauchst: $\mathrm J = \mathrm{N\,m} = \mathrm{kg\,m^2/s^2} = \mathrm{V\,A\,s} = \mathrm{W\,s}$ sowie $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm J$.

Proportionalität und Graphen – was eine Formel über die Kurvenform sagt

Eine Formel ist auch eine Aussage über die Form eines Graphen. Wer das sieht, kann Diagramme deuten und Messreihen richtig auftragen.

Linearisieren heißt: die Achsen so wählen, dass eine Gerade herauskommt – denn nur bei einer Geraden kann man mit Lineal und Steigungsdreieck prüfen, ob das Modell stimmt, und aus der Steigung eine Größe bestimmen. Aus $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ wird $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$: Trägst du $T^2$ gegen $l$ auf, ist die Steigung $4\pi^2/g$. Aus $x_n = \dfrac{\lambda a}{g} n$: $x_n$ gegen $n$, Steigung $\lambda a/g$. Aus $U = U_0 e^{-t/\tau}$ wird durch Logarithmieren $\ln U = \ln U_0 - \dfrac{t}{\tau}$: $\ln U$ gegen $t$, Steigung $-1/\tau$. Wie du daraus mit Ausgleichsgerade, Unsicherheit und Vergleich mit dem Literaturwert die vollen Punkte holst, steht ausführlich auf der Seite Messdaten auswerten.

Ableiten für die Physik – Steigung, Änderungsrate, Kettenregel

Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung ihrer Tangente, und physikalisch die momentane Änderungsrate: $v = \dfrac{\mathrm ds}{\mathrm dt}$ (wie schnell ändert sich der Ort), $a = \dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$, $I = \dfrac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}$ (wie viel Ladung fließt pro Sekunde). Eine negative Ableitung heißt: Die Größe nimmt ab. Das ist bereits ein Plausibilitätshaken – die Spannung am entladenden Kondensator muss eine negative Ableitung haben.

Regeln, die du brauchst: Potenzregel $\left(t^n\right)' = n\,t^{n-1}$ (also $(\tfrac12 a t^2)' = a t$), konstante Faktoren bleiben stehen, Summen werden gliedweise abgeleitet, Produktregel $(u\cdot v)' = u'v + uv'$ (selten nötig) und vor allem die Kettenregel: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“. Die Kettenregel ist in der Physik der Normalfall, weil in fast jeder Funktion nicht einfach $t$ steht, sondern $\omega t$ oder $-t/\tau$.

Sinus und Kosinus. Für die Schwingung $y(t) = \hat y\sin(\omega t)$ ist die innere Funktion $\omega t$ mit innerer Ableitung $\omega$:

Jedes Ableiten holt einen Faktor $\omega$ heraus – die Maximalgeschwindigkeit ist $v_{\max} = \hat y\omega$, die Maximalbeschleunigung $a_{\max} = \hat y\omega^2$. Und das letzte Gleichheitszeichen ist die Differentialgleichung der Schwingung $\ddot y = -\omega^2 y$ aus dem Regelheft: Beschleunigung proportional zur Auslenkung und ihr entgegengerichtet. Vergleich mit Newton und Hooke, $m\ddot y = -D y$, liefert $\omega^2 = D/m$ – so entsteht $T = 2\pi\sqrt{m/D}$. Merke: $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\cos(\omega t) = -\omega\sin(\omega t)$ (Minuszeichen!).

Die e-Funktion – Schritt für Schritt. Hier passiert der häufigste Fehler: Die Kettenregel wird vergessen. Für $f(t) = e^{-t/\tau}$:

1. Innere Funktion benennen: $u(t) = -\dfrac{t}{\tau} = -\dfrac{1}{\tau}\cdot t$. Äußere Funktion: $e^{u}$.
2. Äußere Ableitung: $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm du}e^{u} = e^{u}$ – die e-Funktion reproduziert sich.
3. Innere Ableitung: $u'(t) = -\dfrac{1}{\tau}$ (Ableitung von „Konstante mal $t$“ ist die Konstante).
4. Multiplizieren: $f'(t) = e^{u}\cdot u' = -\dfrac{1}{\tau}\,e^{-t/\tau}$.

Angewandt auf die Kondensatorentladung $U(t) = U_0 e^{-t/\tau}$ mit $\tau = RC$: $\dot U = -\dfrac{U_0}{\tau}e^{-t/\tau}$, und der Strom ist $I(t) = -C\,\dot U = \dfrac{U_0}{R}\,e^{-t/\tau}$ – bei $t = 0$ also $I_0 = U_0/R$, genau das Ohmsche Gesetz. Zwei Kontrollen: Die Steigung bei $t = 0$ ist $-U_0/\tau$, und die Tangente an einem beliebigen Punkt trifft die Zeitachse immer genau $\tau$ später (Simulation, Modus „Ableitung“). Falsch und leider häufig: $\dot U = U_0 e^{-t/\tau}$ (Kettenregel vergessen, Vorzeichen falsch) oder $\dot U = -t\,e^{-t/\tau}$ (nach $t$ statt nach $u$ abgeleitet).

Logarithmus und Integral – Exponentialgleichungen lösen, Flächen als Arbeit

Der natürliche Logarithmus $\ln$ ist die Umkehrung der e-Funktion: $\ln\left(e^{a}\right) = a$ und $e^{\ln a} = a$. Damit holst du eine Größe aus dem Exponenten. Standardaufgabe: Nach welcher Zeit ist die Kondensatorspannung auf die Hälfte gefallen?

Allgemein: $\dfrac{U}{U_0} = e^{-t/\tau}$ ergibt $t = -\tau\ln\dfrac{U}{U_0}$. Für $U/U_0 = 0{,}10$ (auf $10\,\%$ abgefallen) ist $t = 2{,}30\,\tau$. Rechenregeln, die du dafür brauchst: $\ln(a\cdot b) = \ln a + \ln b$, $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$, $\ln\left(a^n\right) = n\ln a$, $\ln 1 = 0$. Taschenrechner: ln ist der natürliche Logarithmus (Basis $e$), log meist der Zehnerlogarithmus – bei e-Funktionen immer $\ln$.

Mit dem Logarithmus linearisierst du auch die Messreihe: $\ln U = \ln U_0 - \dfrac{1}{\tau}\,t$ ist eine Geradengleichung in $t$ mit Steigung $-1/\tau$ und Achsenabschnitt $\ln U_0$. Aus einer Entladekurve wird so eine Gerade, deren Steigung $\tau$ liefert.

Integral = Fläche. Ist eine Kraft nicht konstant, ist die Arbeit nicht einfach $F\cdot s$, sondern die Fläche unter dem $F$-$s$-Graphen: $W = \displaystyle\int F\,\mathrm ds$ – die Summe vieler schmaler Rechtecke $F\cdot\Delta s$. Für die Feder ($F = D s$, Ursprungsgerade) ist die Fläche ein Dreieck: $W = \tfrac12\cdot s\cdot Ds = \tfrac12 D s^2$. Exakt dasselbe Argument liefert die Energie des Kondensators: Die Spannung wächst beim Laden linear mit der Ladung ($U = Q/C$), die Fläche unter der $U$-$Q$-Geraden ist $W = \tfrac12 Q U = \tfrac12 C U^2$. Weitere Flächen im LK: unter dem $v$-$t$-Graphen der Weg, unter dem $I$-$t$-Graphen die Ladung, unter dem $P$-$t$-Graphen die Energie. Wer die Fläche sieht, braucht die Integralformeln aus dem Mathe-LK meist gar nicht – Dreieck und Rechteck reichen.

Simulation: Kleinwinkelnäherung am Einheitskreis – und Ableitungen zum Anfassen

Herleitung: Kleinwinkelnäherung $\sin\alpha\approx\alpha\approx\tan\alpha$ aus drei Flächen am Einheitskreis

Diese Herleitung zeigt nicht nur, dass die Näherung gilt, sondern auch, in welcher Reihenfolge die drei Größen liegen und wie groß der Fehler ist. Skizze: Einheitskreis (Radius 1) um $O$, Punkt $B = (1\,|\,0)$ auf der Achse, Punkt $A$ auf dem Kreis unter dem Winkel $\alpha$ (im Bogenmaß, $0 \lt \alpha \lt \pi/2$), Punkt $C$ senkrecht über $B$ auf dem verlängerten Schenkel $OA$.

Formeln, die du sicher können musst

Typische Fehler – und wie du die Punkte holst

• $\sin\alpha\approx\alpha$ mit $\alpha$ in Grad benutzt: „$\sin 5^\circ\approx 5$“.
  Die Näherung gilt nur im Bogenmaß: $5^\circ = 0{,}0873\,\mathrm{rad}$, $\sin 5^\circ = 0{,}0872$. Vor jeder Näherung umrechnen ($\cdot\,\pi/180^\circ$) und den Taschenrechnermodus prüfen.
• Kleinwinkelnäherung beim Gitter angewendet: $x_n = n\lambda a/g$ mit $g = 2\,\mu\mathrm{m}$.
  Beim Gitter sind die Winkel groß ($\alpha_1\approx 18^\circ$ bei $633\,\mathrm{nm}$): exakt rechnen mit $\sin\alpha_n = n\lambda/g$, dann $x_n = a\tan\alpha_n$. Die Näherung begründest du immer mit Zahlen („$\alpha_1 = 0{,}15^\circ$, also $x\ll a$“).
• $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}e^{-t/\tau} = e^{-t/\tau}$ oder $= -t\,e^{-t/\tau}$ – Kettenregel vergessen.
  Innere Funktion $u = -t/\tau$ hat die Ableitung $-1/\tau$. Also $-\dfrac1\tau e^{-t/\tau}$. Kontrolle: Die Ableitung muss negativ sein (die Größe nimmt ab) und die Einheit $1/\mathrm s$ tragen.
• Taschenrechner ohne Klammern im Nenner: „2 × 0,5 ÷ 8,5 EXP 28 × 1,602 EXP −19 × 1 EXP −4“ ergibt $10^{-52}\,\mathrm V$.
  Jeden zusammengesetzten Nenner in Klammern: „(2 × 0,5) ÷ (8,5E28 × 1,602E−19 × 1E−4)“ $= 7{,}34\cdot 10^{-7}\,\mathrm V$. Plausibilitätshaken: Hall-Spannungen an Metallen liegen im $\mu\mathrm V$-Bereich; $10^{-52}$ ist kein physikalischer Wert.
• Sieben Taschenrechnerstellen abgeschrieben ($\lambda = 0{,}000000544\,\mathrm m$ oder $5{,}4400012\cdot 10^{-7}$), Einheit vergessen.
  SCI-3 einstellen und drei gültige Ziffern mit Einheit angeben: $\lambda = 5{,}44\cdot 10^{-7}\,\mathrm m = 544\,\mathrm{nm}$. Zwischenergebnisse im Speicher genauer halten, nur das Endergebnis runden.
• Beim Umstellen von $T = 2\pi\sqrt{m/D}$ den Kehrwert vergessen: $D = \dfrac{T^2}{4\pi^2 m}$.
  Nach dem Quadrieren steht $\dfrac{T^2}{4\pi^2} = \dfrac{m}{D}$; $D$ steht im Nenner, nach dem Kehrwert also oben: $D = \dfrac{4\pi^2 m}{T^2}$. Einheitencheck entlarvt den Fehler sofort: $\mathrm{s^2/kg}$ ist kein $\mathrm{N/m}$.
• Einheiten gemischt: $g$ in mm, $x$ in cm, $a$ in m in eine Formel gesteckt.
  Vor dem Einsetzen alles in SI-Grundeinheiten (m, s, kg, A, V) umrechnen und die Einheiten in der Rechnung mitschreiben. Was am Ende herauskommt, muss die erwartete Einheit haben – sonst stimmt etwas nicht.

5 harte Fragen – hast du es wirklich verstanden?

Offene Aufgaben auf Papier lösen (Zeit stoppen!), erst dann die Lösung aufdecken und ehrlich Punkte geben. Die Ergebnisse werden auf diesem Gerät gespeichert.