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Wellen (Q2) · Klausur 19.10.

Wellen: Grundgrößen & Wellengleichung

Was eine Welle ist, welche fünf Größen sie beschreiben und wie aus einer Schwingung die Gleichung $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$ wird.

0 von 5 Fragen bearbeitet
Das Wichtigste in einem SatzEine Welle ist eine Schwingung, die sich über gekoppelte Oszillatoren ausbreitet – sie transportiert Energie, aber keine Materie. Jeder Oszillator schwingt mit der Periodendauer $T$ wie der Erreger, nur um die Laufzeit $x/c$ verspätet; daraus folgt die Wellengleichung $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$ mit $\omega = 2\pi/T$, $k = 2\pi/\lambda$ und $c = \lambda\cdot f = \omega/k$.

Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen

Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.

Was ist eine harmonische Schwingung, und was bedeuten Amplitude, Periodendauer und Frequenz?
Eine harmonische Schwingung ist eine Bewegung, deren Auslenkung einer Sinusfunktion folgt: $y(t) = \hat y\sin(\omega t)$. $\hat y$ ist die Amplitude (größte Auslenkung), $T$ die Periodendauer (Zeit für eine volle Schwingung), $f = 1/T$ die Frequenz (Schwingungen pro Sekunde, Einheit Hz $= 1/\mathrm{s}$). Die Kreisfrequenz $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$ sorgt dafür, dass das Argument des Sinus nach einer Periode um $2\pi$ gewachsen ist. Beispiel Federpendel mit $T = 0{,}50\,\mathrm{s}$: $f = 2{,}0\,\mathrm{Hz}$, $\omega = 2\pi\cdot 2{,}0\,\mathrm{Hz} = 12{,}6\,\mathrm{s^{-1}}$.
Bogenmaß: Was bedeutet 2π, und wie verhält sich der Sinus bei Verschiebung um π und 2π?
Im Bogenmaß entspricht der volle Kreis $2\pi$ (statt $360^\circ$), ein Viertelkreis $\pi/2$. Der Sinus ist $2\pi$-periodisch: $\sin(\varphi + 2\pi) = \sin\varphi$. Eine Verschiebung um $\pi$ kehrt das Vorzeichen um: $\sin(\varphi + \pi) = -\sin\varphi$. Deshalb heißt „Phasenunterschied $2\pi$“ gleichphasig und „Phasenunterschied $\pi$“ gegenphasig. Taschenrechner bei Wellenrechnungen immer auf RAD stellen – mit DEG kommt bei $\sin(15{,}7\cdot 0{,}3)$ Unsinn heraus.
Was bedeutet die Phase einer Schwingung, und was ist eine Phasenverschiebung?
Die Phase ist das Argument der Sinusfunktion, $\varphi(t) = \omega t + \varphi_0$; sie sagt, „wo im Zyklus“ der Oszillator gerade ist. Zwei Oszillatoren mit gleicher Frequenz, aber verschiedenem $\varphi_0$ sind phasenverschoben: Bei $\Delta\varphi = \pi/2$ geht der eine gerade durch die Ruhelage, während der andere im Umkehrpunkt ist; bei $\Delta\varphi = \pi$ ist der eine oben, wenn der andere unten ist. Genau diese Phasenverschiebung zwischen benachbarten Oszillatoren macht aus vielen Schwingungen eine Welle.
Geschwindigkeit als Weg pro Zeit – mit Einheiten.
$v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$, Einheit m/s. Legt ein Wellenberg $0{,}80\,\mathrm{m}$ in $0{,}40\,\mathrm{s}$ zurück, ist $c = \dfrac{0{,}80\,\mathrm{m}}{0{,}40\,\mathrm{s}} = 2{,}0\,\mathrm{m/s}$. Umgekehrt: Laufzeit $\Delta t = \dfrac{\Delta s}{v}$ – mit dieser Zeile wird später die Wellengleichung hergeleitet. Einheiten immer mitschreiben, dann fällt ein Vertauschen von Zähler und Nenner sofort auf.
Einheiten und Vorsätze: Hz, ms, nm, km/s – und wie rechnet man 440 Hz in eine Periodendauer um?
$1\,\mathrm{Hz} = 1\,\mathrm{s^{-1}}$, also $T = 1/f$. Für den Kammerton $f = 440\,\mathrm{Hz}$: $T = \dfrac{1}{440\,\mathrm{s^{-1}}} = 2{,}27\cdot 10^{-3}\,\mathrm{s} = 2{,}27\,\mathrm{ms}$. Vorsätze: $\mathrm{m} = 10^{-3}$, $\mathrm{\mu} = 10^{-6}$, $\mathrm{n} = 10^{-9}$, $\mathrm{k} = 10^{3}$, $\mathrm{M} = 10^{6}$. Licht mit $\lambda = 600\,\mathrm{nm} = 6{,}00\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ hat $f = c/\lambda = 5{,}00\cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}$. Vor jeder Rechnung in SI-Einheiten umrechnen, am Ende SCI-3.

Was ist eine Welle? Gekoppelte Oszillatoren

Stell dir eine lange Reihe von Pendeln vor, die durch Federn verbunden sind (die Wellenmaschine im Physikraum), oder einfach ein gespanntes Seil: Jedes kleine Seilstück ist ein Oszillator, der mit seinen Nachbarn gekoppelt ist. Schwingt der erste (der Erreger), zieht er den zweiten mit, der den dritten, und so weiter – aber jeder Nachbar reagiert ein wenig später. Das Ergebnis ist eine Welle: Die Schwingung breitet sich im Raum aus.

Zwei Dinge musst du dabei auseinanderhalten:

  • Jeder einzelne Oszillator bewegt sich nur um seine Ruhelage – beim Seil auf und ab, er wandert nicht mit. Ein Korken auf einer Wasserwelle tanzt an Ort und Stelle; die La-Ola im Stadion läuft um das Rund, obwohl jeder Fan sitzen bleibt.
  • Was wandert, ist der Schwingungszustand (die Phase) – und damit Energie. Eine Welle transportiert Energie, aber keine Materie. Deshalb kann eine Schallwelle ein Trommelfell bewegen und eine Wasserwelle eine Boje heben, ohne dass Luft oder Wasser mitreisen.
Definition für die Klausur
Eine Welle ist die räumliche Ausbreitung einer Schwingung durch gekoppelte Oszillatoren. Dabei wird Energie transportiert, aber keine Materie; jeder Oszillator schwingt mit der Frequenz des Erregers um seine Ruhelage.

Die Grundgrößen: λ, T, f, c, ŷ und die Phase

Eine Welle wird durch fünf Größen beschrieben, zwei davon sind geerbt von der Schwingung, eine ist neu, eine verbindet alles:

GrößeZeichen, EinheitBedeutungWo ablesen?
Amplitude$\hat y$ in mgrößte Auslenkung eines Oszillators aus der RuhelageMomentanbild und Zeitbild
Periodendauer$T$ in sZeit für eine volle Schwingung eines Oszillators (vom Erreger vorgegeben)Zeitbild
Frequenz$f = 1/T$ in HzSchwingungen pro SekundeZeitbild
Wellenlänge$\lambda$ in mAbstand zweier benachbarter Punkte gleicher Phase (Berg zu Berg)Momentanbild
Ausbreitungs­geschwindigkeit$c$ in m/sGeschwindigkeit, mit der ein Wellenberg (die Phase) wandertzwei Momentanbilder

Die Verbindung: In einer Periodendauer $T$ schwingt der Erreger genau einmal und schiebt dabei genau eine Wellenlänge $\lambda$ hinaus. Der Wellenberg legt also in der Zeit $T$ die Strecke $\lambda$ zurück:

$$c = \frac{\lambda}{T} = \lambda\cdot f$$

Drei Beispiele, die du im Gefühl haben solltest:

  • Schall in Luft, $c = 343\,\mathrm{m/s}$, Kammerton $f = 440\,\mathrm{Hz}$: $\lambda = \dfrac{343\,\mathrm{m/s}}{440\,\mathrm{Hz}} = 0{,}780\,\mathrm{m}$. Hörbare Wellenlängen reichen von etwa $17\,\mathrm{m}$ ($20\,\mathrm{Hz}$) bis $17\,\mathrm{mm}$ ($20\,\mathrm{kHz}$).
  • Licht, $c = 3{,}00\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}$, orange $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$: $f = \dfrac{3{,}00\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}}{6{,}00\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5{,}00\cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}$.
  • Wasserwelle am See: 10 Wellenberge laufen in $20\,\mathrm{s}$ an einem Pfahl vorbei, Bergabstand $1{,}5\,\mathrm{m}$: $T = 2{,}0\,\mathrm{s}$, $f = 0{,}50\,\mathrm{Hz}$, $c = 1{,}5\,\mathrm{m}\cdot 0{,}50\,\mathrm{Hz} = 0{,}75\,\mathrm{m/s}$.

Wer bestimmt was? Die Frequenz legt der Erreger fest, die Ausbreitungsgeschwindigkeit das Medium (Seilspannung, Luft, Glas). Die Wellenlänge ist die Folge: $\lambda = c/f$. Drehst du die Frequenz am Erreger hoch, wird die Welle kürzer, nicht schneller.

Transversal oder longitudinal – und warum Polarisation nur bei einer Sorte geht

Die Oszillatoren können quer oder längs zur Ausbreitungsrichtung schwingen:

Transversalwelle (Querwelle)Longitudinalwelle (Längswelle)
Schwingungsrichtungsenkrecht zur Ausbreitungsrichtungparallel zur Ausbreitungsrichtung
BildBerge und TälerVerdichtungen und Verdünnungen
BeispieleSeilwelle, Wasseroberfläche (näherungsweise), Licht und alle elektromagnetischen Wellen, Erdbeben-S-WellenSchall in Luft und Wasser, Druckstoß in einer Schraubenfeder, Erdbeben-P-Wellen
Mediumbraucht Scherkräfte: Festkörper, Oberflächen; Licht braucht gar kein Mediumbraucht nur Kompressibilität: Gase, Flüssigkeiten, Festkörper
Polarisationmöglichnicht möglich

Bei einer Transversalwelle gibt es zur Ausbreitungsrichtung unendlich viele senkrechte Richtungen – das Seil kann auf–ab oder links–rechts schwingen. Lässt man nur eine davon zu (Seil durch einen Spalt im Brett, Licht durch einen Polarisationsfilter), ist die Welle linear polarisiert. Eine Longitudinalwelle hat diese Wahl nicht: Es gibt nur eine Richtung parallel zur Ausbreitung. Dass Licht sich polarisieren lässt, ist deshalb der Beweis, dass Licht eine Transversalwelle ist. Dass Schall sich nicht polarisieren lässt, zeigt, dass Schall longitudinal ist.

Hinweis für die Wellengleichung
Die Gleichung $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$ gilt für beide Typen – bei der Längswelle bedeutet $y$ die Verschiebung des Oszillators entlang der $x$-Achse. Verdichtungen liegen dort, wo die Verschiebung von positiv nach negativ wechselt.

Momentanbild und Zeitbild – die häufigste Verwechslung

Beide Diagramme sind Sinuskurven, und genau deshalb werden sie verwechselt. Frag dich immer zuerst: Was steht an der waagerechten Achse?

Momentanbild (Momentaufnahme)Zeitbild (Schwingungsbild)
Achsen$y$ gegen $x$ (Ort)$y$ gegen $t$ (Zeit)
Was zeigt es?Alle Oszillatoren zu einem Zeitpunkt – ein Foto des SeilsEinen Oszillator zu allen Zeiten – das Diagramm eines Bewegungssensors an einer Stelle
Abstand Berg–BergWellenlänge $\lambda$ (in m)Periodendauer $T$ (in s)
Amplitude$\hat y$$\hat y$
Nächstes BildKurve wandert um $c\cdot\Delta t$ nach rechtsein zweiter Oszillator bei $x$ zeigt dieselbe Kurve, um $x/c$ nach rechts verschoben

Ein Seismograph zeichnet ein Zeitbild: Aus ihm kannst du $T$ und $\hat y$ ablesen, aber nicht die Wellenlänge – dafür brauchst du zusätzlich $c$ und rechnest $\lambda = c\cdot T$. Umgekehrt liefert ein Foto der Wasseroberfläche $\lambda$, aber keine Frequenz.

Klausur-Falle
„Lies aus dem Diagramm die Wellenlänge ab“ – wenn an der Achse $t$ in s steht, ist die Aufgabe eine Falle: Dort liest du $T$ ab und rechnest $\lambda = c\,T$. Schreib dazu, was du abliest und warum.

Die Wellengleichung y(x,t) = ŷ·sin(ωt − kx)

Die Wellengleichung beantwortet die Frage: Wie weit ist der Oszillator am Ort $x$ zum Zeitpunkt $t$ ausgelenkt? In der Schreibweise des Regelhefts:

$$y(x,t) = \hat y\cdot\sin(\omega t - kx)\qquad\text{mit}\qquad \omega = \frac{2\pi}{T},\quad k = \frac{2\pi}{\lambda}$$
  • $\omega$ (Kreisfrequenz, in $\mathrm{s^{-1}}$) übersetzt Zeit in Phase: Nach $t = T$ ist $\omega t = 2\pi$, eine volle Schwingung.
  • $k$ (Wellenzahl, in $\mathrm{m^{-1}}$) übersetzt Ort in Phase: Nach $x = \lambda$ ist $kx = 2\pi$ – der Oszillator bei $x = \lambda$ ist wieder im gleichen Zustand wie der Erreger.
  • Das Minuszeichen bedeutet: Je weiter rechts ein Oszillator sitzt, desto weniger Phase hat er bisher „gesammelt“, er hinkt dem Erreger hinterher. Darum läuft diese Welle in $+x$-Richtung. $\sin(\omega t + kx)$ beschreibt eine Welle, die nach links läuft.
  • Festhalten von $t$ gibt das Momentanbild (Sinus in $x$ mit Periode $\lambda$), Festhalten von $x$ gibt das Zeitbild (Sinus in $t$ mit Periode $T$).

Phasengeschwindigkeit. Ein Wellenberg ist ein Punkt konstanter Phase: $\omega t - kx = \text{const}$. Wächst $t$ um $\Delta t$, muss $x$ um $\Delta x$ wachsen mit $\omega\Delta t = k\Delta x$, also

$$c = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi/T}{2\pi/\lambda} = \frac{\lambda}{T} = \lambda f .$$

Rechenbeispiel. Seilwelle mit $\lambda = 0{,}80\,\mathrm{m}$, $T = 0{,}40\,\mathrm{s}$, $\hat y = 5{,}0\,\mathrm{cm}$: $k = \dfrac{2\pi}{0{,}80\,\mathrm{m}} = 7{,}85\,\mathrm{m^{-1}}$, $\omega = \dfrac{2\pi}{0{,}40\,\mathrm{s}} = 15{,}7\,\mathrm{s^{-1}}$, $c = \omega/k = 2{,}0\,\mathrm{m/s}$. Auslenkung bei $x = 0{,}50\,\mathrm{m}$ zur Zeit $t = 0{,}30\,\mathrm{s}$: Phase $\omega t - kx = 15{,}71\cdot 0{,}30 - 7{,}854\cdot 0{,}50 = 4{,}712 - 3{,}927 = 0{,}785 = \pi/4$, also $y = 5{,}0\,\mathrm{cm}\cdot\sin(\pi/4) = 3{,}54\,\mathrm{cm}$. (Taschenrechner auf RAD!)

Gültigkeit
Die Gleichung setzt voraus, dass der Erreger bei $t = 0$ in der Ruhelage startet und nach oben schwingt, und dass die Welle den Ort $x$ schon erreicht hat ($t \ge x/c$). Startet der Erreger anders, kommt eine Phasenkonstante dazu: $\sin(\omega t - kx + \varphi_0)$.

Was c bestimmt – und was nicht

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist eine Eigenschaft des Mediums, nicht des Erregers:

  • Seil: $c$ wächst mit der Spannkraft und sinkt mit der Masse pro Länge ($c = \sqrt{F/\mu}$, musst du nicht auswendig können). Straffer spannen → schneller → bei gleicher Frequenz längere Wellen.
  • Schall in Luft: $343\,\mathrm{m/s}$ bei $20\,^\circ\mathrm{C}$, steigt mit der Temperatur; in Wasser $1480\,\mathrm{m/s}$, in Stahl etwa $5000\,\mathrm{m/s}$ – je steifer, desto schneller.
  • Licht: $c_0 = 3{,}00\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}$ im Vakuum, in Glas nur $c_0/n \approx 2\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}$. Das ist die Ursache der Brechung (Seite Huygens & Brechung).
  • Wasserwellen: $c$ hängt von der Wassertiefe ab – flach ist langsam. Deshalb drehen Wellen am Strand parallel zum Ufer ein.

Die Schwingungsgeschwindigkeit der Oszillatoren ist etwas völlig anderes als $c$: Ein Seilstück bewegt sich mit höchstens $v_{\max} = \omega\hat y$ auf und ab (im Beispiel oben $15{,}7\,\mathrm{s^{-1}}\cdot 0{,}050\,\mathrm{m} = 0{,}79\,\mathrm{m/s}$), während der Wellenberg mit $c = 2{,}0\,\mathrm{m/s}$ nach rechts läuft. Die Energie, die die Welle transportiert, wächst mit $\hat y^2$ und $f^2$ – lauter heißt größere Amplitude, nicht schnellere Ausbreitung.

Transfer Erdbeben: P-Wellen (longitudinal, $\approx 6\,\mathrm{km/s}$) kommen vor S-Wellen (transversal, $\approx 3{,}5\,\mathrm{km/s}$) am Seismographen an; aus der Zeitdifferenz folgt die Entfernung des Bebens. Durch den flüssigen äußeren Erdkern laufen keine S-Wellen – Flüssigkeiten übertragen keine Scherkräfte. So weiß man, dass der äußere Kern flüssig ist.

Simulation: Laufende Welle – Momentanbild und Zeitbild nebeneinander

Links das Foto des Seils (y gegen x), rechts das Schwingungsdiagramm des markierten Oszillators (y gegen t). Der markierte Punkt bewegt sich nur senkrecht – die Welle läuft, er nicht.

Probiere in der Simulation
  • Starte neu und verfolge die Wellenfront: Miss mit dem Readout, wie weit sie nach einer Periode $T$ gekommen ist. Vergleiche mit $\lambda$ – warum ist das dasselbe?
  • Verdopple die Frequenz $f$ bei gleicher Geschwindigkeit $c$. Sag vorher: Was passiert mit $\lambda$, was mit $T$, was mit dem Abstand Berg–Berg im Zeitbild?
  • Verschiebe den markierten Oszillator von $x_0$ auf $x_0 + \lambda/2$. Vorhersage: Wie verändert sich sein Zeitbild gegenüber dem Erreger? Prüfe mit dem Readout (Phase $kx_0$).
  • Schalte auf Longitudinal. Wo liegen die Verdichtungen im Vergleich zur gestrichelten Auslenkungskurve? Formuliere einen Satz mit dem Begriff „Verschiebung in Ausbreitungsrichtung“.

Herleitung: Wellengleichung $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$ aus der Schwingung des Erregers

Diese Herleitung ist kurz, aber sie ist der Schlüssel zum Verständnis: Sie zeigt, dass in der Wellengleichung nichts anderes steckt als „jeder Oszillator macht das Gleiche wie der Erreger – nur später“. Skizze dazu: Seil entlang der $x$-Achse, Erreger bei $x = 0$, ein beliebiger Punkt $P$ bei $x$, Pfeil für $c$.

  1. Der Erreger bei $x = 0$ führt eine harmonische Schwingung aus. Er startet bei $t = 0$ in der Ruhelage nach oben:
    $$ y(0,t) = \hat y\sin(\omega t)\qquad\text{mit } \omega = \frac{2\pi}{T} $$
  2. Die Störung breitet sich mit der Geschwindigkeit $c$ aus. Bis zum Punkt $P$ am Ort $x$ braucht sie die Laufzeit
    $$ \Delta t = \frac{x}{c} $$
  3. Der Oszillator bei $x$ macht dieselbe Schwingung wie der Erreger, aber um $\Delta t$ verspätet: Zur Zeit $t$ ist er in dem Zustand, in dem der Erreger zur Zeit $t - \Delta t$ war.
    $$ y(x,t) = y\!\left(0,\,t - \frac{x}{c}\right) = \hat y\sin\!\left(\omega\left(t - \frac{x}{c}\right)\right) $$
  4. Ausmultiplizieren und $c = \lambda/T$ sowie $\omega = 2\pi/T$ einsetzen:
    $$ \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi/T}{\lambda/T} = \frac{2\pi}{\lambda} = k $$
  5. Damit lautet die Auslenkung am Ort $x$ zur Zeit $t$:
    $$ y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx) $$
  6. Probe: Für festes $x$ ist das eine Schwingung mit Periode $T$ (Zeitbild). Für festes $t$ ist es eine Sinuskurve in $x$, die sich nach $\Delta x = \lambda$ wiederholt, denn $k\lambda = 2\pi$ (Momentanbild). Ein Wellenberg ($\omega t - kx = \text{const}$) wandert mit $c = \omega/k = \lambda/T$ nach rechts.
    $$ c = \frac{\omega}{k} = \lambda\cdot f $$
Schlusssatz (im Abitur Pflicht): Jeder Oszillator schwingt wie der Erreger, nur um die Laufzeit $x/c$ verspätet; daraus folgt $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$ mit $k = 2\pi/\lambda$, $\omega = 2\pi/T$ und $c = \lambda f$, was zu zeigen war.

Formeln, die du sicher können musst

Größe / GesetzFormelWas sie sagt · wann sie gilt
Grundgleichung$c = \lambda\cdot f = \dfrac{\lambda}{T}$In der Zeit $T$ läuft die Welle um $\lambda$ weiter; $c$ vom Medium, $f$ vom Erreger, $\lambda$ folgt
Frequenz und Periode$f = \dfrac{1}{T}$Einheit Hz $= \mathrm{s^{-1}}$; $T$ liest man im Zeitbild ab
Kreisfrequenz$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$Phase pro Zeit, in $\mathrm{s^{-1}}$; nach $t = T$ ist $\omega t = 2\pi$
Wellenzahl$k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$Phase pro Weg, in $\mathrm{m^{-1}}$; nach $x = \lambda$ ist $kx = 2\pi$
Wellengleichung$y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$Welle in $+x$-Richtung, Erreger startet bei $t=0$ in der Ruhelage nach oben; $+kx$: Welle nach links
Phasengeschwindigkeit$c = \dfrac{\omega}{k}$aus $\omega t - kx = \text{const}$; identisch mit $\lambda/T$
Phasenunterschied zweier Orte$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 2\pi\,\dfrac{\Delta x}{\lambda}$$\Delta x = \lambda/2 \Rightarrow \Delta\varphi = \pi$ (gegenphasig); $\Delta x = \lambda \Rightarrow 2\pi$ (gleichphasig)
Schnelle des Oszillators$v_{\max} = \omega\,\hat y$größte Geschwindigkeit quer zur Welle – nicht mit $c$ verwechseln

Typische Fehler – und wie du die Punkte holst

  • Aus einem $y$-$t$-Diagramm „die Wellenlänge abgelesen“.
    Erst die Achse lesen: Steht dort $t$, ist der Berg-Berg-Abstand die Periodendauer $T$. Die Wellenlänge folgt dann aus $\lambda = c\cdot T$. Schreib explizit: „Zeitbild, daher lese ich $T = \dots$ ab.“
  • „Wenn ich die Frequenz verdopple, wird die Welle doppelt so schnell.“
    $c$ ist eine Eigenschaft des Mediums und ändert sich nicht. Aus $\lambda = c/f$ folgt: Die Wellenlänge halbiert sich. Merksatz: Erreger bestimmt $f$, Medium bestimmt $c$, $\lambda$ ist die Folge.
  • Die Geschwindigkeit $c$ mit der Geschwindigkeit des schwingenden Seilstücks verwechselt (oder behauptet, die Teilchen wandern mit der Welle mit).
    Der Oszillator bewegt sich nur um seine Ruhelage, mit höchstens $v_{\max} = \omega\hat y$. Mit $c$ wandert nur der Schwingungszustand (die Phase) und damit Energie – keine Materie.
  • Vorzeichen in der Wellengleichung ignoriert: $\sin(\omega t + kx)$ für eine nach rechts laufende Welle geschrieben.
    Nach rechts: $\sin(\omega t - kx)$, weil der Oszillator bei größerem $x$ dem Erreger hinterherhinkt (Laufzeit $x/c$). Nach links: $\sin(\omega t + kx)$. Begründe das Vorzeichen in einem Halbsatz – das ist ein Punkt.
  • Taschenrechner auf DEG, dann $\sin(15{,}7\cdot 0{,}3)$ ausgerechnet – Ergebnis $0{,}08$ statt $-1{,}00$ (im Bogenmaß ist $\sin(4{,}71) = -1{,}00$).
    $\omega t$ und $kx$ sind Bogenmaß. Rechner auf RAD, Zwischenergebnis der Phase hinschreiben (z. B. $0{,}785 = \pi/4$) und Plausibilität prüfen: Liegt $|y|$ unter $\hat y$? Passt das Vorzeichen zum Momentanbild?
  • $k$ und $\omega$ vertauscht oder ohne Einheit – „$k = 2\pi/T$“.
    $k = 2\pi/\lambda$ gehört zum Ort (Einheit $\mathrm{m^{-1}}$), $\omega = 2\pi/T$ zur Zeit ($\mathrm{s^{-1}}$). Einheiten mitschreiben: Im Argument des Sinus müssen sich die Einheiten wegheben, $\mathrm{s^{-1}\cdot s}$ und $\mathrm{m^{-1}\cdot m}$.
  • Bei „Erläutern Sie den Unterschied transversal/longitudinal“ nur je ein Beispiel genannt.
    Drei-Satz-Regel: Phänomen (Schwingungsrichtung quer bzw. längs zur Ausbreitung) – Ursache (Kopplung über Scherkräfte bzw. Druck) – Bedingung/Folge (Polarisation nur transversal; Longitudinalwellen auch in Gasen und Flüssigkeiten). Dann Beispiele.
Abitur-Operatoren bei diesem Thema
  • Erläutern (Wellenbegriff, Energie- ohne Materietransport, transversal/longitudinal, Momentan- vs. Zeitbild): Phänomen → Ursache → Bedingung in ganzen Sätzen; Fachbegriffe Oszillator, Kopplung, Phase, Ausbreitungsrichtung.
  • Leiten Sie her (Wellengleichung): Skizze mit Erreger bei $x=0$ und Punkt $P$ bei $x$, Laufzeit $\Delta t = x/c$ als zentrales Argument, Umformung $\omega/c = k$ begründet, Schlusssatz.
  • Bestimmen (aus Diagrammen): zuerst sagen, welches Bild vorliegt, dann $\lambda$ bzw. $T$ ablesen, über mehrere Perioden mitteln ($5\lambda = 2{,}40\,\mathrm{m}$ ist genauer als eine), dann $c = \lambda f$ mit Einheiten und SCI-3.
  • Berechnen (Auslenkung $y(x,t)$): Formel, $k$ und $\omega$ mit Einheiten, Phase im Bogenmaß, Ergebnis mit Antwortsatz, Plausibilität $|y|\le\hat y$.
Warum das über die Klausur hinaus wichtig bleibt
Alles, was in dieser Klausur folgt, baut auf diesen Begriffen auf: Interferenz ist ein Rechnen mit Phasen $k\,\Delta s$, stehende Wellen sind die Summe zweier Wellengleichungen mit $\pm kx$, und beim Doppelspalt steckt $\lambda$ in jeder Formel. In Q3 kommt die Wellengleichung bei elektromagnetischen Wellen und als Wahrscheinlichkeitswelle der Quantenphysik wieder ($\lambda = h/p$). Im Maschinenbau begegnen dir Wellen als Schwingungen in Wellen und Trägern (Resonanz, Eigenfrequenzen), als Ultraschall-Werkstoffprüfung ($c$ in Stahl, Laufzeitmessung) und in der Akustik – überall rechnest du mit $c = \lambda f$ und $\omega$, $k$.

5 harte Fragen – hast du es wirklich verstanden?

Offene Aufgaben auf Papier lösen (Zeit stoppen!), erst dann die Lösung aufdecken und ehrlich Punkte geben. Die Ergebnisse werden auf diesem Gerät gespeichert.

Aufgabe 1Offene Aufgabe · ca. 15 min10 P

Seilwelle aus Messwerten

Ein langes Seil wird an einem Ende sinusförmig angeregt, die Welle läuft nach rechts. Auf einem Foto misst man: 5 vollständige Wellenlängen passen auf $2{,}40\,\mathrm{m}$ (Ablesegenauigkeit $\pm 0{,}02\,\mathrm{m}$). Mit einer Stoppuhr zählt man am Erreger 20 Schwingungen in $12{,}5\,\mathrm{s}$ ($\pm 0{,}2\,\mathrm{s}$). Die Amplitude beträgt $\hat y = 3{,}0\,\mathrm{cm}$.

  1. Bestimme Wellenlänge, Periodendauer, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.
  2. Stelle die Wellengleichung mit Zahlenwerten auf und berechne die Auslenkung des Oszillators bei $x = 0{,}120\,\mathrm{m}$ zur Zeit $t = 1{,}25\,\mathrm{s}$. Deute das Ergebnis anschaulich (Momentanbild!).
  3. Gib für $c$ ein Unsicherheitsintervall an und erläutere, warum man 5 Wellenlängen und 20 Schwingungen misst statt je einer.
Erwartungshorizont
  • 3 Pa) $\lambda = 2{,}40\,\mathrm{m}/5 = 0{,}480\,\mathrm{m}$; $T = 12{,}5\,\mathrm{s}/20 = 0{,}625\,\mathrm{s}$; $f = 1{,}60\,\mathrm{Hz}$; $c = \lambda f = 0{,}768\,\mathrm{m/s}$ mit Einheiten und Antwortsatz
  • 2 Pb) $k = 2\pi/\lambda = 13{,}1\,\mathrm{m^{-1}}$, $\omega = 2\pi/T = 10{,}1\,\mathrm{s^{-1}}$, $y(x,t) = 0{,}030\,\mathrm{m}\cdot\sin(10{,}1\,\mathrm{s^{-1}}\cdot t - 13{,}1\,\mathrm{m^{-1}}\cdot x)$
  • 2 Pb) $t = 2T$, $x = \lambda/4$ erkannt: Phase $4\pi - \pi/2$, $y = -3{,}0\,\mathrm{cm}$; Deutung: Erreger geht gerade nach oben durch die Ruhelage, der Punkt eine Viertelwellenlänge weiter sitzt im Wellental
  • 3 Pc) relative Unsicherheiten $0{,}02/2{,}40 = 0{,}8\,\%$ und $0{,}2/12{,}5 = 1{,}6\,\%$, zusammen $2{,}4\,\%$ $\Rightarrow$ $c = (0{,}768 \pm 0{,}019)\,\mathrm{m/s}$, Intervall $[0{,}75;\,0{,}79]\,\mathrm{m/s}$; Begründung: Ablesefehler verteilt sich auf 5 bzw. 20 Perioden, relative Unsicherheit sinkt
Musterlösung

a) Aus dem Momentanbild: $\lambda = \dfrac{2{,}40\,\mathrm{m}}{5} = 0{,}480\,\mathrm{m}$. Aus der Zeitmessung: $T = \dfrac{12{,}5\,\mathrm{s}}{20} = 0{,}625\,\mathrm{s}$, also $f = \dfrac{1}{T} = 1{,}60\,\mathrm{Hz}$. Ausbreitungsgeschwindigkeit: $$c = \lambda\cdot f = 0{,}480\,\mathrm{m}\cdot 1{,}60\,\mathrm{Hz} = 0{,}768\,\mathrm{m/s}.$$ Die Welle hat die Wellenlänge $0{,}480\,\mathrm{m}$, die Periodendauer $0{,}625\,\mathrm{s}$, die Frequenz $1{,}60\,\mathrm{Hz}$ und läuft mit $0{,}768\,\mathrm{m/s}$.

b) $k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{0{,}480\,\mathrm{m}} = 13{,}1\,\mathrm{m^{-1}}$ und $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{0{,}625\,\mathrm{s}} = 10{,}1\,\mathrm{s^{-1}}$. Wellengleichung: $$y(x,t) = 0{,}030\,\mathrm{m}\cdot\sin\!\left(10{,}1\,\mathrm{s^{-1}}\cdot t - 13{,}1\,\mathrm{m^{-1}}\cdot x\right).$$ Geschickter als stumpfes Einsetzen: $t = 1{,}25\,\mathrm{s} = 2T$, also $\omega t = 4\pi$; $x = 0{,}120\,\mathrm{m} = \lambda/4$, also $kx = \pi/2$. Damit $y = \hat y\sin(4\pi - \pi/2) = \hat y\sin(-\pi/2) = -3{,}0\,\mathrm{cm}$. (Direktes Einsetzen: Phase $12{,}57 - 1{,}571 = 11{,}0$, $\sin(11{,}0) = -1{,}00$, gleiches Ergebnis.) Deutung: Nach genau zwei Perioden ist der Erreger wieder in der Ruhelage und bewegt sich nach oben. Der Oszillator eine Viertelwellenlänge weiter hinkt um eine Viertelperiode hinterher und sitzt deshalb gerade im tiefsten Punkt, im Wellental.

c) $c = \lambda/T$. Relative Unsicherheiten: $\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda} = \dfrac{0{,}02}{2{,}40} = 0{,}83\,\%$ (die Unsicherheit der Gesamtlänge überträgt sich relativ unverändert auf $\lambda$) und $\dfrac{\Delta T}{T} = \dfrac{0{,}2}{12{,}5} = 1{,}6\,\%$. Für einen Quotienten addieren sich die relativen Unsicherheiten: $2{,}4\,\%$ von $0{,}768\,\mathrm{m/s}$ sind $0{,}019\,\mathrm{m/s}$, also $$c = (0{,}768 \pm 0{,}019)\,\mathrm{m/s},\qquad c \in [0{,}75\,\mathrm{m/s};\ 0{,}79\,\mathrm{m/s}].$$ (Kontrolle über Extremwerte: $\lambda_{\min}/T_{\max} = 0{,}476/0{,}635 = 0{,}750\,\mathrm{m/s}$, $\lambda_{\max}/T_{\min} = 0{,}484/0{,}615 = 0{,}787\,\mathrm{m/s}$ – passt.) Misst man nur eine Wellenlänge, wirkt dieselbe Ablesegenauigkeit $\pm 0{,}02\,\mathrm{m}$ auf $0{,}48\,\mathrm{m}$: $4{,}2\,\%$ statt $0{,}8\,\%$. Ebenso verteilt sich die Reaktionszeit der Stoppuhr bei 20 Schwingungen auf $12{,}5\,\mathrm{s}$ statt auf $0{,}6\,\mathrm{s}$. Mehrere Perioden zu messen verkleinert die relative Unsicherheit um den Faktor der Anzahl.

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Typisch: $\lambda = 2{,}40\,\mathrm{m}$ (nicht durch 5 geteilt) oder $T = 12{,}5\,\mathrm{s}$; Taschenrechner auf DEG bei b); bei c) nur „genauer“ ohne Zahl. Die Punkte für c) gibt es für relative Unsicherheiten mit Prozentzahlen und ein konkretes Intervall.
Meine Punkte:
Aufgabe 2Offene Aufgabe · ca. 12 min8 P

Herleitung und Ausbreitungsrichtung

Ein Erreger am Ort $x = 0$ schwingt nach $y(0,t) = \hat y\sin(\omega t)$. Die Welle breitet sich mit $c$ in $+x$-Richtung aus.

  1. Leite mit einer beschrifteten Skizze die Wellengleichung $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$ her. Begründe jeden Schritt.
  2. Zeige, dass zwei Oszillatoren im Abstand $\Delta x = \lambda/2$ stets gegenphasig schwingen.
  3. Eine zweite Welle wird durch $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t + kx)$ beschrieben. Erläutere ohne Rechnung mit der Idee der Laufzeit, in welche Richtung sie läuft, und bestätige es, indem du die Bewegung eines Wellenbergs ($\omega t + kx = \text{const}$) betrachtest.
Erwartungshorizont
  • 1 Pa) Skizze: $x$-Achse, Erreger bei $0$, Punkt $P$ bei $x$, Pfeil $c$
  • 3 Pa) Laufzeit $\Delta t = x/c$; $y(x,t) = \hat y\sin(\omega(t - x/c))$ mit Begründung „gleiche Schwingung, verspätet“; $\omega/c = 2\pi/\lambda = k$ gezeigt; Ergebnis
  • 2 Pb) Phasenunterschied $k\,\Delta x = \dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\dfrac{\lambda}{2} = \pi$; $\sin(\varphi - \pi) = -\sin\varphi$ $\Rightarrow$ $y_2 = -y_1$ zu jeder Zeit
  • 2 Pc) Vorzeichen $+kx$: Oszillator bei größerem $x$ ist dem Erreger voraus $\Rightarrow$ Welle kommt von rechts, läuft nach links; aus $\omega t + kx = \text{const}$ folgt $\Delta x/\Delta t = -\omega/k = -c$
Musterlösung

a) Skizze: waagerechte $x$-Achse, Erreger bei $x = 0$ (Pfeil auf–ab), Punkt $P$ bei $x$, Pfeil nach rechts mit $c$. Der Erreger schwingt nach $y(0,t) = \hat y\sin(\omega t)$. Die Störung läuft mit $c$ und braucht bis $P$ die Laufzeit $\Delta t = x/c$ (Weg durch Geschwindigkeit). Der Oszillator in $P$ ist mit dem Erreger gekoppelt und führt dieselbe Schwingung aus, nur um $\Delta t$ verspätet: Er ist zur Zeit $t$ in dem Zustand, in dem der Erreger zur Zeit $t - x/c$ war, $$y(x,t) = \hat y\sin\!\left(\omega\left(t - \frac{x}{c}\right)\right) = \hat y\sin\!\left(\omega t - \frac{\omega}{c}x\right).$$ Mit $\omega = 2\pi/T$ und $c = \lambda/T$ ist $\dfrac{\omega}{c} = \dfrac{2\pi}{T}\cdot\dfrac{T}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{\lambda} = k$. Also $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$, was zu zeigen war.

b) Oszillator 1 bei $x$, Oszillator 2 bei $x + \lambda/2$: $y_2 = \hat y\sin\!\left(\omega t - kx - k\tfrac{\lambda}{2}\right)$. Mit $k\lambda/2 = \dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\dfrac{\lambda}{2} = \pi$ folgt $y_2 = \hat y\sin(\omega t - kx - \pi) = -\hat y\sin(\omega t - kx) = -y_1$. Beide haben zu jedem Zeitpunkt entgegengesetzt gleiche Auslenkung – sie schwingen gegenphasig (Phasenunterschied $\pi$).

c) Bei $\sin(\omega t + kx)$ hat ein Oszillator mit größerem $x$ eine größere Phase als der bei $x = 0$, er ist dem Erreger voraus. Voraus kann nur sein, wer früher erreicht wurde – die Welle muss also von rechts kommen und nach links laufen. Bestätigung: Ein Wellenberg erfüllt $\omega t + kx = \text{const}$. Wächst $t$ um $\Delta t$, muss $kx$ um $\omega\Delta t$ abnehmen: $\Delta x = -\dfrac{\omega}{k}\Delta t = -c\,\Delta t$. Der Berg bewegt sich mit $c$ in $-x$-Richtung.

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Ohne Skizze und ohne das Wort „Laufzeit“ fehlt der Kern der Herleitung. Bei b) reicht „$\lambda/2$ ist gegenphasig“ nicht – der Phasenunterschied $k\Delta x = \pi$ muss gerechnet und $\sin(\varphi - \pi) = -\sin\varphi$ benutzt werden. Bei c) ist „Minus heißt rechts, Plus heißt links“ auswendig gelernt und bringt ohne Begründung keinen Punkt.
Meine Punkte:
Aufgabe 3Offene Aufgabe · ca. 12 min8 P

Transfer: Erdbebenwellen

Bei einem Erdbeben entstehen gleichzeitig P-Wellen (Longitudinalwellen, $c_P = 6{,}0\,\mathrm{km/s}$) und S-Wellen (Transversalwellen, $c_S = 3{,}5\,\mathrm{km/s}$). Eine Messstation registriert die S-Welle $24\,\mathrm{s}$ nach der P-Welle. Beide Wellen haben die Frequenz $f = 0{,}50\,\mathrm{Hz}$.

  1. Erläutere den Unterschied zwischen P- und S-Welle anhand der Bewegung der Gesteinsteilchen und begründe, warum S-Wellen den flüssigen äußeren Erdkern nicht durchqueren können.
  2. Bestimme die Entfernung der Messstation vom Erdbebenherd.
  3. Berechne die Wellenlängen beider Wellen. Der Seismograph zeichnet die Bodenbewegung über der Zeit auf – begründe, welche der Größen $\lambda$, $T$, $\hat y$ man direkt aus dem Seismogramm ablesen kann.
Erwartungshorizont
  • 3 Pa) P: Teilchen schwingen parallel zur Ausbreitung (Verdichtung/Verdünnung, Druck); S: senkrecht dazu (Scherung); Flüssigkeiten übertragen keine Scherkräfte, also keine Kopplung quer $\Rightarrow$ keine S-Wellen
  • 3 Pb) $t_S - t_P = d/c_S - d/c_P = 24\,\mathrm{s}$ $\Rightarrow$ $d = \dfrac{24\,\mathrm{s}}{1/3{,}5 - 1/6{,}0}\,\mathrm{km/s} = 202\,\mathrm{km}$ mit Antwortsatz (Probe $t_P = 33{,}6\,\mathrm{s}$, $t_S = 57{,}6\,\mathrm{s}$)
  • 2 Pc) $\lambda_P = c_P/f = 12\,\mathrm{km}$, $\lambda_S = 7{,}0\,\mathrm{km}$; Seismogramm ist ein Zeitbild $\Rightarrow$ $T$ und $\hat y$ direkt ablesbar, $\lambda$ nur über $\lambda = cT$
Musterlösung

a) Bei der P-Welle schwingen die Gesteinsteilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung: Es entstehen Zonen der Verdichtung und Verdünnung, die Kopplung geschieht über Druck. Bei der S-Welle schwingen sie senkrecht zur Ausbreitungsrichtung: Gesteinsschichten werden gegeneinander verschoben (Scherung), die Kopplung geschieht über Scherkräfte. Eine Flüssigkeit setzt einer Scherung keinen Widerstand entgegen – verschiebt man eine Schicht, zieht sie die Nachbarschicht nicht mit. Ohne diese Kopplung kann sich eine Querschwingung nicht ausbreiten; Druck dagegen überträgt eine Flüssigkeit sehr wohl. Deshalb durchlaufen P-Wellen den äußeren Erdkern, S-Wellen nicht (S-Wellen-Schatten – der Beleg für den flüssigen äußeren Kern).

b) Beide Wellen starten gleichzeitig und legen dieselbe Strecke $d$ zurück. Laufzeiten $t_P = d/c_P$ und $t_S = d/c_S$, Differenz $$t_S - t_P = d\left(\frac{1}{c_S} - \frac{1}{c_P}\right) \quad\Rightarrow\quad d = \frac{24\,\mathrm{s}}{\dfrac{1}{3{,}5\,\mathrm{km/s}} - \dfrac{1}{6{,}0\,\mathrm{km/s}}} = \frac{24\,\mathrm{s}}{0{,}2857 - 0{,}1667}\,\mathrm{km/s} = 202\,\mathrm{km}.$$ Probe: $t_P = 201{,}6/6{,}0 = 33{,}6\,\mathrm{s}$, $t_S = 201{,}6/3{,}5 = 57{,}6\,\mathrm{s}$, Differenz $24{,}0\,\mathrm{s}$. Der Erdbebenherd ist etwa $202\,\mathrm{km}$ von der Station entfernt.

c) $\lambda_P = \dfrac{c_P}{f} = \dfrac{6{,}0\,\mathrm{km/s}}{0{,}50\,\mathrm{Hz}} = 12\,\mathrm{km}$, $\lambda_S = \dfrac{3{,}5\,\mathrm{km/s}}{0{,}50\,\mathrm{Hz}} = 7{,}0\,\mathrm{km}$. Das Seismogramm trägt die Auslenkung des Bodens an einem Ort gegen die Zeit auf – es ist ein Zeitbild. Direkt ablesbar sind daher die Periodendauer $T = 2{,}0\,\mathrm{s}$ (Abstand zweier Maxima) und die Amplitude $\hat y$. Die Wellenlänge erscheint nicht im Diagramm; sie ergibt sich erst rechnerisch über $\lambda = c\cdot T$, wofür man $c$ aus anderen Messungen kennen muss.

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Bei b) wird gern $d = c\cdot 24\,\mathrm{s}$ mit einer der beiden Geschwindigkeiten gerechnet – falsch, denn $24\,\mathrm{s}$ ist eine Differenz zweier Laufzeiten. Bei a) fehlt oft der Mechanismus (Scherkräfte); „Flüssigkeiten leiten keine S-Wellen“ ist Behauptung, nicht Begründung. Bei c) prüfen, ob die Achse $t$ oder $x$ heißt, bevor du „$\lambda$ ablesen“ schreibst.
Meine Punkte:
Aufgabe 4Multiple Choice · genau eine Antwort2 P

Ein Bewegungssensor zeichnet die Auslenkung eines Seilpunkts über der Zeit auf. Welche Größe lässt sich aus diesem Diagramm direkt ablesen?

Aufgabe 5Multiple Choice · genau eine Antwort2 P

Eine Seilwelle läuft mit $f = 2{,}0\,\mathrm{Hz}$. Der Erreger wird auf $4{,}0\,\mathrm{Hz}$ umgestellt, das Seil bleibt gleich gespannt. Was ändert sich?

Meine Notizen zu „Wellen: Grundgrößen & Wellengleichung“

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