Grundlagen aus den Jahren davor

Messdaten auswerten & Ergebnisse darstellen (Abitur-Maßstab)

Tabelle, Diagramm, Ausgleichsgerade, Linearisierung, Unsicherheit, Antwortsatz – die Punkte, die man ohne neue Physik gewinnt oder verliert.

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Das Wichtigste in einem SatzEine Messreihe wertet man nie über einen Einzelwert aus, sondern über alle Punkte: Achsen so wählen, dass eine Gerade entsteht (Linearisierung: $T^2$ gegen $l$, $x_n$ gegen $n$, $\ln U$ gegen $t$), Messkreuze einzeichnen und nicht verbinden, Ausgleichsgerade legen, Steigung mit Einheit über ein großes Steigungsdreieck ablesen und daraus die gesuchte Größe berechnen. Dann: Ergebnis mit drei gültigen Ziffern, Unsicherheitsintervall, relative Abweichung vom Literaturwert als Zahl – und ein Antwortsatz.

Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen

Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.

Was ist die Steigung einer Geraden, und welche Einheit hat sie in einem Diagramm?

$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, abgelesen über ein Steigungsdreieck. Die Einheit der Steigung ist „Einheit der $y$-Achse durch Einheit der $x$-Achse“. Im $T^2$-$l$-Diagramm: $\mathrm{s^2/m}$; im $x_n$-$n$-Diagramm: $\mathrm{mm}$ (pro Ordnung); im $\ln U$-$t$-Diagramm: $\mathrm{1/s}$. Beispiel: Von $(0{,}40\,\mathrm m\,|\,1{,}61\,\mathrm{s^2})$ nach $(1{,}40\,\mathrm m\,|\,5{,}62\,\mathrm{s^2})$ ist $m = \dfrac{4{,}01\,\mathrm{s^2}}{1{,}00\,\mathrm m} = 4{,}01\,\mathrm{s^2/m}$. Geradengleichung $y = m x + b$, $b$ = Achsenabschnitt bei $x = 0$.

Was ist ein Mittelwert, und warum ist er besser als ein Einzelwert?

Der Mittelwert $\bar x = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Bei fünf Messungen der Zeit für 10 Schwingungen – $20{,}1$; $20{,}3$; $19{,}9$; $20{,}2$; $20{,}0\,\mathrm s$ – ist $\bar t = \dfrac{100{,}5}{5}\,\mathrm s = 20{,}1\,\mathrm s$. Zufällige Fehler (zu früh oder zu spät gedrückt) heben sich im Mittel teilweise auf: Der Mittelwert ist genauer als jeder Einzelwert, und zwar umso mehr, je mehr Messungen eingehen. Deshalb misst man 10 Schwingungen statt einer und mehrere Ordnungen statt nur $x_1$.

Wie rechnet man eine relative Abweichung in Prozent aus?

Relative Abweichung $= \dfrac{|\text{Messwert} - \text{Literaturwert}|}{\text{Literaturwert}}\cdot 100\,\%$. Beispiel: $g_{\text{mess}} = 9{,}62\,\mathrm{m/s^2}$, Literaturwert $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$: $\dfrac{0{,}19}{9{,}81}\cdot 100\,\% = 1{,}9\,\%$. Oder $\lambda = 544\,\mathrm{nm}$ bei Laserangabe $532\,\mathrm{nm}$: $\dfrac{12}{532} = 2{,}3\,\%$. Immer durch den Literaturwert (Bezugswert) teilen. Ohne diese Zahl ist „stimmt ungefähr“ im Abitur null Punkte wert.

Was sind gültige Ziffern, und wie rundet man richtig?

Gültige (signifikante) Ziffern sind alle Ziffern einer Zahl außer den führenden Nullen: $0{,}00544$ hat drei ($5$, $4$, $4$), $20{,}1$ drei, $5{,}30\cdot 10^{-7}$ drei (die Null am Ende zählt – sie sagt, dass die dritte Stelle bekannt ist). Standard in Physikklausuren: Endergebnisse mit drei gültigen Ziffern, am Taschenrechner als SCI 3 einstellbar. Runden: ab $5$ aufrunden, $9{,}8437\to 9{,}84$; $6{,}335\cdot 10^{-7}\to 6{,}34\cdot 10^{-7}$. Zwischenergebnisse nicht runden (im Speicher lassen), sonst wandern Rundungsfehler ins Ergebnis.

Wie liest man einen Wert an einer Skala ab, und wie groß ist die Ablesegenauigkeit?

Man liest den nächstgelegenen Skalenstrich ab und schätzt höchstens noch die Hälfte eines Skalenteils. Daraus folgt die Ablesegenauigkeit $\pm\tfrac12$ Skalenteil: Lineal mit mm-Teilung $\pm 0{,}5\,\mathrm{mm}$, Maßband in cm $\pm 0{,}5\,\mathrm{cm}$, Stoppuhr mit Hundertstel: hier dominiert die Reaktionszeit (etwa $\pm 0{,}2\,\mathrm s$), nicht die Anzeige. Beim Doppelspalt ($x_5 = 20{,}4\,\mathrm{mm}$ mit Lineal): relative Unsicherheit $\dfrac{0{,}5}{20{,}4} = 2{,}5\,\%$ – bei $x_1 = 4{,}1\,\mathrm{mm}$ wären es $12\,\%$. Darum hohe Ordnungen und lange Strecken messen.

Was bedeutet y ∝ x², und wie macht man daraus eine Gerade?

$y\propto x^2$ heißt $y = k\cdot x^2$ mit einer Konstanten $k$ – der Graph $y(x)$ ist eine Parabel, aus der man $k$ schlecht ablesen kann. Trägt man stattdessen $y$ gegen $x^2$ auf (neue Spalte $x^2$ in der Tabelle!), entsteht eine Ursprungsgerade mit Steigung $k$. Beispiel: $E_{\mathrm{kin}} = \tfrac12 m v^2$; $E$ gegen $v^2$ aufgetragen gibt die Steigung $\tfrac12 m$. Genauso wird aus $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ durch Quadrieren $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$ – eine Gerade in $l$ mit Steigung $4\pi^2/g$. Das ist Linearisieren.

Tabelle und Diagramm – die Regeln, die Punkte kosten

Eine Messreihe gehört in eine Tabelle mit Einheiten in der Kopfzeile: „$l$ in m“, „$T$ in s“, „$T^2$ in $\mathrm{s^2}$“ – dann stehen in den Zellen nur Zahlen. Wird linearisiert, bekommt die umgerechnete Größe eine eigene Spalte. So sieht das in einer Abiturlösung aus:

$l$ in m	$10\,T$ in s	$T$ in s	$T^2$ in $\mathrm{s^2}$
0,40	12,7	1,27	1,61
0,60	15,6	1,56	2,43
0,80	17,9	1,79	3,20
1,00	20,1	2,01	4,04
1,20	22,0	2,20	4,84
1,40	23,7	2,37	5,62

Für das Diagramm gelten fünf Regeln, die der Erwartungshorizont einzeln abhakt:

Achsen beschriften mit Größe und Einheit („$T^2$ in $\mathrm{s^2}$“), unabhängige Größe (die du eingestellt hast: $l$, $n$, $t$) nach rechts, gemessene Größe nach oben.
Skalierung sinnvoll: Die Punkte füllen das Blatt; runde Teilungen (1, 2, 5 – nicht 3 Kästchen pro Einheit); beginnt die Achse nicht bei null, ist das zu kennzeichnen – für den Achsenabschnitt brauchst du aber den Nullpunkt.
Messpunkte als Kreuze (oder kleine Kreise), nicht als dicke Punkte – ein Kreuz zeigt genau, wo der Wert liegt.
Punkte nicht verbinden! Ein Zickzack durch alle Messpunkte behauptet, die Physik mache zwischen zwei Messungen Knicke. In Wahrheit streuen die Punkte zufällig um den wahren Verlauf. Deshalb: Ausgleichsgerade (bzw. Ausgleichskurve) mit dem Lineal so legen, dass etwa gleich viele Punkte oberhalb wie unterhalb liegen und die Abstände insgesamt klein sind. Sie muss nicht durch den ersten oder letzten Punkt gehen – und nicht zwingend durch den Ursprung.
Steigungsdreieck groß einzeichnen – an die Gerade, nicht an zwei Messpunkte – und Steigung mit Einheit ablesen: $m = \dfrac{\Delta(T^2)}{\Delta l} = \dfrac{5{,}62\,\mathrm{s^2} - 1{,}61\,\mathrm{s^2}}{1{,}40\,\mathrm m - 0{,}40\,\mathrm m} = 4{,}01\,\mathrm{s^2/m}$. Ein kleines Dreieck zwischen zwei Nachbarpunkten vervielfacht den Ablesefehler.

Der Klassiker

Punkte mit dem Lineal der Reihe nach verbunden, Steigung aus zwei benachbarten Messpunkten „berechnet“, Ergebnis ohne Einheit. Das sind drei verlorene Punkte in einer Aufgabe, deren Physik du längst beherrschst. Probiere in der Simulation den Schalter „Punkte verbinden (so NICHT)“.

Linearisieren: was gegen was auftragen, und was die Steigung bedeutet

Aus einer Geraden kann man eine Größe sicher bestimmen, aus einer Parabel oder e-Kurve nicht. Deshalb formt man die Formel so um, dass sie wie $y = m\cdot x + b$ aussieht, und trägt die passenden Größen auf. Die Steigung $m$ enthält dann die gesuchte Größe:

Zusammenhang	Umgeformt	Auftragen	Steigung bedeutet	Gesuchte Größe
Doppelspalt $x_n = \dfrac{\lambda a}{g}\,n$	schon linear in $n$	$x_n$ gegen $n$	$m = \dfrac{\lambda a}{g}$	$\lambda = \dfrac{m\,g}{a}$
Fadenpendel $T = 2\pi\sqrt{l/g}$	$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$	$T^2$ gegen $l$	$m = \dfrac{4\pi^2}{g}$	$g = \dfrac{4\pi^2}{m}$
Federpendel $T = 2\pi\sqrt{m/D}$	$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{D}\,m$	$T^2$ gegen $m$	$m_{\text{Steig}} = \dfrac{4\pi^2}{D}$	$D = \dfrac{4\pi^2}{m_{\text{Steig}}}$
Entladung $U = U_0 e^{-t/\tau}$	$\ln U = \ln U_0 - \dfrac1\tau\, t$	$\ln U$ gegen $t$	$m = -\dfrac1\tau$	$\tau = -\dfrac1m$, $RC$ prüfen
Hall-Effekt $U_H = \dfrac{I}{nqd}\,B$	schon linear in $B$	$U_H$ gegen $B$	$m = \dfrac{I}{nqd}$	$n = \dfrac{I}{m\,q\,d}$
Kondensator $C = \varepsilon_0\dfrac{A}{d}$	$C = \varepsilon_0 A\cdot\dfrac1d$	$C$ gegen $\dfrac1d$	$m = \varepsilon_0 A$	$\varepsilon_0 = \dfrac{m}{A}$
Coulomb / Gravitation $F\propto\dfrac1{r^2}$	$F = k\cdot\dfrac1{r^2}$	$F$ gegen $\dfrac1{r^2}$	$m = k$	$k$
Energie $E = \tfrac12 m v^2$	linear in $v^2$	$E$ gegen $v^2$	$m_{\text{Steig}} = \tfrac12 m$	$m = 2\,m_{\text{Steig}}$

Zwei Dinge liefert die Gerade zusätzlich. Erstens bestätigt sie das Modell: Liegen die Punkte im $T^2$-$l$-Diagramm auf einer Geraden, ist $T\propto\sqrt l$ wirklich gezeigt – im Abitur ein eigener Punkt („die Messwerte bestätigen die Proportionalität, da …“). Zweitens der Achsenabschnitt $b$: Nach der Formel müsste die Gerade durch den Ursprung gehen. Tut sie das deutlich nicht, steckt ein systematischer Fehler dahinter – beim Pendel etwa eine Länge, die bis zur Kugeloberkante statt bis zum Schwerpunkt gemessen wurde ($b = m\cdot\Delta l$, also $\Delta l = b/m$); beim Doppelspalt ein falsch gesetzter Nullpunkt der Mitte; beim Federpendel die mitschwingende Federmasse. Die Steigung ist davon nicht betroffen – ein weiterer Grund, die Steigung und nicht einen Einzelwert zu benutzen. Beim $\ln U$-$t$-Diagramm ist $b = \ln U_0$ dagegen physikalisch sinnvoll und sollte zu $U_0$ passen.

Mittelwert, Streuung, Unsicherheitsintervall, Vergleich mit dem Literaturwert

Zufällige Fehler streuen nach beiden Seiten (Reaktionszeit, Ablesen zwischen zwei Strichen, Luftzug) – sie werden durch Wiederholen und Mitteln kleiner. Systematische Fehler ziehen alle Werte in dieselbe Richtung (Lineal mit Nullpunktversatz, Pendellänge ohne Kugelradius, Waage falsch tariert, ein Voltmeter, das $2\,\%$ zu viel anzeigt, Luftreibung, die das Pendel bremst) – sie verschwinden durch Mitteln nicht, zeigen sich aber als Achsenabschnitt oder als Abweichung vom Literaturwert. In Beurteilungsaufgaben wird genau diese Unterscheidung mit einem konkreten Beispiel erwartet.

Für Wiederholungsmessungen: Mittelwert $\bar x$ und als Maß der Streuung die Standardabweichung $s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar x)^2}{n-1}}$ – „wie weit liegt ein typischer Messwert vom Mittelwert entfernt“. Für $20{,}1$; $20{,}3$; $19{,}9$; $20{,}2$; $20{,}0\,\mathrm s$: $\bar t = 20{,}1\,\mathrm s$, $s = 0{,}16\,\mathrm s$. Im Abitur reicht meist die Grundidee; gerechnet wird eher mit der Ablesegenauigkeit.

Größtfehler-Abschätzung (das Abitur-Muster): Jede Messgröße hat eine Unsicherheit ($\pm\tfrac12$ Skalenteil oder die angegebene Toleranz). Bei Produkten und Quotienten addieren sich die relativen Unsicherheiten; ein Quadrat zählt doppelt, eine Wurzel halb. Beispiel $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ mit $l = 1{,}000\,\mathrm m\pm 0{,}005\,\mathrm m$ und $T = 2{,}01\,\mathrm s\pm 0{,}02\,\mathrm s$:

$$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2\,\frac{\Delta T}{T} = 0{,}5\,\% + 2\cdot 1{,}0\,\% = 2{,}5\,\%$$ $$\Rightarrow\quad g = 9{,}77\,\mathrm{m/s^2}\pm 0{,}24\,\mathrm{m/s^2},\qquad g\in[9{,}53;\,10{,}01]\,\mathrm{m/s^2}$$

Alternativ setzt man die ungünstigsten Kombinationen ein: größtes $l$ mit kleinstem $T$ gibt $g_{\max}$, kleinstes $l$ mit größtem $T$ gibt $g_{\min}$. Das Ergebnis ist das Intervall $[g_{\min};\,g_{\max}]$ – und erst damit lässt sich beurteilen: Liegt der Literaturwert $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ im Intervall? Hier ja. Dann ist die Messung „im Rahmen der Messgenauigkeit verträglich“. Liegt er außerhalb, gibt es einen systematischen Fehler, den du benennen sollst.

Relative Abweichung vom Literaturwert ist die zweite Pflichtzahl: $\dfrac{|9{,}77 - 9{,}81|}{9{,}81} = 0{,}4\,\%$. Urteile dann in einem Satz mit Zahl: „Die Abweichung von $0{,}4\,\%$ liegt deutlich unter der Messunsicherheit von $2{,}5\,\%$; die Messung bestätigt den Literaturwert.“ Faustregel für Schulversuche: unter $2\,\%$ sehr gut, bis $5\,\%$ gut, darüber ist ein systematischer Fehler zu suchen – aber das Urteil hängt immer vom Intervall ab, nicht von einer festen Grenze.

Warum $x_5$ besser ist als $x_1$

Dieselbe Ablesegenauigkeit $\pm 0{,}5\,\mathrm{mm}$ ist bei $x_5 = 20{,}4\,\mathrm{mm}$ nur $2{,}5\,\%$, bei $x_1 = 4{,}1\,\mathrm{mm}$ aber $12\,\%$. Große Strecken, lange Zeiten (10 Schwingungen statt einer), hohe Ordnungen: Die absolute Unsicherheit bleibt, die relative sinkt. Und die Steigung der Ausgleichsgeraden ist noch einmal genauer als der beste Einzelwert.

Gültige Ziffern, SCI-3, Antwortsatz und Plausibilitätshaken

Ein Ergebnis darf nicht genauer angegeben werden, als die ungenaueste Messgröße es erlaubt. Wer $g$ aus $l = 1{,}00\,\mathrm m$ (drei gültige Ziffern) und $T = 2{,}01\,\mathrm s$ berechnet, schreibt $g = 9{,}77\,\mathrm{m/s^2}$ – nicht $9{,}7716437\,\mathrm{m/s^2}$. Die sieben Taschenrechnerstellen behaupten eine Genauigkeit von $10^{-7}$, die kein Schulversuch hat; der Korrektor streicht das als „Darstellung“ an. Die Regel für die Klausur:

Endergebnis: drei gültige Ziffern in wissenschaftlicher Schreibweise, Taschenrechner auf SCI 3 (bzw. SCI mit 3 Stellen): $\lambda = 6{,}34\cdot 10^{-7}\,\mathrm m$, $q = 4{,}80\cdot 10^{-19}\,\mathrm C$, $g = 9{,}84\,\mathrm{m/s^2}$.
Zwischenergebnisse genauer (vier bis fünf Stellen oder im Speicher), damit sich Rundungen nicht aufschaukeln: Erst $m = 4{,}0105\,\mathrm{s^2/m}$, dann $g = 4\pi^2/m = 9{,}8438\to 9{,}84\,\mathrm{m/s^2}$.
Einheit immer dabei, auch bei der Steigung und beim Achsenabschnitt.
Antwortsatz mit Größe, Zahl, Einheit: „Die Erdbeschleunigung ergibt sich zu $g = 9{,}84\,\mathrm{m/s^2}$.“ Ohne Antwortsatz fehlt der letzte Punkt – jedes Mal.

Plausibilitätshaken vor dem Abgeben (eine Minute, die Aufgaben rettet):

Größenordnung: Lichtwellenlängen $4$–$7\cdot 10^{-7}\,\mathrm m$; $g\approx 10\,\mathrm{m/s^2}$; Elektronengeschwindigkeiten $10^6$–$10^7\,\mathrm{m/s}$, immer $\lt c$; Ladungen Vielfache von $1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C$; Hall-Spannungen an Metallen $\mu\mathrm V$; Schulkondensatoren pF bis mF.
Vorzeichen: Steigung im $\ln U$-$t$-Diagramm negativ (Entladung), Zeiten und Längen positiv, $\Delta p$ bei Richtungsumkehr groß.
Einheit: kommt aus der Rechnung die erwartete Einheit? ($\mathrm{s^2/m}$ für die Pendelsteigung, $\mathrm{1/s}$ für $-1/\tau$.)
Vergleich mit Bekanntem: Literaturwert, Laserangabe, Bauteilaufdruck ($47\,\mu\mathrm F\pm 20\,\%$) – relative Abweichung als Zahl.

Und eine Zehnerpotenz-Falle: $x_n$ in mm, $g$ in mm, $a$ in m – wer nicht alles in Meter umrechnet, bekommt $\lambda = 6{,}34\cdot 10^{-4}$ „irgendwas“ und merkt es nur über Haken 1.

Eine typische Abituraufgabe von vorn bis hinten: g mit dem Fadenpendel

So sieht die vollständige Auswertung aus, die alle Punkte holt – Schritt für Schritt, mit den Messwerten aus der Tabelle oben ($l$ von $0{,}40$ bis $1{,}40\,\mathrm m$, je 10 Schwingungen gestoppt).

Modell und Linearisierung: $T = 2\pi\sqrt{l/g}\Rightarrow T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$. Trägt man $T^2$ gegen $l$ auf, erwartet man eine Ursprungsgerade mit Steigung $m = 4\pi^2/g$.
Tabelle ergänzen: Spalten $T = (10T)/10$ und $T^2$ (siehe oben). Das Zehnfache zu stoppen drückt den Reaktionsfehler von $\pm 0{,}2\,\mathrm s$ auf $\pm 0{,}02\,\mathrm s$ je Periode.
Diagramm: $l$ in m nach rechts (0 bis 1,5), $T^2$ in $\mathrm{s^2}$ nach oben (0 bis 6), Messkreuze, Ausgleichsgerade, großes Steigungsdreieck.
Steigung: aus dem Dreieck $m\approx 4{,}0\,\mathrm{s^2/m}$; rechnerisch (Formel in der „Methode“ unten) $m = 4{,}01\,\mathrm{s^2/m}$, Achsenabschnitt $b = 0{,}015\,\mathrm{s^2}\approx 0$ – die Gerade geht praktisch durch den Ursprung, das Modell ist bestätigt.
Ergebnis: $g = \dfrac{4\pi^2}{m} = \dfrac{39{,}48}{4{,}01\,\mathrm{s^2/m}} = 9{,}84\,\mathrm{m/s^2}$. Antwortsatz.
Vergleich: relative Abweichung $\dfrac{|9{,}84 - 9{,}81|}{9{,}81} = 0{,}3\,\%$.
Unsicherheit: aus dem besten Einzelwert ($l = 1{,}40\,\mathrm m\pm 0{,}005\,\mathrm m$, $T = 2{,}37\,\mathrm s\pm 0{,}02\,\mathrm s$): $\dfrac{\Delta g}{g} = 0{,}4\,\% + 2\cdot 0{,}8\,\% = 2{,}0\,\%$, also $g\in[9{,}6;\,10{,}0]\,\mathrm{m/s^2}$; der Literaturwert liegt im Intervall.
Beurteilung: „Die Abweichung von $0{,}3\,\%$ ist kleiner als die Messunsicherheit von etwa $2\,\%$; die Messung bestätigt $g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$. Mögliche systematische Fehler: Pendellänge nicht bis zum Schwerpunkt der Kugel gemessen (würde als Achsenabschnitt sichtbar), Auslenkung über $10^\circ$ (verlängert $T$, $g$ wird zu klein), Luftreibung.“

Checkliste für jede Rechenaufgabe – zum Abhaken am Rand:

Schritt	Was dastehen muss
Gegeben / Gesucht	alle Größen mit Formelzeichen, Zahl, Einheit – in SI umgerechnet ($0{,}25\,\mathrm{mm} = 2{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm m$)
Formel	allgemein, mit Bedingung („Kleinwinkel, da $x\ll a$“)
Umstellen	mit Buchstaben, erst dann Zahlen
Einsetzen	Zahlen mit Einheiten in einer Zeile
Ergebnis	drei gültige Ziffern, SCI-3, Einheit
Antwortsatz	Größe, Zahl, Einheit in einem ganzen Satz
Plausibilität	Größenordnung, Vorzeichen, Einheit, Vergleich – ein Halbsatz

Simulation: Ausgleichsgerade – Messreihe eintippen, Steigung ablesen, Größe bestimmen

Die Tabelle ist editierbar (sechs Wertepaare). Das Diagramm zeigt Messkreuze, die rechnerische Ausgleichsgerade, das Steigungsdreieck und daneben Steigung, Achsenabschnitt, die abgeleitete Größe und die Abweichung vom Literaturwert.

Probiere in der Simulation

Preset Doppelspalt: Lies die Steigung aus dem Steigungsdreieck ab und berechne $\lambda = m g/a$ von Hand, bevor du den Readout vergleichst. Ändere dann $x_1$ auf $7{,}1\,\mathrm{mm}$ (Ablesefehler): Wie stark ändern sich Steigung und $\lambda$? Und wie stark hätte sich ein Einzelwert-$\lambda$ aus $x_1$ geändert?
Preset Pendel: Addiere zu allen $l$-Werten $0{,}03\,\mathrm m$ (Länge bis zur Kugelmitte statt zur Aufhängung). Was passiert mit der Steigung, was mit dem Achsenabschnitt, was mit $g$? Formuliere, woran man einen systematischen Längenfehler erkennt.
Preset Kondensator: Schalte „Punkte verbinden (so NICHT)“ ein und beschreibe, was an der Darstellung falsch ist. Lies $\tau$ ab und berechne aus $R = 47\,\mathrm{k\Omega}$ die Kapazität – passt sie zum Aufdruck $100\,\mu\mathrm F$?
Trage in das Pendel-Preset einen Ausreißer ein ($T^2$ bei $l = 1{,}00\,\mathrm m$ auf $5{,}0\,\mathrm{s^2}$). Wie weit verschiebt sich $g$? Warum ist die Steigung trotzdem robuster als ein Einzelwert, und was würdest du in der Klausur mit dem Ausreißer machen?

Herleitung: Methode: Steigung und Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden rechnerisch

Mit dem Lineal legst du die Gerade nach Augenmaß. Die rechnerische Ausgleichsgerade (Methode der kleinsten Quadrate) macht dasselbe reproduzierbar: Sie wählt $m$ und $b$ so, dass die Summe der quadrierten senkrechten Abstände aller Punkte von der Geraden möglichst klein wird. Die Formeln musst du nicht herleiten – aber verstehen, warum sie plausibel sind, und sie an einem kleinen Beispiel anwenden können (so wie in der Doppelspalt-Musterlösung).

Gegeben sind $n$ Wertepaare $(x_i\,|\,y_i)$. Berechne zuerst die beiden Mittelwerte – den „Schwerpunkt“ der Punktwolke.
$$ \bar x = \frac{1}{n}\sum x_i,\qquad \bar y = \frac{1}{n}\sum y_i $$
Plausibel: Die beste Gerade sollte durch den Schwerpunkt $(\bar x\,|\,\bar y)$ gehen – liegt sie darüber, sind im Mittel alle Punkte unter ihr, und man könnte sie verbessern, indem man sie parallel nach unten schiebt. Für eine Gerade $y = mx + b$ durch den Schwerpunkt gilt also:
$$ \bar y = m\,\bar x + b\qquad\Rightarrow\qquad b = \bar y - m\,\bar x $$
Für die Steigung betrachte jeden Punkt relativ zum Schwerpunkt: $\Delta x_i = x_i - \bar x$ und $\Delta y_i = y_i - \bar y$. Ein einzelner Punkt „stimmt“ für die Steigung $\Delta y_i/\Delta x_i$. Punkte weit vom Schwerpunkt entfernt (großes $|\Delta x_i|$) kennen die Steigung genauer als Punkte dicht daneben – wie beim großen Steigungsdreieck. Deshalb werden die Punkte mit $\Delta x_i$ gewichtet:
$$ m = \frac{\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum (x_i - \bar x)^2} $$
Probe: Liegen alle Punkte exakt auf $y = kx + c$, ist $y_i - \bar y = k(x_i - \bar x)$, und die Formel liefert $m = \dfrac{\sum k(x_i-\bar x)^2}{\sum (x_i-\bar x)^2} = k$ – richtig. Streuen die Punkte, mitteln sich die Abweichungen in der Summe weg.
Beispiel mit vier Punkten: $x = 1, 2, 3, 4$ und $y = 2{,}1;\ 3{,}9;\ 6{,}2;\ 7{,}8$. Mittelwerte $\bar x = 2{,}5$, $\bar y = \dfrac{20{,}0}{4} = 5{,}0$. Tabelle: $x_i - \bar x = -1{,}5;\,-0{,}5;\,0{,}5;\,1{,}5$ und $y_i - \bar y = -2{,}9;\,-1{,}1;\,1{,}2;\,2{,}8$. Produkte: $4{,}35;\ 0{,}55;\ 0{,}60;\ 4{,}20$ (Summe $9{,}70$); Quadrate: $2{,}25;\ 0{,}25;\ 0{,}25;\ 2{,}25$ (Summe $5{,}00$).
$$ m = \frac{9{,}70}{5{,}00} = 1{,}94,\qquad b = 5{,}0 - 1{,}94\cdot 2{,}5 = 0{,}15 $$
Die Ausgleichsgerade lautet $y = 1{,}94\,x + 0{,}15$. Kontrolle nach Augenmaß: Bei $x = 1$ liefert sie $2{,}09$ (Messwert $2{,}1$), bei $x = 4$ liefert sie $7{,}91$ (Messwert $7{,}8$) – zwei Punkte liegen knapp darüber, zwei knapp darunter. Genau so funktioniert die Steigung in der Doppelspalt-Musterlösung ($m = 40{,}8/10 = 4{,}08\,\mathrm{mm}$) und in der Simulation.
In der Klausur: Tabelle mit den Spalten $x_i - \bar x$, $y_i - \bar y$, Produkt, Quadrat anlegen, Summen bilden, $m$ und $b$ mit Einheiten angeben (Steigung in $\mathrm{s^2/m}$, Achsenabschnitt in $\mathrm{s^2}$). Die Zeichnung mit Ausgleichsgerade ist trotzdem Pflicht – die Rechnung ersetzt sie nicht, sie bestätigt sie.

Schlusssatz (im Abitur Pflicht): Die Ausgleichsgerade geht durch den Schwerpunkt der Messpunkte und hat die Steigung $m = \dfrac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}$ mit Achsenabschnitt $b = \bar y - m\bar x$; am Beispiel ergibt sich $y = 1{,}94\,x + 0{,}15$ – die Methode ist damit plausibel gemacht und angewendet, was zu zeigen war.

Formeln, die du sicher können musst

Größe / Gesetz	Formel	Was sie sagt · wann sie gilt
Steigung aus dem Diagramm	$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$	großes Steigungsdreieck an der Ausgleichsgeraden, nicht an Messpunkten; Einheit = $[y]/[x]$
Ausgleichsgerade rechnerisch	$m = \dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum (x_i-\bar x)^2}$	$b = \bar y - m\bar x$: Gerade durch den Schwerpunkt $(\bar x\,\|\,\bar y)$; $b\ne 0$ deutet auf systematischen Fehler
Linearisierung Pendel	$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l\;\Rightarrow\; g = \dfrac{4\pi^2}{m}$	$T^2$ gegen $l$; Federpendel analog $T^2$ gegen $m$, $D = 4\pi^2/m_{\text{Steig}}$
Linearisierung Doppelspalt	$x_n = \dfrac{\lambda a}{g}\,n\;\Rightarrow\;\lambda = \dfrac{m\,g}{a}$	$x_n$ gegen $n$; Achsenabschnitt $\ne 0$: Mitte falsch gesetzt
Linearisierung Entladung	$\ln U = \ln U_0 - \dfrac{t}{\tau}$	$\ln U$ gegen $t$; Steigung $m = -1/\tau$ negativ, also $\tau = -1/m$; $b = \ln U_0$; Vergleich mit $RC$
Mittelwert, Standardabweichung	$s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n-1}}$	$\bar x = \frac1n\sum x_i$; zufällige Fehler mitteln sich; $s$ = typische Streuung eines Einzelwerts
Relative Abweichung	$\dfrac{\|x_{\text{mess}} - x_{\text{lit}}\|}{x_{\text{lit}}}\cdot 100\,\%$	immer durch den Literaturwert; Pflichtzahl in jeder Beurteilung
Größtfehler (Produkt/Quotient)	$\dfrac{\Delta g}{g} = \dfrac{\Delta l}{l} + 2\,\dfrac{\Delta T}{T}$	relative Unsicherheiten addieren; Quadrat zählt doppelt; Intervall $[x-\Delta x;\,x+\Delta x]$
Ablesegenauigkeit	$\Delta x = \pm\tfrac12\,\text{Skalenteil}$	Lineal $\pm 0{,}5\,\mathrm{mm}$; Stoppuhr: Reaktionszeit $\pm 0{,}2\,\mathrm s$ dominiert

Typische Fehler – und wie du die Punkte holst

Messpunkte der Reihe nach mit dem Lineal verbunden (Zickzack) und daraus „die Steigung“ abgelesen.
Messkreuze stehen lassen, eine Ausgleichsgerade so legen, dass die Punkte gleichmäßig ober- und unterhalb streuen, Steigungsdreieck groß an die Gerade. Begründung in einem Satz: Messwerte streuen zufällig, der physikalische Zusammenhang ist glatt.
$\lambda$ (oder $g$) aus einem einzigen Messwert bestimmt, obwohl eine Messreihe vorlag; oder aus jedem Punkt einzeln und dann gemittelt.
Linearisieren, auftragen, Ausgleichsgerade, Steigung. Das nutzt alle Punkte, ist unempfindlich gegen Nullpunktfehler (Achsenabschnitt) und prüft das Modell. Einzelwerte mitteln ist besser als nichts, gibt aber nicht die Diagrammpunkte.
$T$ gegen $l$ aufgetragen, eine Kurve gezeichnet und $g$ „irgendwie“ abgelesen.
Formel quadrieren: $T^2 = (4\pi^2/g)\,l$. Spalte $T^2$ anlegen, $T^2$ gegen $l$ auftragen – Gerade – Steigung – $g = 4\pi^2/m$. Allgemein: Was linear in der Formel steht, kommt auf die Achse.
„Stimmt ungefähr mit dem Literaturwert überein“ – ohne Zahl.
Relative Abweichung ausrechnen ($0{,}3\,\%$), Unsicherheitsintervall angeben ($[9{,}6;\,10{,}0]\,\mathrm{m/s^2}$), prüfen, ob der Literaturwert darin liegt, dann urteilen – und bei Abweichung außerhalb des Intervalls einen systematischen Fehler nennen.
Ergebnis $g = 9{,}8437645\,\mathrm{m/s^2}$ (Taschenrechneranzeige abgeschrieben) oder $\lambda = 0{,}000000634$.
Drei gültige Ziffern, SCI-3: $g = 9{,}84\,\mathrm{m/s^2}$, $\lambda = 6{,}34\cdot 10^{-7}\,\mathrm m$. Mehr Stellen behaupten eine Genauigkeit, die die Messgrößen (drei Stellen) nicht hergeben.
Achsen ohne Einheit („$T^2$“, „$l$“), Steigung ohne Einheit („$m = 4{,}01$“), kein Antwortsatz.
Achsen „$T^2$ in $\mathrm{s^2}$“ und „$l$ in m“, Steigung $m = 4{,}01\,\mathrm{s^2/m}$, Antwortsatz: „Die Erdbeschleunigung beträgt $g = 9{,}84\,\mathrm{m/s^2}$.“ Das sind drei getrennte Punkte im Erwartungshorizont.
Unsicherheiten nur addiert statt relativ: „$l\pm 0{,}005$ und $T\pm 0{,}02$, also $g\pm 0{,}025$“.
Bei Produkten und Quotienten relative Unsicherheiten addieren, Potenzen zählen mehrfach: $\Delta g/g = \Delta l/l + 2\Delta T/T = 2{,}5\,\%$, also $\Delta g = 0{,}24\,\mathrm{m/s^2}$. Oder Extremwerte einsetzen (größtes $l$, kleinstes $T$).

Abitur-Operatoren bei diesem Thema

Werten Sie die Messreihe aus / Bestimmen Sie … aus den Messwerten: Linearisierte Formel – Tabelle mit umgerechneter Spalte – Diagramm (Achsen mit Einheit, Kreuze, Ausgleichsgerade, Steigungsdreieck) – Steigung mit Einheit – Größe berechnen – Antwortsatz.
Zeigen Sie, dass die Messwerte den Zusammenhang bestätigen: Begründen, warum gerade diese Auftragung eine Gerade ergeben muss, und feststellen, dass die Punkte (im Rahmen der Streuung) auf einer Geraden durch den Ursprung liegen.
Beurteilen Sie das Ergebnis / Vergleichen Sie mit dem Literaturwert: relative Abweichung als Zahl, Unsicherheitsintervall aus Ablesegenauigkeit (relative Unsicherheiten addieren), Lage des Literaturwerts im Intervall, Urteil in einem Satz.
Nennen Sie mögliche Fehlerquellen: mindestens eine zufällige (Reaktionszeit, Ablesen) und eine systematische (Längenmessung, Nullpunkt, Luftreibung, Bauteiltoleranz) mit ihrer Wirkungsrichtung („$g$ wird dadurch zu klein, weil …“).

Warum das über die Klausur hinaus wichtig bleibt

Jede Abiturklausur in Physik enthält eine Auswertungsaufgabe – in Q2 zur Wellenlänge am Doppelspalt oder Gitter und zur Periodendauer von Pendeln, in Q1 zur Kondensatorentladung ($\ln U$ gegen $t$) und zur Hall-Spannung, in Q3 zum Photoeffekt, wo aus der Geraden $E_{\mathrm{kin}}$ gegen $f$ das Plancksche Wirkungsquantum als Steigung und die Austrittsarbeit als Achsenabschnitt herauskommen – exakt das Muster dieser Seite. Im Maschinenbau-Studium heißt das Messtechnik und Statistik: Kennlinien von Sensoren linearisieren, Kalibriergeraden, Toleranzrechnung mit Größtfehler und später Gauß'scher Fehlerfortpflanzung. Wer jetzt sauber linearisiert, Unsicherheiten addiert und Ergebnisse mit drei gültigen Ziffern und Einheit angibt, hat dort das Praktikum schon halb bestanden.

5 harte Fragen – hast du es wirklich verstanden?

Offene Aufgaben auf Papier lösen (Zeit stoppen!), erst dann die Lösung aufdecken und ehrlich Punkte geben. Die Ergebnisse werden auf diesem Gerät gespeichert.

Aufgabe 1Offene Aufgabe · ca. 20 min12 P

Erdbeschleunigung aus einer Messreihe – mit verstecktem systematischen Fehler

Für ein Fadenpendel wurde bei verschiedenen Längen $l$ (gemessen vom Aufhängepunkt bis zur Kugel, $\pm 0{,}005\,\mathrm m$) jeweils die Zeit für 10 Schwingungen gestoppt ($\pm 0{,}2\,\mathrm s$):

$l$ in m	0,50	0,70	0,90	1,10	1,30
$10\,T$ in s	14,6	17,1	19,3	21,3	23,1

Zeige, dass die Messwerte den Zusammenhang $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ bestätigen, indem du eine geeignete Auftragung wählst und begründest. Fertige das Diagramm an.
Bestimme $g$ aus der Steigung der Ausgleichsgeraden (rechnerisch) und gib die relative Abweichung vom Literaturwert an.
Die Gerade hat einen deutlichen Achsenabschnitt. Erläutere, welcher systematische Fehler dahintersteckt, und bestimme seine Größe.
Ein Mitschüler berechnet $g$ nur aus dem letzten Wertepaar. Berechne sein Ergebnis mit Unsicherheitsintervall und beurteile, ob er den Fehler aus c) hätte bemerken können.

Erwartungshorizont

3 Pa) $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$, also $T^2$ gegen $l$ auftragen (Gerade erwartet); Tabelle $T$, $T^2$; Diagramm mit Achsen (Einheiten), Kreuzen, Ausgleichsgerade; Punkte liegen auf einer Geraden – bestätigt
3 Pb) $\bar l = 0{,}90\,\mathrm m$, $\overline{T^2} = 3{,}731\,\mathrm{s^2}$, $m = \dfrac{1{,}604}{0{,}400}\,\mathrm{s^2/m} = 4{,}01\,\mathrm{s^2/m}$; $g = 4\pi^2/m = 9{,}84\,\mathrm{m/s^2}$; Abweichung $0{,}3\,\%$; Antwortsatz
3 Pc) $b = \overline{T^2} - m\bar l = 0{,}122\,\mathrm{s^2}$; Gerade $T^2 = m(l + \Delta l)$ mit $\Delta l = b/m = 0{,}030\,\mathrm m$: alle Längen um $3{,}0\,\mathrm{cm}$ zu kurz gemessen (bis zum Kugelrand statt zum Schwerpunkt); Steigung und $g$ davon unberührt
3 Pd) $g = 4\pi^2\cdot 1{,}30/2{,}31^2 = 9{,}62\,\mathrm{m/s^2}$, Abweichung $-2{,}0\,\%$; $\Delta g/g = 0{,}38\,\% + 2\cdot 0{,}87\,\% = 2{,}1\,\%$, Intervall $[9{,}41;\,9{,}82]$ – $9{,}81$ gerade noch enthalten; der systematische Fehler bleibt im Einzelwert unsichtbar, nur die Messreihe (Achsenabschnitt) deckt ihn auf

Musterlösung

a) Quadrieren liefert $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$: Trägt man $T^2$ gegen $l$ auf, müssen die Punkte auf einer Geraden mit der Steigung $4\pi^2/g$ liegen. Tabelle erweitern ($T = 10T/10$, dann $T^2$):

$l$ in m	0,50	0,70	0,90	1,10	1,30
$T$ in s	1,46	1,71	1,93	2,13	2,31
$T^2$ in $\mathrm{s^2}$	2,132	2,924	3,725	4,537	5,336

Diagramm: $l$ in m nach rechts (0 bis 1,4), $T^2$ in $\mathrm{s^2}$ nach oben (0 bis 6), fünf Messkreuze, Ausgleichsgerade mit großem Steigungsdreieck. Die Punkte liegen sehr gut auf einer Geraden ($T^2$ wächst je $0{,}20\,\mathrm m$ um etwa $0{,}80\,\mathrm{s^2}$) – der Zusammenhang $T^2\propto l$, also $T\propto\sqrt l$, ist bestätigt.

b) Mittelwerte $\bar l = 0{,}90\,\mathrm m$, $\overline{T^2} = \dfrac{18{,}654}{5}\,\mathrm{s^2} = 3{,}731\,\mathrm{s^2}$. Abweichungen $l_i - \bar l$: $-0{,}4;\,-0{,}2;\,0;\,0{,}2;\,0{,}4$ (m); $T_i^2 - \overline{T^2}$: $-1{,}599;\,-0{,}807;\,-0{,}006;\,0{,}806;\,1{,}605$ ($\mathrm{s^2}$). Produkte: $0{,}640;\,0{,}161;\,0;\,0{,}161;\,0{,}642$, Summe $1{,}604\,\mathrm{m\,s^2}$; Quadrate: $0{,}16;\,0{,}04;\,0;\,0{,}04;\,0{,}16$, Summe $0{,}400\,\mathrm{m^2}$. $$m = \frac{1{,}604\,\mathrm{m\,s^2}}{0{,}400\,\mathrm{m^2}} = 4{,}01\,\mathrm{s^2/m}\qquad\Rightarrow\qquad g = \frac{4\pi^2}{m} = \frac{39{,}48}{4{,}01\,\mathrm{s^2/m}} = 9{,}84\,\mathrm{m/s^2}.$$ Die Erdbeschleunigung ergibt sich zu $g = 9{,}84\,\mathrm{m/s^2}$. Relative Abweichung vom Literaturwert: $\dfrac{|9{,}84 - 9{,}81|}{9{,}81} = 0{,}3\,\%$ – sehr gute Übereinstimmung.

c) Achsenabschnitt $b = \overline{T^2} - m\bar l = 3{,}731\,\mathrm{s^2} - 4{,}01\,\mathrm{s^2/m}\cdot 0{,}90\,\mathrm m = 0{,}122\,\mathrm{s^2}$. Nach dem Modell müsste die Gerade durch den Ursprung gehen ($l = 0\Rightarrow T = 0$). Ein positiver Achsenabschnitt bedeutet: Bei jeder Messung war das Pendel länger, als die Tabelle angibt – die Länge wurde bis zur Kugel (Oberkante) gemessen statt bis zu ihrem Schwerpunkt. Mit der wahren Länge $l + \Delta l$ gilt $T^2 = m\,(l + \Delta l) = m\,l + m\,\Delta l$, also $b = m\,\Delta l$ und $$\Delta l = \frac{b}{m} = \frac{0{,}122\,\mathrm{s^2}}{4{,}01\,\mathrm{s^2/m}} = 0{,}030\,\mathrm m.$$ Alle Längen sind um $3{,}0\,\mathrm{cm}$ zu kurz notiert – das passt zum Radius einer Pendelkugel. Die Steigung und damit $g$ sind von diesem konstanten Versatz nicht betroffen: Genau deshalb ist die Auswertung über die Steigung einem Einzelwert überlegen.

d) Aus dem letzten Paar: $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2} = \dfrac{4\pi^2\cdot 1{,}30\,\mathrm m}{(2{,}31\,\mathrm s)^2} = 9{,}62\,\mathrm{m/s^2}$, Abweichung $\dfrac{|9{,}62 - 9{,}81|}{9{,}81} = 2{,}0\,\%$ (zu klein, weil $l$ zu kurz notiert ist). Unsicherheit: $\dfrac{\Delta l}{l} = \dfrac{0{,}005}{1{,}30} = 0{,}38\,\%$, $\dfrac{\Delta T}{T} = \dfrac{0{,}02}{2{,}31} = 0{,}87\,\%$ (aus $\pm 0{,}2\,\mathrm s$ auf $10T$), also $\dfrac{\Delta g}{g} = 0{,}38\,\% + 2\cdot 0{,}87\,\% = 2{,}1\,\%$, $\Delta g = 0{,}20\,\mathrm{m/s^2}$ und $g\in[9{,}41;\,9{,}82]\,\mathrm{m/s^2}$. Der Literaturwert $9{,}81$ liegt gerade noch am Rand des Intervalls – der Mitschüler hätte „im Rahmen der Messgenauigkeit verträglich“ geschrieben und den systematischen Fehler nie bemerkt. Erst die Messreihe macht ihn über den Achsenabschnitt sichtbar und liefert gleichzeitig das bessere $g$. Korrigiert er seine Länge um $3{,}0\,\mathrm{cm}$, erhält er $g = 4\pi^2\cdot 1{,}33/2{,}31^2 = 9{,}84\,\mathrm{m/s^2}$.

Typische Fehler → so holst du die Punkte

Ohne Diagramm fehlen in a) zwei Punkte, auch wenn die Rechnung in b) stimmt. In b) gern vergessen: Steigung mit Einheit $\mathrm{s^2/m}$ und der Antwortsatz. In c) ist „Messfehler“ keine Antwort – verlangt ist die konkrete Ursache mit Richtung (zu kurz gemessen) und der Betrag $b/m$. In d) addieren viele die absoluten Unsicherheiten oder vergessen den Faktor 2 beim Quadrat.

Meine Punkte:

Aufgabe 2Offene Aufgabe · ca. 15 min10 P

Kondensatorentladung: Linearisieren mit dem Logarithmus

Ein Kondensator (Aufdruck $47\,\mu\mathrm F\pm 20\,\%$) wird über $R = 220\,\mathrm{k\Omega}$ entladen. Gemessen wurde die Spannung:

$t$ in s	0	5	10	15	20	25
$U$ in V	9,0	5,6	3,4	2,1	1,3	0,8

Begründe, warum man $\ln U$ gegen $t$ aufträgt, und gib an, was Steigung und Achsenabschnitt der Geraden bedeuten.
Ergänze die Tabelle um $\ln U$, bestimme die Ausgleichsgerade rechnerisch und daraus $\tau$ und $U_0$.
Berechne die Kapazität und beurteile mit einer relativen Abweichung, ob sie zum Aufdruck passt. Nach welcher Zeit ist die Spannung auf die Hälfte gefallen?
Nenne je eine zufällige und eine systematische Fehlerquelle dieser Messung und ihre Wirkung auf $\tau$.

Erwartungshorizont

2 Pa) $U = U_0 e^{-t/\tau}$ logarithmiert: $\ln U = \ln U_0 - t/\tau$ – Gerade in $t$ mit Steigung $-1/\tau$ und Achsenabschnitt $\ln U_0$; e-Kurve selbst ist nicht auswertbar
4 Pb) $\ln U$: $2{,}197;\,1{,}723;\,1{,}224;\,0{,}742;\,0{,}262;\,-0{,}223$; $\bar t = 12{,}5\,\mathrm s$, $\overline{\ln U} = 0{,}988$; $m = \dfrac{-42{,}41}{437{,}5}\,\mathrm{s^{-1}} = -0{,}0969\,\mathrm{s^{-1}}$; $\tau = -1/m = 10{,}3\,\mathrm s$; $b = 2{,}20\Rightarrow U_0 = e^{2{,}20} = 9{,}0\,\mathrm V$ (passt)
2 Pc) $C = \tau/R = 46{,}9\,\mu\mathrm F$; Abweichung $0{,}2\,\%$ vom Aufdruck, weit innerhalb der Toleranz $\pm 20\,\%$ ($37{,}6$–$56{,}4\,\mu\mathrm F$); $t_{1/2} = \tau\ln 2 = 7{,}15\,\mathrm s$
2 Pd) zufällig: Ablesen des Voltmeters/Stoppen des Zeitpunkts – streut, mittelt sich in der Geraden; systematisch: Innenwiderstand des Voltmeters parallel zu $R$ (zusätzlicher Entladeweg, $\tau$ zu klein) oder Widerstandstoleranz von $R$

Musterlösung

a) Die Entladung folgt $U(t) = U_0 e^{-t/\tau}$ mit $\tau = RC$. Aus einer e-Kurve lässt sich $\tau$ nur ungenau ablesen. Logarithmieren beider Seiten: $\ln U = \ln U_0 + \ln\left(e^{-t/\tau}\right) = \ln U_0 - \dfrac{1}{\tau}\,t$. Das ist eine Geradengleichung $y = mt + b$ mit $y = \ln U$: Die Steigung ist $m = -1/\tau$ (negativ, Einheit $\mathrm{1/s}$), der Achsenabschnitt $b = \ln U_0$. Liegen die Punkte auf einer Geraden, ist zugleich das Exponentialgesetz bestätigt.

b) Tabelle (dimensionslos: $\ln$ der Maßzahl in V):

$t$ in s	0	5	10	15	20	25
$\ln U$	2,197	1,723	1,224	0,742	0,262	−0,223

Mittelwerte: $\bar t = 12{,}5\,\mathrm s$, $\overline{\ln U} = \dfrac{5{,}925}{6} = 0{,}988$. Abweichungen $t_i - \bar t$: $-12{,}5;\,-7{,}5;\,-2{,}5;\,2{,}5;\,7{,}5;\,12{,}5$; $\ln U_i - \overline{\ln U}$: $1{,}210;\,0{,}736;\,0{,}237;\,-0{,}245;\,-0{,}725;\,-1{,}210$. Produkte: $-15{,}12;\,-5{,}52;\,-0{,}59;\,-0{,}61;\,-5{,}44;\,-15{,}13$, Summe $-42{,}41\,\mathrm s$; Quadrate: $156{,}25;\,56{,}25;\,6{,}25;\,6{,}25;\,56{,}25;\,156{,}25$, Summe $437{,}5\,\mathrm{s^2}$. $$m = \frac{-42{,}41\,\mathrm s}{437{,}5\,\mathrm{s^2}} = -0{,}0969\,\mathrm{s^{-1}}\;\Rightarrow\;\tau = -\frac1m = 10{,}32\,\mathrm s\approx 10{,}3\,\mathrm s$$ $$b = 0{,}988 - (-0{,}0969)\cdot 12{,}5 = 2{,}20\;\Rightarrow\; U_0 = e^{2{,}20} = 9{,}0\,\mathrm V.$$ Die Zeitkonstante beträgt $\tau = 10{,}3\,\mathrm s$; der Achsenabschnitt liefert $U_0 = 9{,}0\,\mathrm V$, in Übereinstimmung mit dem ersten Messwert – ein guter Plausibilitätshaken.

c) $\tau = RC\Rightarrow C = \dfrac{\tau}{R} = \dfrac{10{,}32\,\mathrm s}{220\cdot 10^{3}\,\Omega} = 4{,}69\cdot 10^{-5}\,\mathrm F = 46{,}9\,\mu\mathrm F$ (mit dem ungerundeten Zwischenwert gerechnet) (Einheit: $\mathrm{s/\Omega} = \mathrm{s\,A/V} = \mathrm{C/V} = \mathrm F$). Relative Abweichung vom Aufdruck: $\dfrac{|46{,}9 - 47|}{47} = 0{,}2\,\%$. Der Hersteller erlaubt $\pm 20\,\%$, also $37{,}6$ bis $56{,}4\,\mu\mathrm F$; der gemessene Wert liegt mitten in diesem Bereich – die Messung ist mit dem Aufdruck sehr gut verträglich (der Nennwert $\tau = 220\,\mathrm{k\Omega}\cdot 47\,\mu\mathrm F = 10{,}34\,\mathrm s$ weicht um $0{,}2\,\%$ ab). Halbwertszeit: $e^{-t/\tau} = \tfrac12\Rightarrow t_{1/2} = \tau\ln 2 = 10{,}32\,\mathrm s\cdot 0{,}693 = 7{,}15\,\mathrm s$. Nach $7{,}15\,\mathrm s$ ist die Spannung auf $4{,}5\,\mathrm V$ gefallen (Kontrolle mit der Tabelle: zwischen $5\,\mathrm s$ mit $5{,}6\,\mathrm V$ und $10\,\mathrm s$ mit $3{,}4\,\mathrm V$ – plausibel).

d) Zufällig: Das Ablesen des Voltmeters genau zum Stoppuhr-Zeitpunkt (Reaktionszeit, Anzeige zwischen zwei Teilstrichen) streut nach beiden Seiten; in der Ausgleichsgeraden mitteln sich diese Abweichungen weitgehend heraus. Systematisch: Das Voltmeter hat einen endlichen Innenwiderstand $R_V$ parallel zu $R$; über ihn fließt zusätzlich Ladung ab, der Gesamtwiderstand ist kleiner als $220\,\mathrm{k\Omega}$ und $\tau$ fällt systematisch zu klein aus (bei einem Digitalmultimeter mit $10\,\mathrm{M\Omega}$ um etwa $2\,\%$). Ebenfalls systematisch: die Toleranz des Widerstands ($\pm 5\,\%$ bei einem üblichen Bauteil) – sie verschiebt alle Punkte gleichsinnig und bleibt in der Geraden unsichtbar, geht aber direkt in $C = \tau/R$ ein.

Typische Fehler → so holst du die Punkte

Der Zehnerlogarithmus (log) statt $\ln$ liefert eine Gerade mit Steigung $-1/(\tau\ln 10)$ – wer das nicht beachtet, bekommt $\tau$ um den Faktor $2{,}3$ zu klein. Das Vorzeichen der Steigung muss negativ sein. In c) gehört der Vergleich mit der Toleranz dazu: „passt“ reicht nicht, die Toleranzgrenzen in $\mu\mathrm F$ sind gefragt.

Meine Punkte:

Aufgabe 3Offene Aufgabe · ca. 12 min8 P

Transfer: Federkonstante aus T² gegen m – und was der Achsenabschnitt verrät

An eine Feder werden nacheinander verschiedene Massen gehängt und jeweils die Dauer von 10 Schwingungen gestoppt:

$m$ in kg	0,050	0,100	0,150	0,200	0,250
$10\,T$ in s	3,7	4,9	5,8	6,6	7,3

Linearisiere $T = 2\pi\sqrt{m/D}$, trage sinnvoll auf und bestimme $D$ aus der Steigung der rechnerischen Ausgleichsgeraden.
Die Gerade schneidet die $T^2$-Achse nicht im Ursprung. Bestimme den Achsenabschnitt und deute ihn physikalisch (die Feder hat eine Masse von $60\,\mathrm g$).
Beurteile, welchen Fehler jemand macht, der $D$ nur aus dem Wertepaar $m = 0{,}250\,\mathrm{kg}$ berechnet.

Erwartungshorizont

4 Pa) $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{D}\,m$, $T^2$ gegen $m$; $T^2$: $0{,}137;\,0{,}240;\,0{,}336;\,0{,}436;\,0{,}533\,\mathrm{s^2}$; $\bar m = 0{,}150\,\mathrm{kg}$, $\overline{T^2} = 0{,}336\,\mathrm{s^2}$, Steigung $\dfrac{0{,}0494}{0{,}0250} = 1{,}98\,\mathrm{s^2/kg}$; $D = 4\pi^2/1{,}98 = 20{,}0\,\mathrm{N/m}$
2 Pb) $b = 0{,}336 - 1{,}98\cdot 0{,}150 = 0{,}040\,\mathrm{s^2}$; $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{D}(m + m_0)$ mit $m_0 = b/\text{Steigung} = 0{,}020\,\mathrm{kg} = 20\,\mathrm g$ – ein Drittel der Federmasse schwingt mit
2 Pc) $D = 4\pi^2\cdot 0{,}250/0{,}73^2 = 18{,}5\,\mathrm{N/m}$, $7{,}4\,\%$ zu klein, weil die mitschwingende Federmasse ignoriert wird; systematischer Fehler, bei kleinen Massen noch größer ($m = 0{,}050$: $14{,}4\,\mathrm{N/m}$); die Steigung ist davon frei

Musterlösung

a) Quadrieren: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{D}\,m$ – Auftragung $T^2$ gegen $m$ ergibt eine Gerade mit Steigung $4\pi^2/D$. Tabelle: $T = 0{,}37;\,0{,}49;\,0{,}58;\,0{,}66;\,0{,}73\,\mathrm s$ und $T^2 = 0{,}137;\,0{,}240;\,0{,}336;\,0{,}436;\,0{,}533\,\mathrm{s^2}$. Mittelwerte $\bar m = 0{,}150\,\mathrm{kg}$, $\overline{T^2} = \dfrac{1{,}682}{5} = 0{,}336\,\mathrm{s^2}$. Abweichungen: $m_i - \bar m = -0{,}10;\,-0{,}05;\,0;\,0{,}05;\,0{,}10$ (kg), $T_i^2 - \overline{T^2} = -0{,}199;\,-0{,}096;\,0{,}000;\,0{,}100;\,0{,}197$ ($\mathrm{s^2}$). Produkte $0{,}0199;\,0{,}0048;\,0;\,0{,}0050;\,0{,}0197$, Summe $0{,}0494\,\mathrm{kg\,s^2}$; Quadrate $0{,}010;\,0{,}0025;\,0;\,0{,}0025;\,0{,}010$, Summe $0{,}0250\,\mathrm{kg^2}$. $$\text{Steigung} = \frac{0{,}0494}{0{,}0250}\,\frac{\mathrm{s^2}}{\mathrm{kg}} = 1{,}98\,\mathrm{s^2/kg}\qquad\Rightarrow\qquad D = \frac{4\pi^2}{1{,}98\,\mathrm{s^2/kg}} = 20{,}0\,\mathrm{N/m}.$$ (Einheit: $\mathrm{kg/s^2} = \mathrm{N/m}$.) Die Federkonstante beträgt $D = 20{,}0\,\mathrm{N/m}$.

b) Achsenabschnitt $b = \overline{T^2} - 1{,}98\cdot 0{,}150 = 0{,}336 - 0{,}297 = 0{,}040\,\mathrm{s^2}$ (zeichnerisch: Die Gerade trifft die $T^2$-Achse bei etwa $0{,}04\,\mathrm{s^2}$, nicht bei $0$). Nach dem Modell müsste eine Feder ohne angehängte Masse gar nicht schwingen ($T = 0$). Tatsächlich hat die Feder selbst Masse, die mitschwingt – die oberen Windungen weniger, die unteren mehr. Die Gerade beschreibt also $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{D}\,(m + m_0)$; der Achsenabschnitt ist $b = \dfrac{4\pi^2}{D}\,m_0$, also $$m_0 = \frac{b}{\text{Steigung}} = \frac{0{,}040\,\mathrm{s^2}}{1{,}98\,\mathrm{s^2/kg}} = 0{,}020\,\mathrm{kg} = 20\,\mathrm g.$$ Das ist genau ein Drittel der Federmasse ($60\,\mathrm g/3 = 20\,\mathrm g$) – das Ergebnis, das die Theorie für eine gleichmäßig schwingende Feder liefert. Der Achsenabschnitt ist hier kein Messfehler, sondern Physik.

c) Aus dem letzten Paar allein: $D = \dfrac{4\pi^2 m}{T^2} = \dfrac{4\pi^2\cdot 0{,}250\,\mathrm{kg}}{(0{,}73\,\mathrm s)^2} = 18{,}5\,\mathrm{N/m}$ – um $\dfrac{|18{,}5 - 20{,}0|}{20{,}0} = 7{,}4\,\%$ zu klein. Die Rechnung setzt stillschweigend $m_0 = 0$ und schreibt die ganze Periodendauer der angehängten Masse zu; die mitschwingenden $20\,\mathrm g$ verlängern $T$, und das wird als „weichere Feder“ fehlgedeutet. Der Fehler ist systematisch und bei kleinen Massen noch größer: Aus $m = 0{,}050\,\mathrm{kg}$ ergäbe sich $14{,}4\,\mathrm{N/m}$ ($28\,\%$ zu klein). Die Steigung der Ausgleichsgeraden ist von $m_0$ unabhängig und liefert das richtige $D$ – und nebenbei $m_0$ selbst. Wer in der Klausur nur einen Einzelwert benutzt, verliert also nicht nur die Diagrammpunkte, sondern bekommt auch ein falsches Ergebnis.

Typische Fehler → so holst du die Punkte

$T$ gegen $m$ aufzutragen gibt eine Wurzelkurve – keine Steigung. In b) ist „Messfehler“ nicht die Antwort: Der Achsenabschnitt hat hier eine physikalische Bedeutung, und die Zahl $b/\text{Steigung} = 20\,\mathrm g$ muss ausgerechnet werden. In c) gehört die Prozentzahl dazu und das Wort „systematisch“.

Meine Punkte:

Aufgabe 4Multiple Choice · genau eine Antwort2 P

Im $x_n$-$n$-Diagramm eines Doppelspaltversuchs streuen die fünf Messkreuze leicht um eine Gerade. Welches Vorgehen ist richtig?

Die Punkte der Reihe nach verbinden und die Steigung zwischen dem 4. und 5. Punkt ablesen, weil dort die Werte am größten und genauesten sind.Eine Ausgleichsgerade so legen, dass die Punkte gleichmäßig ober- und unterhalb liegen, und die Steigung über ein großes Steigungsdreieck an der Geraden ablesen.Die Gerade durch den Ursprung und den letzten Messpunkt legen, weil die Formel $x_n = (\lambda a/g)\,n$ eine Ursprungsgerade verlangt.Für jeden Punkt $\lambda = x_n g/(na)$ berechnen und den Mittelwert bilden – das Diagramm ist dann überflüssig.

Messwerte streuen zufällig; die Ausgleichsgerade mittelt diese Streuung über alle Punkte, und ein großes Dreieck minimiert den Ablesefehler. Option 1 ist der klassische Fehler: Verbinden behauptet Knicke, und zwei Nachbarpunkte enthalten die volle Streuung beider Werte. Option 3 zwingt die Gerade durch den Ursprung und verschenkt damit die Information des Achsenabschnitts (Nullpunktfehler) – außerdem hängt alles am letzten Punkt. Option 4 ist besser als ein Einzelwert, aber die Aufgabe verlangt das Diagramm (Punkte dafür), und ein Nullpunktfehler würde jeden Einzelwert verfälschen, die Steigung nicht.

Aufgabe 5Multiple Choice · genau eine Antwort2 P

$g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ wird aus $l$ (relative Unsicherheit $0{,}5\,\%$) und $T$ (relative Unsicherheit $1{,}0\,\%$) berechnet. Wie groß ist die relative Unsicherheit von $g$ nach der Größtfehler-Abschätzung?

$1{,}5\,\%$ – die relativen Unsicherheiten werden addiert.$2{,}5\,\%$ – $T$ geht quadratisch ein und zählt deshalb doppelt.$0{,}5\,\%$ – die Unsicherheit von $T$ kürzt sich beim Quadrieren heraus.$1{,}25\,\%$ – der Mittelwert der beiden Unsicherheiten.

Bei Produkten und Quotienten addieren sich die relativen Unsicherheiten, und eine Potenz $T^2$ zählt so oft wie ihr Exponent: $\dfrac{\Delta g}{g} = \dfrac{\Delta l}{l} + 2\,\dfrac{\Delta T}{T} = 0{,}5\,\% + 2{,}0\,\% = 2{,}5\,\%$. Option 1 vergisst den Faktor 2 beim Quadrat, Option 3 verwechselt Quadrieren mit Kürzen (Fehler werden größer, nicht kleiner), Option 4 hat mit Fehlerfortpflanzung nichts zu tun. Deshalb lohnt sich beim Pendel vor allem eine genaue Zeitmessung – 10 Schwingungen stoppen statt einer.

Meine Notizen zu „Messdaten auswerten & Ergebnisse darstellen (Abitur-Maßstab)“

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