Werkzeug
Formelkarte
Alle Formeln aus allen Konzeptseiten – zum Wiederholen am Abend vor der Klausur. Erst die Formel verdecken, selbst aufschreiben, dann vergleichen.
Grundlagen aus den Jahren davor
Mathe-Werkzeug für die Physik: Winkel, Näherungen, Ableiten, Einheiten
| Winkelfunktionen | $\sin\alpha = \tfrac{\text{GK}}{\text{Hyp}},\ \cos\alpha = \tfrac{\text{AK}}{\text{Hyp}},\ \tan\alpha = \tfrac{\text{GK}}{\text{AK}}$ | GK Gegenkathete, AK Ankathete, Hyp Hypotenuse – vom Winkel $\alpha$ aus benannt; nur im rechtwinkligen Dreieck; $\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha$; Taschenrechner DEG |
| Bogenmaß | $\alpha_{\mathrm{rad}} = \alpha^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ}$ | $360^\circ = 2\pi$; Bogenlänge durch Radius, einheitenlos; Pflicht bei $\omega t$, $v = \omega r$ und bei jeder Näherung |
| Kleinwinkelnäherung | $\sin\alpha\approx\alpha\approx\tan\alpha$ | nur $\alpha$ in rad und $\alpha\lesssim 5^\circ$; Fehler $\approx\alpha^2/6$ bzw. $\alpha^2/3$; Doppelspalt ja ($x\ll a$), Gitter nein, Pendel nur kleine Amplitude |
| Wurzel umstellen | $D = \dfrac{4\pi^2 m}{T^2}$ | aus $T = 2\pi\sqrt{m/D}$: durch $2\pi$ teilen, quadrieren, Kehrwert; Einheitencheck $\mathrm{kg/s^2 = N/m}$; analog $g = 4\pi^2 l/T^2$ |
| Ableitung Sinus/Kosinus | $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sin(\omega t) = \omega\cos(\omega t)$ | und $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\cos(\omega t) = -\omega\sin(\omega t)$; Kettenregel: innerer Faktor $\omega$; zweimal ableiten gibt $-\omega^2\sin(\omega t)$, also $\ddot y = -\omega^2 y$ |
| Ableitung e-Funktion | $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\,e^{-t/\tau} = -\dfrac1\tau\,e^{-t/\tau}$ | äußere ($e^u$) mal innere ($-1/\tau$); bei $U_0 e^{-t/(RC)}$ Faktor $-\dfrac{U_0}{RC}$ |
| Logarithmus löst Exponent | $t = -\tau\ln\dfrac{U}{U_0},\qquad t_{1/2} = \tau\ln 2$ | aus $e^{-t/\tau} = U/U_0$; $\ln$ ist Umkehrung von $e^x$; $\ln U = \ln U_0 - t/\tau$ ist eine Gerade in $t$ |
| Ableitung = Änderungsrate | $v = \dfrac{\mathrm ds}{\mathrm dt},\qquad I = \dfrac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}$ | ebenso $a = \mathrm dv/\mathrm dt$; Steigung der Tangente; negatives Vorzeichen heißt Abnahme |
| Integral = Fläche | $W = \int F\,\mathrm ds$ | Fläche unter dem Graphen; bei Ursprungsgerade ein Dreieck, daher der Faktor $\tfrac12$: $W_{\text{Feder}} = \tfrac12 Ds^2$, $W_{\text{Kond.}} = \tfrac12 QU$ |
Kräfte, Arbeit, Energie – das Fundament
| Newton II | $\vec F = m\vec a$ | resultierende Kraft; $F = 0\Rightarrow$ Ruhe oder gleichförmige Bewegung (Gleichgewicht) |
| Gewichtskraft, Hooke | $F_G = m g,\qquad F = D s$ | $g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$; $D$ in $\mathrm{N/m}$ = Steigung im $F$-$s$-Diagramm |
| Kräftezerlegung | $F_\parallel = F\cos\varphi,\quad F_\perp = F\sin\varphi$ | $\varphi$ zur Bezugsrichtung; schiefe Ebene $F_H = mg\sin\alpha$; Kettenkarussell $\tan\varphi = v^2/(rg)$ |
| Kräftegleichgewicht | $qE = mg,\qquad qE = qvB$ | Millikan bzw. Hall/Wien-Filter ($v = E/B$) – Skizze, Gleichsetzen, Auflösen; resultierende Kraft null |
| Arbeit | $W = F\,s\cos\varphi$ | nur Kraftkomponente in Wegrichtung; $F\perp s\Rightarrow W = 0$ (Lorentzkraft, Normalkraft) |
| Arbeit als Fläche | $W = \tfrac12 D s^2,\qquad W = \tfrac12 Q U$ | Spannarbeit bzw. Kondensator: Dreieck unter Ursprungsgerade; Faktor $\tfrac12$ = mittlere Kraft bzw. Spannung |
| Energieformen | $\tfrac12 m v^2,\qquad m g h,\qquad q U$ | Bewegungs-, Lage-, elektrische Energie; $qU$ unabhängig von $d$; $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm J$ |
| Energiebilanz | $mgh = \tfrac12 mv^2,\qquad qU = \tfrac12 mv^2$ | Anfang = Ende (+ Verluste); $v = \sqrt{2gh}$, $v = \sqrt{2eU/m_e}$; Schwingung $\tfrac12 D\hat y^2 = \tfrac12 mv_{\max}^2$, also $v_{\max} = \hat y\omega$ |
| Leistung, Impuls, Kraftstoß | $P = F v,\quad p = m v,\quad F\,\Delta t = \Delta p$ | $P = W/t$, elektrisch $P = UI$; Impuls ist ein Vektor: Richtungsumkehr zählt doppelt; kurze Stoßzeit, große Kraft |
Messdaten auswerten & Ergebnisse darstellen (Abitur-Maßstab)
| Steigung aus dem Diagramm | $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ | großes Steigungsdreieck an der Ausgleichsgeraden, nicht an Messpunkten; Einheit = $[y]/[x]$ |
| Ausgleichsgerade rechnerisch | $m = \dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum (x_i-\bar x)^2}$ | $b = \bar y - m\bar x$: Gerade durch den Schwerpunkt $(\bar x\,|\,\bar y)$; $b\ne 0$ deutet auf systematischen Fehler |
| Linearisierung Pendel | $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l\;\Rightarrow\; g = \dfrac{4\pi^2}{m}$ | $T^2$ gegen $l$; Federpendel analog $T^2$ gegen $m$, $D = 4\pi^2/m_{\text{Steig}}$ |
| Linearisierung Doppelspalt | $x_n = \dfrac{\lambda a}{g}\,n\;\Rightarrow\;\lambda = \dfrac{m\,g}{a}$ | $x_n$ gegen $n$; Achsenabschnitt $\ne 0$: Mitte falsch gesetzt |
| Linearisierung Entladung | $\ln U = \ln U_0 - \dfrac{t}{\tau}$ | $\ln U$ gegen $t$; Steigung $m = -1/\tau$ negativ, also $\tau = -1/m$; $b = \ln U_0$; Vergleich mit $RC$ |
| Mittelwert, Standardabweichung | $s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n-1}}$ | $\bar x = \frac1n\sum x_i$; zufällige Fehler mitteln sich; $s$ = typische Streuung eines Einzelwerts |
| Relative Abweichung | $\dfrac{|x_{\text{mess}} - x_{\text{lit}}|}{x_{\text{lit}}}\cdot 100\,\%$ | immer durch den Literaturwert; Pflichtzahl in jeder Beurteilung |
| Größtfehler (Produkt/Quotient) | $\dfrac{\Delta g}{g} = \dfrac{\Delta l}{l} + 2\,\dfrac{\Delta T}{T}$ | relative Unsicherheiten addieren; Quadrat zählt doppelt; Intervall $[x-\Delta x;\,x+\Delta x]$ |
| Ablesegenauigkeit | $\Delta x = \pm\tfrac12\,\text{Skalenteil}$ | Lineal $\pm 0{,}5\,\mathrm{mm}$; Stoppuhr: Reaktionszeit $\pm 0{,}2\,\mathrm s$ dominiert |
Wellen (Q2)
Wellen: Grundgrößen & Wellengleichung
| Grundgleichung | $c = \lambda\cdot f = \dfrac{\lambda}{T}$ | In der Zeit $T$ läuft die Welle um $\lambda$ weiter; $c$ vom Medium, $f$ vom Erreger, $\lambda$ folgt |
| Frequenz und Periode | $f = \dfrac{1}{T}$ | Einheit Hz $= \mathrm{s^{-1}}$; $T$ liest man im Zeitbild ab |
| Kreisfrequenz | $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ | Phase pro Zeit, in $\mathrm{s^{-1}}$; nach $t = T$ ist $\omega t = 2\pi$ |
| Wellenzahl | $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$ | Phase pro Weg, in $\mathrm{m^{-1}}$; nach $x = \lambda$ ist $kx = 2\pi$ |
| Wellengleichung | $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$ | Welle in $+x$-Richtung, Erreger startet bei $t=0$ in der Ruhelage nach oben; $+kx$: Welle nach links |
| Phasengeschwindigkeit | $c = \dfrac{\omega}{k}$ | aus $\omega t - kx = \text{const}$; identisch mit $\lambda/T$ |
| Phasenunterschied zweier Orte | $\Delta\varphi = k\,\Delta x = 2\pi\,\dfrac{\Delta x}{\lambda}$ | $\Delta x = \lambda/2 \Rightarrow \Delta\varphi = \pi$ (gegenphasig); $\Delta x = \lambda \Rightarrow 2\pi$ (gleichphasig) |
| Schnelle des Oszillators | $v_{\max} = \omega\,\hat y$ | größte Geschwindigkeit quer zur Welle – nicht mit $c$ verwechseln |
Eigenschaften von Wellen: Absorption, Reflexion, Brechung, Beugung, Streuung
| Reflexionsgesetz | $\alpha' = \alpha$ | Winkel zum Lot; Richtung ändert sich, $\lambda$, $f$ bleiben |
| Festes Ende | $\Delta\varphi = \pi\ \ \widehat{=}\ \ \Delta s = \tfrac{\lambda}{2}$ | Berg wird Tal; Knoten am Ende; Reflexion am dichteren Medium analog |
| Loses Ende | $\Delta\varphi = 0$ | Berg bleibt Berg; Bauch am Ende (Auslenkung bis $2\hat y$) |
| Brechung: was bleibt | $f_1 = f_2$ | Erreger gibt den Takt vor – auch über die Grenzfläche hinweg |
| Brechung: was sich ändert | $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} = \dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ | zum Lot hin, wenn $c_2 \lt c_1$; Herleitung auf Seite Huygens |
| Beugung: Maß | $\dfrac{d}{\lambda}$ | $\lesssim 1$: Kreiswelle (stark); $\gg 1$: Schatten (schwach) |
| Einzelspalt-Minima | $\sin\alpha_n = \dfrac{n\lambda}{d}$ | $n = 1, 2, \dots$ (Regelheft); quantitative Beugung, eigene Seite |
| Rayleigh-Streuung | $I_{\text{gestreut}} \propto \dfrac{1}{\lambda^4}$ | Hindernisse $\ll\lambda$; blau $\approx 6$-mal stärker als rot |
| Absorption | $I(x) = I_0\,e^{-\mu x}$ | gleicher Anteil pro Schicht $\Rightarrow$ exponentiell; $\ln I$ gegen $x$ ist eine Gerade |
Huygens'sches Prinzip & Herleitung des Brechungsgesetzes
| Huygens'sches Prinzip | $r = c\cdot\Delta t$ | Radius jeder Elementarwelle nach $\Delta t$; Einhüllende = neue Wellenfront |
| Brechungsgesetz | $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \dfrac{c_1}{c_2}$ | Winkel zum Lot; $c_2 \lt c_1$ $\Rightarrow$ $\beta \lt \alpha$ (zum Lot hin) |
| Wellenlängen | $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ | weil $f$ gleich bleibt; im langsameren Medium kürzere Wellen |
| Brechzahl | $n = \dfrac{c_0}{c}$ | Luft $\approx 1$, Wasser $1{,}33$, Glas $1{,}5$; größeres $n$ = langsamer = „optisch dichter“ |
| Brechungsgesetz (Licht) | $n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta$ | symmetrische Form; Indizes vertauschen sich gegenüber $c_1/c_2$ |
| Frequenz | $f_1 = f_2$ | Erreger gibt den Takt; die Farbe des Lichts ändert sich beim Eintritt ins Glas nicht |
| Grenzwinkel der Totalreflexion | $\sin\alpha_g = \dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{n_2}{n_1}$ | nur vom langsameren ins schnellere Medium ($n_1 \gt n_2$); Glas → Luft $41{,}8^\circ$ |
| Geschwindigkeit im Medium | $c = \dfrac{c_0}{n},\quad \lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$ | Glas: $2{,}00\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}$; $600\,\mathrm{nm}$ werden zu $400\,\mathrm{nm}$ |
Interferenz & Gangunterschied (zwei Quellen, Wellenwanne)
| Gangunterschied | $\Delta s = |r_2 - r_1|$ | Wegdifferenz von den Quellen zum Punkt $P$; im Fernfeld $\Delta s = g\sin\alpha$ |
| Maxima (konstruktiv) | $\Delta s = n\cdot\lambda$ | $n = 0, 1, 2, \dots$; Berg trifft Berg, Amplitude $2\hat y$ |
| Minima (destruktiv) | $\Delta s = \left(n - \tfrac12\right)\cdot\lambda$ | $n = 1, 2, \dots$ (Regelheft); 1. Minimum bei $\lambda/2$, Berg trifft Tal |
| Phasendifferenz | $\Delta\varphi = 2\pi\,\dfrac{\Delta s}{\lambda} + \varphi_0$ | $\varphi_0$ = Phasenverschiebung der Erreger; Maxima bei $2\pi n$, Minima bei $(2n-1)\pi$ |
| Amplitude in $P$ | $A = 2\hat y\left|\cos\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right|$ | gleiche Einzelamplituden $\hat y$; dazwischen weder null noch doppelt |
| Intensität | $I \propto A^2$ | im Maximum $4\times$ Intensität einer Quelle; Energie wird umverteilt, nicht vernichtet |
| Höchste Ordnung | $n_{\max} = \left\lfloor\dfrac{g}{\lambda}\right\rfloor$ | weil $\Delta s \le g$ (Dreiecksungleichung); Maximalinien insgesamt $2n_{\max}+1$ |
| Orte gleichen $\Delta s$ | $|r_2 - r_1| = \text{const}$ | Hyperbeln mit den Quellen als Brennpunkten; $\Delta s = 0$: Mittelsenkrechte |
| Kohärenz | $f_1 = f_2,\quad \varphi_0 = \text{const}$ | Voraussetzung für ein ortsfestes Muster; zwei Glühlampen erfüllen das nicht |
Doppelspalt
| Gangunterschied | $\Delta s = g\cdot\sin\alpha$ | Fernfeld ($a\gg g$), Strahlen parallel; $g$ = Spaltabstand |
| Maxima | $g\sin\alpha_n = n\lambda$ | $n = 0,1,2,\dots$; $n=0$ ist das Hauptmaximum in der Mitte |
| Minima | $g\sin\alpha_n = \left(n-\tfrac12\right)\lambda$ | $n = 1,2,\dots$ (Regelheft); 1. Minimum bei $\Delta s = \lambda/2$ |
| Schirmgeometrie | $\tan\alpha_n = \dfrac{x_n}{a}$ | $x_n$ Abstand von der Mitte, $a$ Schirmabstand – immer exakt gültig |
| Kleinwinkelnäherung | $x_n \approx \dfrac{n\lambda a}{g}$ | nur für $x_n \ll a$; Näherung in der Klausur benennen |
| Streifenabstand | $\Delta x = \dfrac{\lambda a}{g}$ | Maxima äquidistant; Steigung der Geraden $x_n(n)$ |
| Exakt (große Winkel) | $\sin\alpha_n = \dfrac{x_n}{\sqrt{x_n^2+a^2}}$ | wenn die Näherung nicht erlaubt ist (Gitter!) |
| Phasendifferenz | $\Delta\varphi = 2\pi\,\dfrac{\Delta s}{\lambda}$ | $\Delta s = \lambda \leftrightarrow \Delta\varphi = 2\pi$; Minimum bei $\Delta\varphi = \pi$ |
Einzelspalt: Beugung und Minima
| Minima Einzelspalt | $\sin\alpha_n = \dfrac{n\lambda}{d}$ | $n = 1, 2, \dots$ (Regelheft); $d$ = Spaltbreite; $n = 0$ ist das Hauptmaximum, kein Minimum |
| Gangunterschied Randstrahlen | $\Delta s_{\text{Rand}} = d\sin\alpha$ | Fernfeld ($a \gg d$); 1. Minimum bei $\Delta s_{\text{Rand}} = \lambda$ – nicht $\lambda/2$ |
| Partnerstrahlen | $\dfrac{d}{2n}\sin\alpha_n = \dfrac\lambda2$ | Teilbündelmethode: $2n$ Teilbündel, Partner im Abstand $d/(2n)$ löschen sich paarweise aus |
| Lage der Minima auf dem Schirm | $x_n \approx \dfrac{n\lambda a}{d}$ | nur für kleine Winkel ($x_n \ll a$); exakt $\tan\alpha_n = x_n/a$ |
| Breite des Hauptmaximums | $b_0 = 2x_1 \approx \dfrac{2\lambda a}{d}$ | von Minimum zu Minimum; doppelt so breit wie ein Nebenmaximum; $\propto 1/d$ |
| Nebenmaxima (näherungsweise) | $d\sin\alpha \approx \left(n+\tfrac12\right)\lambda$ | Intensität nur $\approx 4{,}5\,\%$, $1{,}6\,\%$, $0{,}8\,\%$ von $I_0$ |
| Intensitätsverlauf | $I(\alpha) = I_0\left(\dfrac{\sin u}{u}\right)^2$ | mit $u = \pi d\sin\alpha/\lambda$; nur kennen: Nullstellen bei $u = n\pi$ sind die Minima |
| Spaltbreite aus Messung | $d = \dfrac{n\lambda a}{x_n}$ | Minima messen (scharf), symmetrisch, hohe Ordnung; Haar/Draht nach Babinet genauso |
| Doppelspalt mit Einhüllender | $I = I_0\cos^2\!\beta\cdot\left(\dfrac{\sin u}{u}\right)^2$ | $\beta = \pi g\sin\alpha/\lambda$, $u = \pi d\sin\alpha/\lambda$; Ordnung $n$ fehlt, wenn $n = m\cdot g/d$ ganzzahlig |
Gitter: scharfe Maxima und Spektren
| Gitterkonstante | $g = \dfrac{1\,\mathrm{mm}}{Z}$ | $Z$ = Striche pro mm; 600 Striche/mm: $g = 10^{-3}\,\mathrm{m}/600$, also $1{,}67\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$ |
| Maxima Gitter | $g\sin\alpha_n = n\lambda$ | $n = 0, 1, 2, \dots$; benachbarte Spalte haben Gangunterschied $n\lambda$ → alle $N$ verstärken sich |
| Winkel exakt | $\sin\alpha_n = \dfrac{x_n}{\sqrt{x_n^2+a^2}}$ | beim Gitter Pflicht – keine Kleinwinkelnäherung ($\alpha$ oft $\gt 10^\circ$) |
| Wellenlänge aus Messung | $\lambda = \dfrac{g\sin\alpha_n}{n}$ | Winkel direkt messen oder exakt aus $x_n$, $a$; mehrere Ordnungen mitteln |
| Höchste Ordnung | $n_{\max} = \left\lfloor \dfrac{g}{\lambda}\right\rfloor$ | aus $\sin\alpha \le 1$; insgesamt $2n_{\max}+1$ Maxima |
| Erstes Minimum neben Maximum | $g\sin\alpha = n\lambda \pm \dfrac{\lambda}{N}$ | Phasendifferenz $2\pi/N$ zwischen Nachbarn → Zeigerpolygon geschlossen; Breite $\propto 1/N$ |
| Intensität im Maximum | $I_{\max} = N^2\cdot I_1$ | Amplituden addieren sich ($N\hat y$), Intensität $\propto$ Amplitude$^2$ |
| Intensitätsverlauf (kennen) | $I(\alpha) = I_1\left(\dfrac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)}\right)^2$ | $\varphi = 2\pi g\sin\alpha/\lambda$; $N-1$ Minima und $N-2$ Nebenmaxima zwischen zwei Hauptmaxima |
| Auflösungsvermögen (Ausblick) | $\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda} = n\cdot N$ | Na-D-Doppellinie ($\Delta\lambda = 0{,}6\,\mathrm{nm}$) braucht $nN \approx 1000$ |
Stehende Wellen: Saite, Rohr, Resonanz
| Laufende Welle | $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$ | läuft in $+x$-Richtung mit $c = \omega/k = \lambda f$; $k = 2\pi/\lambda$, $\omega = 2\pi/T$ |
| Stehende Welle, loses Ende | $y(x,t) = 2\hat y\cos(kx)\sin(\omega t)$ | Regelheft-Form, Ursprung $x = 0$ am losen Ende; ortsabhängige Amplitude $2\hat y|\cos(kx)|$, kein Transport von Phase oder Energie |
| Stehende Welle, festes Ende | $y(x,t) = -2\hat y\sin(kx)\cos(\omega t)$ | Ursprung $x = 0$ am festen Ende; Phasensprung $\pi$ bei der Reflexion; Knoten bei $x = 0$ |
| Knoten und Bäuche | $x_{\text{K}} = (2m+1)\tfrac\lambda4,\; x_{\text{B}} = m\tfrac\lambda2$ | loses Ende bei $x = 0$; Knotenabstand $\lambda/2$, Knoten–Bauch $\lambda/4$; Messung: Knotenabstand → $\lambda$ |
| Saite fest–fest, Rohr offen–offen | $L = n\dfrac{\lambda_n}{2}$ | $f_n = n\,c/(2L)$; $n = 1$ Grundschwingung, alle Oberschwingungen $2f_1$, $3f_1$, … |
| Rohr geschlossen–offen | $L = (2n-1)\dfrac{\lambda_n}{4}$ | $f_n = (2n-1)\,c/(4L)$; Knoten am geschlossenen, Bauch am offenen Ende; nur ungerade Vielfache $f_1$, $3f_1$, $5f_1$ |
| Resonanzrohr (Regelheft) | $\dfrac\lambda4 = d_1,\qquad \lambda = 2(d_2 - d_1)$ | $d_1 = 0{,}19\,\mathrm{m}$ → $\lambda = 0{,}76\,\mathrm{m}$, mit $f = 440\,\mathrm{Hz}$: $c = 334\,\mathrm{m/s}$; Differenz zweier Resonanzen eliminiert die Mündungskorrektur |
| Schallgeschwindigkeit | $c = \lambda\cdot f$ | Luft $20\,^\circ\mathrm{C}$: $343\,\mathrm{m/s}$; Vergleich über relative Abweichung |
| Saite (Ausblick) | $c = \sqrt{F/\mu}$ | $F$ Spannkraft, $\mu$ Masse pro Länge; Stimmen = $F$ ändern, nicht herleiten |
Elektrisches Feld (Q1.1)
Elektrisches Feld & Kondensator
| Feldstärke (Definition) | $E = \dfrac{F}{q}$ | Kraft pro Probeladung; $[E] = \mathrm{N/C} = \mathrm{V/m}$; Richtung = Kraft auf positive Ladung |
| Kraft im Feld | $F = q\cdot E$ | gilt in jedem Feld; für $q \lt 0$ (Elektron) zeigt $F$ gegen $E$ |
| Spannung | $U = \dfrac{W}{q}$ | Arbeit pro Ladung zwischen zwei Punkten; $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J/C}$ |
| Homogenes Feld | $E = \dfrac{U}{d}$ | nur im Plattenkondensator (Randfeld vernachlässigt); aus $qEd = qU$ |
| Energie einer Ladung | $W = q\cdot U$ | unabhängig von $d$! $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ |
| Kapazität | $C = \dfrac{Q}{U}$ | Ladung pro Spannung; $[C] = \mathrm{C/V} = \mathrm{F}$; $Q \propto U$ |
| Plattenkondensator | $C = \varepsilon_0\varepsilon_r\,\dfrac{A}{d}$ | $\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\mathrm{As/(Vm)}$; $\varepsilon_r$ des Dielektrikums (Luft $\approx 1$) |
| Feld und Ladung | $E = \dfrac{Q}{\varepsilon_0 A} = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$ | $\sigma = Q/A$ Flächenladungsdichte; bei getrennter Quelle bleibt $E$ fest |
| Energie des Kondensators | $W = \tfrac12 CU^2 = \tfrac12 QU = \dfrac{Q^2}{2C}$ | Fläche unter der $Q$-$U$-Geraden; $\tfrac12 CU^2$ bei festem $U$, $Q^2/(2C)$ bei festem $Q$ |
Kondensator laden und entladen (RC-Kreis)
| DGL der Entladung | $\dot Q = -\dfrac{1}{RC}\,Q$ | aus $U_C = RI$, $Q = CU_C$, $I = -\dot Q$; Abnahmerate $\propto$ Bestand |
| Entladung | $Q(t) = Q_0\,e^{-t/(RC)}$ | Regelheft; ebenso $U_C = U_0 e^{-t/\tau}$ und $I = I_0 e^{-t/\tau}$ |
| Zeitkonstante | $\tau = R\cdot C$ | $\Omega\cdot\mathrm{F} = \mathrm{s}$; nach $\tau$ noch $37\,\%$, nach $5\tau$ unter $1\,\%$; Tangente im Ursprung schneidet $t$-Achse bei $\tau$ |
| Halbwertszeit | $T_{1/2} = \tau\ln 2 \approx 0{,}693\,\tau$ | aus $e^{-T_{1/2}/\tau} = \tfrac12$; unabhängig vom Startwert |
| Ladung (Aufladen) | $U_C(t) = U_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ | aus $U_0 = RI + Q/C$ mit $I = +\dot Q$; nach $\tau$ $63\,\%$ erreicht |
| Ladestrom | $I(t) = \dfrac{U_0}{R}\,e^{-t/\tau}$ | gleiche Form wie beim Entladen; $t=0$: Kurzschluss ($I_0 = U_0/R$), $t\to\infty$: Unterbrechung |
| Kettenregel | $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,e^{-t/\tau} = -\dfrac1\tau\,e^{-t/\tau}$ | innere Ableitung $-1/\tau$ nicht vergessen – ohne sie kein Nachweis der Lösung |
| Linearisierung | $\ln U_C = \ln U_0 - \dfrac{t}{\tau}$ | $\ln U_C$ gegen $t$: Gerade mit Steigung $-1/\tau$; $C = \tau/R$ |
| Energiebilanz Laden | $W_{\text{Quelle}} = CU_0^2 = \underbrace{\tfrac12 CU_0^2}_{W_C} + \underbrace{\tfrac12 CU_0^2}_{W_R}$ | Hälfte wird im Widerstand zu Wärme – unabhängig von $R$ |
Bewegung geladener Teilchen im elektrischen Feld
| Energiesatz Längsfeld | $q\,U = \tfrac12\,m\,v^2$ | Feldarbeit wird Bewegungsenergie; Start aus der Ruhe; unabhängig von $d$ |
| Endgeschwindigkeit | $v = \sqrt{\dfrac{2\,q\,U}{m}}$ | Elektron: $U = 1\,\mathrm{kV} \Rightarrow 1{,}88\cdot 10^7\,\mathrm{m/s}$; klassisch nur bis $\approx 0{,}1\,c$ |
| Elektronenvolt | $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ | Energie nach $U$ in Volt direkt in eV ablesen; für $v$ in J umrechnen |
| Querbeschleunigung | $a = \dfrac{q\,E}{m} = \dfrac{q\,U_A}{m\,d}$ | konstant, senkrecht zu $v_0$; Gewichtskraft vernachlässigbar |
| Bahngleichung Querfeld | $y(x) = \dfrac{q\,U_A}{2\,m\,d\,v_0^2}\,x^2$ | Parabel, Scheitel am Eintritt; aus $x = v_0 t$, $y = \tfrac12 at^2$ |
| Austrittswinkel | $\tan\varphi = \dfrac{v_y}{v_0} = \dfrac{q\,U_A\,l}{m\,d\,v_0^2}$ | danach geradlinig; Rückverlängerung schneidet Achse bei $l/2$ |
| Ablenkung mit $U_B$ | $y(l) = \dfrac{U_A\,l^2}{4\,d\,U_B}$ | unabhängig von $q$ und $m$; $\propto U_A$ (Oszilloskop), $\propto 1/U_B$ |
| Schirmablenkung | $Y = y(l) + s\tan\varphi = \tan\varphi\left(\tfrac l2 + s\right)$ | $s$ = Abstand Plattenende–Schirm |
| Millikan (Schweben) | $q\,\dfrac{U}{d} = m\,g\ \Rightarrow\ q = \dfrac{m\,g\,d}{U}$ | Kräftegleichgewicht; $m = \rho\cdot\tfrac43\pi r^3$; $q = n\cdot e$ (Quantelung) |
Magnetisches Feld (Q1.2)
Magnetfeld, Lorentzkraft & Kreisbahn (e/m-Bestimmung)
| Kraft auf Leiter | $F = I\cdot l\cdot B$ | $l\perp B$; definiert $B$; Einheit $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N/(A\,m)} = 1\,\mathrm{Vs/m^2}$ |
| Lange Spule | $B = \mu_0\,\dfrac{N\,I}{l}$ | homogen im Inneren; $\mu_0 = 1{,}257\cdot 10^{-6}\,\mathrm{Vs/(Am)}$ |
| Helmholtz-Spulenpaar | $B = \mu_0\,\dfrac{8}{\sqrt{125}}\,\dfrac{N\,I}{R}$ | wird gegeben; $N$ je Spule, $R$ Radius = Abstand; Faktor $0{,}7155$ |
| Lorentzkraft | $F_L = q\,v\,B$ | für $v\perp B$; allgemein $F_L = qvB\sin\varphi$; Richtung: Drei-Finger-Regel |
| Beschleunigung | $e\,U = \tfrac12\,m\,v^2$ | Energieerhaltung; $v = \sqrt{2eU/m}$; unabhängig vom Elektrodenabstand |
| Kreisbahnradius | $r = \dfrac{m\,v}{q\,B}$ | aus $F_L = F_z$; $r\propto v$, $r\propto 1/B$ |
| Umlaufdauer | $T = \dfrac{2\pi\,m}{q\,B}$ | unabhängig von $v$ und $r$ – Zyklotron-Prinzip |
| Spezifische Ladung | $\dfrac{e}{m} = \dfrac{2U}{B^2 r^2}$ | Fadenstrahlrohr; Literaturwert $1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$ |
| Radius aus U | $r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2\,m\,U}{q}}$ | beide Gleichungen kombiniert; $r\propto\sqrt{U}$, $r\propto\sqrt{m/q}$ (Massenspektrometer) |
Hall-Effekt & Kräftegleichgewicht (Hallsonde, Wien-Filter)
| Lorentzkraft | $F_L = q\,v\,B$ | $v\perp B$; lenkt die Ladungsträger quer zum Strom ab |
| Kräftegleichgewicht | $q\,E_H = q\,v\,B$ | stationärer Zustand; $E_H = vB$ – Kern des Hall-Effekts und des Wien-Filters |
| Hallspannung (1) | $U_H = v\,B\,b$ | $b$ Breite zwischen den Hall-Kontakten; aus $U = E\cdot b$ im homogenen Feld |
| Stromgleichung | $I = n\,q\,v\,A = n\,q\,v\,b\,d$ | $n$ Ladungsträgerdichte in $\mathrm{m^{-3}}$, $A = bd$ Querschnitt; liefert $v$ |
| Hallspannung (2) | $U_H = \dfrac{I\,B}{n\,q\,d}$ | $d$ Dicke in Feldrichtung; $b$ kürzt sich; Regelheft-Form |
| Hall-Konstante | $R_H = \dfrac{1}{n\,q}$ | Materialkonstante; $U_H = R_H\,IB/d$; Vorzeichen = Ladungsträgerart |
| Ladungsträgerdichte | $n = \dfrac{I\,B}{q\,d\,U_H}$ | typische Abituraufgabe: $U_H$ messen, $n$ bestimmen; Kupfer $8{,}5\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ |
| Hallsonde | $U_H = k\cdot B,\quad k = \dfrac{I}{n\,q\,d}$ | bei konstantem $I$: $U_H\propto B$; $k$ durch Kalibrierung in bekanntem Feld |
| Wien-Filter | $v = \dfrac{E}{B}$ | gekreuzte Felder; nur diese Geschwindigkeit fliegt geradeaus; unabhängig von $q$ und $m$ |
Mechanik & Schwingungen (Q2.1)
Kreisbewegung & Zentripetalkraft
| Winkelgeschwindigkeit | $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ | Winkel pro Zeit im Bogenmaß; $\mathrm{s^{-1}}$; $f = 1/T$ |
| Bahngeschwindigkeit | $v = \dfrac{2\pi r}{T} = \omega r$ | tangential; Umfang pro Umlaufdauer |
| Zentripetalbeschleunigung | $a_z = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$ | zum Mittelpunkt; ändert nur die Richtung von $\vec v$ |
| Zentripetalkraft | $F_z = \dfrac{m v^2}{r} = m\,\omega^2 r$ | Betrag der resultierenden Kraft zum Mittelpunkt – keine zusätzliche Kraft |
| Kurvenfahrt | $\dfrac{m v^2}{r} \le \mu\, m g$ | Haftreibung liefert $F_z$; $v_{max} = \sqrt{\mu g r}$, unabhängig von $m$ |
| Kettenkarussell | $\tan\varphi = \dfrac{v^2}{r g}$ | aus $F_S\sin\varphi = mv^2/r$ und $F_S\cos\varphi = mg$; $\varphi$ unabhängig von $m$ |
| Looping oben | $F_N + m g = \dfrac{m v^2}{r}$ | $F_N\ge 0$ ⇒ $v_{min} = \sqrt{gr}$; unten $F_N - mg = mv^2/r$ |
| Satellit | $G\dfrac{M m}{r^2} = \dfrac{m v^2}{r}\ \Rightarrow\ v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ | $r$ vom Erdmittelpunkt; $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}r^3$ (3. Kepler) |
| Projektion | $y(t) = r\sin(\omega t),\quad \ddot y = -\omega^2 y$ | Kreisbewegung projiziert = harmonische Schwingung; Zeigerdiagramm |
Harmonische Schwingungen: Feder- und Fadenpendel, DGL, Energie, Resonanz
| Lineares Kraftgesetz | $F = -D\,y$ | Kennzeichen der harmonischen Schwingung; rücktreibend, $\propto$ Auslenkung |
| Differentialgleichung | $\ddot y = -\omega^2\,y,\quad \omega^2 = \dfrac{D}{m}$ | aus $m\ddot y = -Dy$; Lösung durch Einsetzen prüfen (Kettenregel) |
| Lösung | $y(t) = \hat y\,\sin(\omega t + \varphi_0)$ | $\hat y$, $\varphi_0$ aus Anfangsbedingungen; $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$ |
| Geschwindigkeit, Beschleunigung | $v = \hat y\omega\cos(\omega t),\quad a = -\hat y\omega^2\sin(\omega t)$ | $v_{max} = \hat y\omega$ (Ruhelage), $a_{max} = \hat y\omega^2$ (Umkehrpunkt) |
| Federpendel | $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}$ | unabhängig von $\hat y$ und $g$; Isochronie |
| Fadenpendel | $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ | nur für kleine Winkel ($\sin\varphi\approx\varphi$); unabhängig von $m$; $D_{\text{eff}} = mg/l$ |
| Energie | $E = \tfrac12 D\hat y^2 = \tfrac12 m v_{max}^2$ | $E\propto\hat y^2$; $E_{Sp}\leftrightarrow E_{kin}$ mit doppelter Frequenz |
| Linearisierung | $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$ | $T^2$ gegen $l$ auftragen, Steigung $4\pi^2/g$ ⇒ $g = 4\pi^2/m_G$ |
| Dämpfung | $\hat y(t) = \hat y_0\,e^{-\delta t}$ | Reibung $\propto v$: Amplitude fällt exponentiell, $T$ nahezu konstant; $E\propto e^{-2\delta t}$ |