Huygens'sches Prinzip & Herleitung des Brechungsgesetzes

• 4 Pa) $\sin\beta = \sin 40{,}0^\circ/1{,}52 = 0{,}423$, $\beta = 25{,}0^\circ$; $c_2 = c_0/n_2 = 1{,}97\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}$; $\lambda_2 = 589\,\mathrm{nm}/1{,}52 = 388\,\mathrm{nm}$; $f = c_0/\lambda_1 = 5{,}09\cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ (gleich in beiden Medien), mit Einheiten
• 2 Pb) Oszillatoren hinter der Grenzfläche werden von denen davor angeregt $\Rightarrow$ gleiche Frequenz; $c$ ist Eigenschaft des Mediums $\Rightarrow$ $\lambda = c/f$ ändert sich im Verhältnis der Geschwindigkeiten
• 3 Pc) Rückseite: Einfallswinkel im Glas ist wieder $\beta = 25{,}0^\circ$ (planparallel); Grenzwinkel $\sin\alpha_g = n_1/n_2 = 1/1{,}52$, $\alpha_g = 41{,}1^\circ$; $25{,}0^\circ \lt 41{,}1^\circ$ $\Rightarrow$ keine Totalreflexion, Licht tritt unter $40{,}0^\circ$ parallel versetzt aus

a) Brechungsgesetz $n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta$: $$\sin\beta = \frac{n_1}{n_2}\sin\alpha = \frac{1{,}00}{1{,}52}\cdot\sin 40{,}0^\circ = \frac{0{,}643}{1{,}52} = 0{,}423\quad\Rightarrow\quad \beta = 25{,}0^\circ .$$ Geschwindigkeit im Glas: $c_2 = \dfrac{c_0}{n_2} = \dfrac{3{,}00\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}}{1{,}52} = 1{,}97\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}$. Wellenlänge: $\lambda_2 = \dfrac{\lambda_1}{n_2} = \dfrac{589\,\mathrm{nm}}{1{,}52} = 388\,\mathrm{nm}$. Frequenz: $f = \dfrac{c_0}{\lambda_1} = \dfrac{3{,}00\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}}{5{,}89\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5{,}09\cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ – Kontrolle im Glas: $\dfrac{c_2}{\lambda_2} = \dfrac{1{,}97\cdot 10^8}{3{,}88\cdot 10^{-7}}\,\mathrm{Hz} = 5{,}08\cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ (Rundung), also gleich. Das Licht wird zum Lot hin auf $25{,}0^\circ$ gebrochen, läuft im Glas mit $1{,}97\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}$, hat dort die Wellenlänge $388\,\mathrm{nm}$ und unverändert die Frequenz $5{,}09\cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}$.

b) Die Welle ist die Ausbreitung einer Schwingung über gekoppelte Oszillatoren. Die ersten Oszillatoren im Glas werden von den letzten in der Luft angetrieben und schwingen deshalb im selben Takt – die Frequenz ist vom Erreger vorgegeben und kann sich an einer Grenzfläche nicht ändern (sonst müssten sich an der Grenze Wellenberge ansammeln oder verschwinden). Die Ausbreitungsgeschwindigkeit dagegen ist eine Eigenschaft des Mediums: Im Glas ist sie um den Faktor $1/n$ kleiner. Weil in einer Periode $T$ die Welle nur noch die Strecke $c_2 T$ zurücklegt, ist die Wellenlänge $\lambda_2 = c_2/f$ im selben Verhältnis kleiner: $\lambda_2/\lambda_1 = c_2/c_1 = 1/1{,}52$.

c) Bei einer planparallelen Platte sind Vorder- und Rückseite parallel, also trifft das Licht innen unter dem Winkel $\beta = 25{,}0^\circ$ zum Lot auf die Rückseite. Totalreflexion ist beim Übergang Glas → Luft grundsätzlich möglich (ins schnellere Medium). Grenzwinkel: $\sin\alpha_g = \dfrac{n_{\text{Luft}}}{n_{\text{Glas}}} = \dfrac{1{,}00}{1{,}52} = 0{,}658$, $\alpha_g = 41{,}1^\circ$. Da $25{,}0^\circ \lt 41{,}1^\circ$, tritt keine Totalreflexion auf: Das Licht wird vom Lot weg gebrochen, $\sin\alpha' = 1{,}52\cdot\sin 25{,}0^\circ = 0{,}643$, $\alpha' = 40{,}0^\circ$ – es verlässt die Platte parallel zur ursprünglichen Richtung, nur seitlich versetzt. Totalreflexion an der Rückseite einer planparallelen Platte ist bei Einfall aus Luft nie möglich, weil $\beta$ höchstens $\alpha_g$ erreicht (für $\alpha \to 90^\circ$).

• 2 Pa) Huygens: jeder Punkt der Front Ausgangspunkt einer Elementarwelle ($r = c\Delta t$), Einhüllende = neue Front; Skizze mit Front $AB$, Grenzfläche, $B'$, Kreis um $A$, Tangente, $\alpha$, $\beta$
• 3 Pa) $\overline{BB'} = c_1\Delta t$, $r = c_2\Delta t$ in derselben Zeit; beide Dreiecke rechtwinklig mit gemeinsamer Hypotenuse $\overline{AB'}$; $\sin\alpha = c_1\Delta t/\overline{AB'}$, $\sin\beta = c_2\Delta t/\overline{AB'}$, Division, Schlusssatz
• 2 Pb) $\lambda_1 = c_1/f = 2{,}50\,\mathrm{cm}$, $\lambda_2 = 1{,}75\,\mathrm{cm}$; $\sin\beta = \sin 45{,}0^\circ\cdot 17{,}5/25{,}0 = 0{,}495$, $\beta = 29{,}7^\circ$
• 3 Pc) flach → tief: $\sin\alpha_g = c_{\text{flach}}/c_{\text{tief}} = 0{,}700$, $\alpha_g = 44{,}4^\circ$; Konstruktion: für $\alpha \gt \alpha_g$ ist $c_2\Delta t \gt \overline{AB'}$, der Kreis um $A$ reicht über $B'$ hinaus, keine Tangente von $B'$ möglich $\Rightarrow$ keine Front im Medium 2, vollständige Reflexion

a) Huygens'sches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle, die sich mit der Geschwindigkeit des Mediums ausbreitet; die Einhüllende aller Elementarwellen nach der Zeit $\Delta t$ ist die neue Wellenfront. Skizze: Grenzfläche waagerecht; oben tiefes Wasser ($c_1$), unten flaches ($c_2$). Wellenfront $AB$ schräg, $A$ auf der Grenzfläche, Winkel zwischen $AB$ und Grenzfläche gleich $\alpha$ (Winkel mit paarweise senkrechten Schenkeln zum Winkel Strahl–Lot). Strahl von $B$ senkrecht zur Front bis $B'$ auf der Grenzfläche. Kreis um $A$ mit Radius $c_2\Delta t$ ins Medium 2; Tangente von $B'$ an den Kreis, Berührpunkt $A'$; die Tangente $A'B'$ ist die neue Front, der Winkel zwischen ihr und der Grenzfläche ist $\beta$. Herleitung: $B$ braucht bis $B'$ die Zeit $\Delta t$, also $\overline{BB'} = c_1\Delta t$. In derselben Zeit ist die Elementarwelle von $A$ im Medium 2 bis zum Radius $\overline{AA'} = c_2\Delta t$ gelaufen. Das Dreieck $ABB'$ ist rechtwinklig bei $B$ (Front senkrecht zum Strahl), das Dreieck $AA'B'$ rechtwinklig bei $A'$ (Tangente senkrecht zum Radius). Beide haben die Hypotenuse $\overline{AB'}$. Darin ist $c_1\Delta t$ die Gegenkathete zu $\alpha$ und $c_2\Delta t$ die Gegenkathete zu $\beta$: $$\sin\alpha = \frac{c_1\Delta t}{\overline{AB'}},\qquad \sin\beta = \frac{c_2\Delta t}{\overline{AB'}}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{c_1}{c_2}.$$ Schlusssatz: Da beide Strecken in derselben Zeit entstehen und dieselbe Hypotenuse haben, ist das Verhältnis der Sinuswerte gleich dem Verhältnis der Geschwindigkeiten, was zu zeigen war.

b) $\lambda_1 = \dfrac{c_1}{f} = \dfrac{25{,}0\,\mathrm{cm/s}}{10{,}0\,\mathrm{Hz}} = 2{,}50\,\mathrm{cm}$, $\lambda_2 = \dfrac{17{,}5\,\mathrm{cm/s}}{10{,}0\,\mathrm{Hz}} = 1{,}75\,\mathrm{cm}$ (Frequenz bleibt). Brechungswinkel: $\sin\beta = \sin\alpha\cdot\dfrac{c_2}{c_1} = 0{,}707\cdot\dfrac{17{,}5}{25{,}0} = 0{,}707\cdot 0{,}700 = 0{,}495$, also $\beta = 29{,}7^\circ$. Die Welle wird zum Lot hin gebrochen, ihre Wellenlänge sinkt von $2{,}50$ auf $1{,}75\,\mathrm{cm}$.

c) Flach → tief heißt $c_1 = 17{,}5\,\mathrm{cm/s}$, $c_2 = 25{,}0\,\mathrm{cm/s}$, also Brechung vom Lot weg. Grenzwinkel: $\sin\alpha_g = \dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{17{,}5}{25{,}0} = 0{,}700$, $\alpha_g = 44{,}4^\circ$. Konstruktion: Im Grenzfall ist $c_2\Delta t = \overline{AB'}$ – der Kreis um $A$ geht genau durch $B'$, die neue Front liegt in der Grenzfläche ($\beta = 90^\circ$). Für $\alpha \gt \alpha_g$ wird $\sin\alpha = c_1\Delta t/\overline{AB'}$ größer, also $\overline{AB'}$ kleiner als $c_2\Delta t$: Der Kreis um $A$ reicht über $B'$ hinaus, $B'$ liegt innerhalb des Kreises, und von einem Punkt innerhalb eines Kreises gibt es keine Tangente. Es existiert keine Einhüllende im Medium 2, also keine gebrochene Welle – die gesamte Welle wird reflektiert (Totalreflexion). Rechnerisch: $\sin\beta = \sin\alpha/0{,}700 \gt 1$ hat keine Lösung.

• 4 Pa) Linearisierung: $\sin\alpha$ gegen $\sin\beta$ auftragen (Tabelle: $0{,}342/0{,}242$; $0{,}500/0{,}358$; $0{,}643/0{,}454$; $0{,}766/0{,}545$; $0{,}866/0{,}616$), Ursprungsgerade mit Steigung $m = c_1/c_2 \approx 1{,}41$ (Quotienten $1{,}41$; $1{,}40$; $1{,}42$; $1{,}41$; $1{,}41$); $c_2 = c_1/m = 17{,}7\,\mathrm{cm/s}$ mit Antwortsatz
• 2 Pb) $\beta \in [37^\circ; 39^\circ]$ $\Rightarrow$ $m \in [1{,}38; 1{,}44]$ $\Rightarrow$ $c_2 \in [17{,}4; 18{,}1]\,\mathrm{cm/s}$, also $\pm 0{,}4\,\mathrm{cm/s}$ ($\pm 2\,\%$); bei $20^\circ$ wäre es $m \in [1{,}32; 1{,}52]$, $\pm 7\,\%$ – gleicher Ablesefehler, aber kleinerer Winkel $\Rightarrow$ größere relative Unsicherheit von $\sin\beta$
• 3 Pc) Luft → Wasser ist Übergang ins schnellere Medium $\Rightarrow$ Totalreflexion möglich; $\sin\alpha_g = 343/1480 = 0{,}232$, $\alpha_g = 13{,}4^\circ$; $10^\circ \lt 13{,}4^\circ$ $\Rightarrow$ Schall tritt ein ($\beta = 48{,}5^\circ$), Schwimmer hört ihn (leise, da der Großteil reflektiert wird); bei $\alpha \gt 13{,}4^\circ$ nichts

a) Nach dem Brechungsgesetz ist $\sin\alpha = \dfrac{c_1}{c_2}\cdot\sin\beta$. Trägt man $\sin\alpha$ gegen $\sin\beta$ auf, müssen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden mit der Steigung $m = c_1/c_2$ liegen – das ist die Linearisierung. Tabelle:

Die Quotienten sind im Rahmen der Ablesegenauigkeit konstant – das bestätigt das Gesetz. Steigung der Ausgleichsgeraden (Mittel der Quotienten bzw. Gerade durch den Ursprung): $m = 1{,}41$. Damit $$c_2 = \frac{c_1}{m} = \frac{25{,}0\,\mathrm{cm/s}}{1{,}41} = 17{,}7\,\mathrm{cm/s}.$$ Im flachen Wasser breitet sich die Welle mit etwa $17{,}7\,\mathrm{cm/s}$ aus – langsamer als im tiefen, wie erwartet (Brechung zum Lot hin).

b) Beim Messwert $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 38^\circ \pm 1^\circ$: $m_{\min} = \dfrac{\sin 60^\circ}{\sin 39^\circ} = \dfrac{0{,}866}{0{,}629} = 1{,}38$, $m_{\max} = \dfrac{0{,}866}{\sin 37^\circ} = \dfrac{0{,}866}{0{,}602} = 1{,}44$ (die Unsicherheit von $\alpha$ wirkt ähnlich, wird hier aber nach Aufgabenstellung nicht betrachtet). Daraus $c_2 \in \left[\dfrac{25{,}0}{1{,}44};\ \dfrac{25{,}0}{1{,}38}\right]\mathrm{cm/s} = [17{,}4;\ 18{,}1]\,\mathrm{cm/s}$, also $c_2 = (17{,}8 \pm 0{,}4)\,\mathrm{cm/s}$, etwa $\pm 2\,\%$. Zum Vergleich bei $\alpha = 20^\circ$, $\beta = 14^\circ \pm 1^\circ$: $m \in \left[\dfrac{0{,}342}{\sin 15^\circ};\ \dfrac{0{,}342}{\sin 13^\circ}\right] = [1{,}32;\ 1{,}52]$, also etwa $\pm 7\,\%$. Grund: Derselbe absolute Fehler $\pm 1^\circ$ ist bei kleinem $\beta$ ein großer relativer Fehler von $\sin\beta$ ($1^\circ$ von $14^\circ$ sind $7\,\%$, von $38^\circ$ nur $2{,}6\,\%$). Große Winkel liefern deshalb die genaueren Werte – und die Ausgleichsgerade nutzt alle Messwerte gleichzeitig.

c) Schall läuft von Luft ($343\,\mathrm{m/s}$) ins Wasser ($1480\,\mathrm{m/s}$), also ins schnellere Medium – Brechung vom Lot weg, Totalreflexion ist möglich. Grenzwinkel: $\sin\alpha_g = \dfrac{c_{\text{Luft}}}{c_{\text{Wasser}}} = \dfrac{343}{1480} = 0{,}232$, $\alpha_g = 13{,}4^\circ$. Bei $\alpha = 10^\circ$ gilt $\sin\beta = \dfrac{1480}{343}\cdot\sin 10^\circ = 4{,}31\cdot 0{,}174 = 0{,}749$, $\beta = 48{,}5^\circ$ – der Schall tritt ins Wasser ein, der Schwimmer kann den Zuruf hören, wenn auch leise, da an der Grenzfläche Luft–Wasser ohnehin der größte Teil der Schallenergie reflektiert wird. Kommt der Ruf flacher als $13{,}4^\circ$ zum Lot, also unter mehr als $13{,}4^\circ$ Einfallswinkel, wird er total reflektiert und erreicht den Schwimmer gar nicht. Unter Wasser hört man daher fast nur, was nahezu senkrecht von oben kommt.