Hall-Effekt & Kräftegleichgewicht (Hallsonde, Wien-Filter)
Elektrische Kraft gegen Lorentzkraft – ein Gleichgewicht, das Magnetfelder messbar macht und Geschwindigkeiten sortiert.
Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen
Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.
Was bedeutet Stromstärke mikroskopisch – und was ist die Driftgeschwindigkeit?
Spannung und Feldstärke im homogenen Feld – wie hängen sie zusammen?
Lorentzkraft: Formel und Richtung für Elektronen?
Was heißt Kräftegleichgewicht – und was folgt daraus für die Bewegung?
Einheiten und Zehnerpotenzen: 0,20 mm, 10 mm, 5,4 µV, 8,5·10²⁸ m⁻³ – alles in SI?
Das Phänomen: Eine Spannung quer zum Strom
Ein flaches Leiterplättchen (Länge $l$, Breite $b$, Dicke $d$) wird in Längsrichtung vom Strom $I$ durchflossen. Legt man ein Magnetfeld $B$ senkrecht zur Plättchenfläche an, misst man zwischen den beiden Längskanten plötzlich eine kleine Spannung – die Hallspannung $U_H$ (Edwin Hall, 1879). Sie verschwindet, sobald das Feld abgeschaltet wird, wechselt ihr Vorzeichen mit der Feldrichtung und ist bei Metallen winzig (Mikrovolt), bei Halbleitern bequem messbar (Millivolt bis Volt).
Die Geometrie musst du sauber auseinanderhalten, sonst landet die falsche Größe in der Formel:
- $l$ – Länge in Stromrichtung,
- $b$ – Breite quer zum Strom, in der Plättchenebene: zwischen den Kanten im Abstand $b$ wird $U_H$ abgegriffen,
- $d$ – Dicke in Richtung des Magnetfelds. Sie taucht in der Endformel auf – je dünner das Plättchen, desto größer $U_H$.
Erklärung in drei Sätzen (Klausurform): Phänomen: Quer zum Strom entsteht eine Spannung. Ursache: Die Lorentzkraft lenkt die driftenden Ladungsträger zu einer Kante ab, dort sammelt sich Ladung, die gegenüberliegende Kante bleibt entgegengesetzt geladen. Bedingung: Die Ladungstrennung wächst nur so lange, bis das entstehende Querfeld $E_H$ die Lorentzkraft gerade ausgleicht: $qE_H = qvB$.
Das zentrale Konzept: Kräftegleichgewicht
Schau dir an, was in den ersten Nanosekunden nach dem Einschalten passiert. Die Elektronen driften mit $v$ durch das Plättchen. Die Lorentzkraft $F_L = evB$ schiebt sie seitlich – sagen wir zur unteren Kante. Dort sammeln sich Elektronen, die obere Kante bleibt positiv (es fehlen Elektronen). Zwischen den Kanten baut sich ein elektrisches Querfeld $E_H$ auf, das auf jedes weitere Elektron die Kraft $F_{el} = eE_H$ nach oben ausübt – entgegen der Lorentzkraft.
Je mehr Ladung sich sammelt, desto stärker $E_H$. Der Prozess stoppt sich selbst: Sobald
$$F_{el} = F_L\qquad\Leftrightarrow\qquad q\,E_H = q\,v\,B\qquad\Leftrightarrow\qquad E_H = v\,B$$ist, wirkt auf die nachrückenden Elektronen netto keine Querkraft mehr – sie laufen wieder geradeaus, die Ladungsverteilung an den Kanten bleibt stationär. Das Querfeld ist homogen über die Breite $b$, also gilt wie beim Plattenkondensator $U_H = E_H\cdot b$:
$$U_H = v\cdot B\cdot b .$$Die Driftgeschwindigkeit ist nicht direkt messbar, aber über die Stromstärke zugänglich: $I = n\,q\,v\,A$ mit dem Querschnitt $A = b\cdot d$. Auflösen nach $v = \dfrac{I}{nqbd}$ und einsetzen (jeder Schritt in der Herleitung unten):
$$U_H = \frac{I}{n\,q\,b\,d}\cdot B\cdot b = \frac{I\cdot B}{n\cdot q\cdot d}.$$Die Breite $b$ kürzt sich heraus: Ein breiteres Plättchen hat zwar einen längeren Weg für die Spannung, aber bei gleichem Strom auch eine kleinere Driftgeschwindigkeit. Die Größe $R_H = \dfrac{1}{n\,q}$ heißt Hall-Konstante; sie ist eine Materialeigenschaft, und es gilt $U_H = R_H\,\dfrac{IB}{d}$.
Was die Hallspannung verrät – Vorzeichen, Ladungsträgerdichte, Halbleiter
Vorzeichen: Bewegen sich im Plättchen positive Ladungsträger nach rechts (technische Stromrichtung), zeigt die Lorentzkraft – sagen wir – nach unten; die untere Kante wird positiv. Elektronen, die denselben Strom tragen, laufen nach links; bei ihnen wechselt die Ladung und die Bewegungsrichtung das Vorzeichen, die Lorentzkraft zeigt also ebenfalls nach unten – aber jetzt wird die untere Kante negativ. Das Vorzeichen von $U_H$ verrät deshalb die Art der Ladungsträger: Bei den meisten Metallen und n-Halbleitern sind es Elektronen, bei p-dotierten Halbleitern „Löcher“ (fehlende Elektronen, die sich wie positive Ladungen verhalten). Das war historisch die erste Methode, das zu entscheiden.
Ladungsträgerdichte: Umgestellt liefert die Hall-Formel
$$n = \frac{I\cdot B}{q\cdot d\cdot U_H}$$– eine der wenigen Methoden, $n$ überhaupt zu messen. Für Kupfer ergibt sich etwa $8{,}5\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$, was genau der Dichte der Kupferatome entspricht: Jedes Atom gibt ein Leitungselektron ab.
Warum Halbleiter? $U_H \propto 1/n$. Kupfer hat $n\approx 10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}$, ein dotierter Halbleiter typisch $10^{20}$ bis $10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}$ – das ist ein Faktor $10^7$ bis $10^9$ zugunsten des Halbleiters. Zahlenbeispiel: Kupferstreifen $d = 0{,}20\,\mathrm{mm}$, $I = 10\,\mathrm{A}$, $B = 1{,}5\,\mathrm{T}$: $$U_H = \frac{10\,\mathrm{A}\cdot 1{,}5\,\mathrm{T}}{8{,}5\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}} = 5{,}5\cdot 10^{-6}\,\mathrm{V}$$ – gerade mal $5{,}5\,\mathrm{\mu V}$, in der Größenordnung von Störspannungen. Ein Halbleiterplättchen mit $n = 1{,}0\cdot 10^{21}\,\mathrm{m^{-3}}$, $d = 1{,}0\,\mathrm{mm}$ liefert schon bei $I = 20\,\mathrm{mA}$ und $B = 0{,}50\,\mathrm{T}$ ein $U_H = 62\,\mathrm{mV}$.
Driftgeschwindigkeit nachrechnen: Kupferdraht $A = 1{,}0\,\mathrm{mm^2}$, $I = 10\,\mathrm{A}$: $v = \dfrac{I}{nqA} = \dfrac{10}{8{,}5\cdot 10^{28}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-6}}\,\mathrm{m/s} = 7{,}3\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m/s} \approx 0{,}7\,\mathrm{mm/s}$. Die Elektronen kriechen – und trotzdem reicht $vB$ für eine messbare Spannung, weil $b$ und $B$ makroskopisch sind.
Hallsonde: Magnetfelder messen
Bei konstantem Strom $I$ ist $U_H = \dfrac{I}{nqd}\cdot B = k\cdot B$ – die Hallspannung ist proportional zur Flussdichte. Ein Halbleiterplättchen mit Konstantstromquelle und Spannungsmesser ist deshalb ein Magnetfeldmessgerät: die Hallsonde. Sie misst nur die Feldkomponente senkrecht zur Plättchenfläche, und genau das nutzt man, um Feldrichtungen zu bestimmen – drehen, bis $U_H$ maximal ist.
- Kalibrierung: Die Konstante $k = \dfrac{I}{nqd}$ (in V/T) bestimmt man nicht aus $n$ und $d$ (zu ungenau bekannt), sondern durch Messung in einem bekannten Feld – zum Beispiel in einer langen Spule mit $B = \mu_0 NI/l$. Eine Messreihe $U_H$ gegen $B$ muss eine Ursprungsgerade ergeben; ihre Steigung ist $k$.
- Messung: Unbekanntes Feld $B = U_H/k$. Beispiel: $k = 0{,}125\,\mathrm{V/T}$, gemessen $U_H = 0{,}100\,\mathrm{V}$ ⇒ $B = 0{,}80\,\mathrm{T}$.
- Fehlerquellen: Thermospannungen an den Kontakten (Abhilfe: Messung mit umgepoltem Feld, Mittelwert aus $\tfrac12(U_H^+ - U_H^-)$ – die Thermospannung fällt heraus, weil sie ihr Vorzeichen nicht mit $B$ wechselt); Offsetspannung, wenn die beiden Hall-Kontakte nicht exakt gegenüberliegen (dann liegt schon ohne Feld ein Teil der Längsspannung an); Ausrichtung (nur $B\cos\theta$ wird gemessen); Temperaturabhängigkeit von $n$ im Halbleiter.
Hallsensoren stecken in jedem Smartphone (Kompass), in Drehzahlmessern, Positionssensoren von Elektromotoren, berührungslosen Stromzangen – überall dort, wo man ein Magnetfeld ohne Kontakt messen will.
Dasselbe Gleichgewicht im Vakuum: Wien-Filter
Im Wien-Filter (Geschwindigkeitsfilter) fliegen geladene Teilchen durch ein Gebiet, in dem ein elektrisches Feld $E$ (Plattenkondensator) und ein Magnetfeld $B$ gekreuzt stehen – beide senkrecht zur Flugrichtung und senkrecht zueinander. Die elektrische Kraft $qE$ zieht zur einen Seite, die Lorentzkraft $qvB$ zur anderen. Geradeaus kommt nur, wer das Kräftegleichgewicht erfüllt:
$$q\,E = q\,v\,B\qquad\Rightarrow\qquad v = \frac{E}{B}.$$Das ist dieselbe Gleichung wie beim Hall-Effekt – mit einem entscheidenden Unterschied: Beim Hall-Effekt erzeugt sich das Gleichgewicht selbst (das Querfeld wächst, bis es passt – jede Driftgeschwindigkeit findet ihr $E_H$). Im Wien-Filter sind $E$ und $B$ von außen fest vorgegeben; das Gleichgewicht gilt nur für die eine Geschwindigkeit $v = E/B$. Schnellere Teilchen ($qvB \gt qE$) werden zur Lorentzkraft-Seite abgelenkt, langsamere ($qvB \lt qE$) zur E-Feld-Seite, und eine Blende am Ausgang lässt nur die Geradeausflieger durch. Die Ladung kürzt sich heraus: Der Filter sortiert nur nach Geschwindigkeit, nicht nach Ladung oder Masse.
Zahlenbeispiel: Plattenabstand $1{,}0\,\mathrm{cm}$, $U = 2{,}00\,\mathrm{kV}$ ⇒ $E = 2{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{V/m}$; $B = 0{,}400\,\mathrm{T}$ ⇒ $v = \dfrac{2{,}00\cdot 10^5}{0{,}400}\,\mathrm{m/s} = 5{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{m/s}$.
| Hall-Effekt | Wien-Filter | |
|---|---|---|
| Wo | im Leiter/Halbleiter (Festkörper) | im Vakuum (Teilchenstrahl) |
| Querfeld $E$ | entsteht selbst durch Ladungstrennung | von außen angelegt (Kondensator) |
| Gleichgewicht | stellt sich für jedes $v$ ein: $E_H = vB$ | nur für $v = E/B$ erfüllt |
| Messgröße | $U_H$ ⇒ $B$ oder $n$ | Durchlass ⇒ Teilchen bekannter Geschwindigkeit |
| Typische Anwendung | Hallsonde, Sensorik | Vorstufe im Massenspektrometer: danach im reinen B-Feld $r = mv/(qB)\propto m/q$ |
Im Massenspektrometer ist das die Standardkombination: Wien-Filter macht alle Ionen gleich schnell, anschließend trennt ein Magnetfeld nach $m/q$ – weil bei gleichem $v$ der Radius $r = \dfrac{mv}{qB}$ nur noch von $m/q$ abhängt.
Simulation: Hall-Effekt im Plättchen und Wien-Filter
Draufsicht auf das Plättchen: Elektronen driften von links nach rechts, B steht senkrecht zur Ebene. Nach dem Einschalten von B siehst du im Zeitraffer die Ablenkung, die Ladungstrennung an den Kanten und das Querfeld, bis die Bahnen wieder gerade sind. Im Modus Wien-Filter fliegt ein positives Ion durch gekreuzte Felder – nur mit v = E/B trifft es die Blendenöffnung.
- Setze $B = 0$ und dann $B = 0{,}5\,\mathrm{T}$. Beschreibe die drei Phasen (Ablenkung – Ladungstrennung – Gleichgewicht) mit den Fachbegriffen Lorentzkraft, Querfeld, Kräftegleichgewicht.
- Drehe $B$ ins Negative. Vorhersage: Welche Kante wird negativ? Prüfe – und überlege, was sich ändern würde, wenn die Ladungsträger positiv wären.
- Halbiere die Dicke $d$ bei festem $I$ und $B$. Warum verdoppelt sich $U_H$, obwohl die Driftgeschwindigkeit auch mitspielt? (Tipp: $v = I/(nqbd)$.)
- Wechsle zwischen Kupfer und Halbleiter: Vergleiche $v$ und $U_H$ und erkläre mit $U_H = IB/(nqd)$, warum Hallsonden aus Halbleitern gebaut werden. Dann Modus Wien-Filter: Stelle $v$ auf $E/B$ und beobachte, was bei $\pm 20\,\%$ passiert.
Herleitung: Hallspannung $U_H = \dfrac{I\,B}{n\,q\,d}$
Pflicht-Herleitung – und genau die Stelle, an der „Formel auswendig“ nicht reicht: Der Erwartungshorizont vergibt die Punkte für das Kräftegleichgewicht, für $U = E\cdot b$ und für die Stromgleichung $I = nqvA$ mit Begründung. Skizze: Plättchen in Draufsicht mit $l$, $b$, Stromrichtung, $\vec B$ als $\otimes$, Lorentzkraft auf einen Ladungsträger, $+$/$-$ an den Kanten, Pfeil $\vec E_H$.
- Ladungsträger im Plättchen: Im Leiter (Länge $l$, Breite $b$, Dicke $d$) bewegen sich die Ladungsträger (Ladung $q$, Dichte $n$) mit der Driftgeschwindigkeit $v$ in Längsrichtung. Das Magnetfeld $B$ steht senkrecht zur Plättchenfläche, also senkrecht zu $\vec v$. Auf jeden Ladungsträger wirkt daher die Lorentzkraft, die ihn quer zur Stromrichtung ablenkt (Drei-Finger-Regel).$$ F_L = q\,v\,B $$
- Ladungstrennung: Die abgelenkten Ladungsträger sammeln sich an einer Längskante, die gegenüberliegende Kante bleibt entgegengesetzt geladen. Zwischen den Kanten entsteht ein elektrisches Querfeld $E_H$ (Hall-Feld), das auf die nachfolgenden Ladungsträger eine Kraft entgegen der Lorentzkraft ausübt.$$ F_{el} = q\,E_H $$
- Kräftegleichgewicht: Die Ladungstrennung wächst, bis die elektrische Kraft die Lorentzkraft gerade kompensiert. Ab dann laufen die Ladungsträger wieder geradeaus, der Zustand ist stationär. Die Ladung $q$ kürzt sich heraus.$$ q\,E_H = q\,v\,B\quad\Rightarrow\quad E_H = v\,B $$
- Vom Feld zur Spannung: Das Hall-Feld ist über die Breite $b$ homogen (wie im Plattenkondensator). Für ein homogenes Feld gilt $E = U/b$, also liegt zwischen den Kanten die Spannung $U_H = E_H\cdot b$.$$ U_H = E_H\cdot b = v\,B\,b $$
- Driftgeschwindigkeit durch Stromstärke ausdrücken: In der Zeit $\Delta t$ passieren den Querschnitt $A = b\cdot d$ alle Ladungsträger aus dem Volumen $A\cdot v\,\Delta t$, also die Ladung $\Delta Q = n\,q\,A\,v\,\Delta t$. Mit $I = \Delta Q/\Delta t$ folgt die Stromgleichung, die sich nach $v$ auflösen lässt.$$ I = n\,q\,v\,b\,d\quad\Rightarrow\quad v = \frac{I}{n\,q\,b\,d} $$
- Einsetzen: $v$ in $U_H = vBb$ einsetzen; die Breite $b$ kürzt sich heraus. Übrig bleiben nur messbare Größen ($I$, $B$, $d$, $U_H$) und die Materialkonstante $nq$.$$ U_H = \frac{I}{n\,q\,b\,d}\cdot B\cdot b = \frac{I\cdot B}{n\cdot q\cdot d} $$
Formeln, die du sicher können musst
| Größe / Gesetz | Formel | Was sie sagt · wann sie gilt |
|---|---|---|
| Lorentzkraft | $F_L = q\,v\,B$ | $v\perp B$; lenkt die Ladungsträger quer zum Strom ab |
| Kräftegleichgewicht | $q\,E_H = q\,v\,B$ | stationärer Zustand; $E_H = vB$ – Kern des Hall-Effekts und des Wien-Filters |
| Hallspannung (1) | $U_H = v\,B\,b$ | $b$ Breite zwischen den Hall-Kontakten; aus $U = E\cdot b$ im homogenen Feld |
| Stromgleichung | $I = n\,q\,v\,A = n\,q\,v\,b\,d$ | $n$ Ladungsträgerdichte in $\mathrm{m^{-3}}$, $A = bd$ Querschnitt; liefert $v$ |
| Hallspannung (2) | $U_H = \dfrac{I\,B}{n\,q\,d}$ | $d$ Dicke in Feldrichtung; $b$ kürzt sich; Regelheft-Form |
| Hall-Konstante | $R_H = \dfrac{1}{n\,q}$ | Materialkonstante; $U_H = R_H\,IB/d$; Vorzeichen = Ladungsträgerart |
| Ladungsträgerdichte | $n = \dfrac{I\,B}{q\,d\,U_H}$ | typische Abituraufgabe: $U_H$ messen, $n$ bestimmen; Kupfer $8{,}5\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ |
| Hallsonde | $U_H = k\cdot B,\quad k = \dfrac{I}{n\,q\,d}$ | bei konstantem $I$: $U_H\propto B$; $k$ durch Kalibrierung in bekanntem Feld |
| Wien-Filter | $v = \dfrac{E}{B}$ | gekreuzte Felder; nur diese Geschwindigkeit fliegt geradeaus; unabhängig von $q$ und $m$ |
Typische Fehler – und wie du die Punkte holst
- $U_H = \dfrac{IB}{nqd}$ hingeschrieben und „hergeleitet“ genannt – ohne Kräftegleichgewicht, ohne $I = nqvA$.Die Punkte gibt es für die Kette: Lorentzkraft → Ladungstrennung → Querfeld → $qE_H = qvB$ → $U_H = E_H b = vBb$ → $v = I/(nqbd)$ einsetzen. Jede Zeile mit einem Halbsatz Begründung. Formel allein: 1 von 6 Punkten.
- Breite $b$ und Dicke $d$ vertauscht – $d$ ist „die Richtung, in die das Feld zeigt“, nicht „die kleine Zahl“.Skizze mit allen drei Maßen: $l$ entlang $I$, $b$ zwischen den Hall-Kontakten (quer, in der Ebene), $d$ parallel zu $\vec B$. In $U_H = vBb$ steht $b$, in $U_H = IB/(nqd)$ steht $d$ – weil $b$ sich beim Einsetzen von $v$ herauskürzt.
- „Bei Elektronen wird die andere Kante negativ, weil die Lorentzkraft andersherum zeigt.“Bei gleichem technischen Strom bewegen sich Elektronen entgegengesetzt und haben negative Ladung – zwei Vorzeichenwechsel, die Lorentzkraft zeigt zur selben Kante. Dort sammeln sich aber jetzt negative statt positive Ladungen: Das Vorzeichen von $U_H$ kehrt sich um, nicht die Kraftrichtung.
- „Kupfer ist ein guter Leiter, deshalb eignet es sich gut für Hallsonden.“$U_H\propto 1/n$: Gerade die hohe Ladungsträgerdichte von Kupfer ($10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}$) macht $U_H$ winzig (Mikrovolt). Halbleiter mit $n\approx 10^{21}\,\mathrm{m^{-3}}$ liefern $10^8$-mal größere Hallspannungen – deshalb Halbleiter.
- Wien-Filter: „Teilchen mit größerer Ladung werden stärker abgelenkt“ oder „schwerere Teilchen kommen nicht durch“.$qE = qvB$ – die Ladung kürzt sich, die Masse kommt gar nicht vor. Der Filter sortiert nur nach $v = E/B$. Erst das anschließende reine B-Feld trennt nach $m/q$ über $r = mv/(qB)$.
- Hall-Effekt und Wien-Filter als „dasselbe“ erklärt, ohne den Unterschied zu nennen.Gleiche Gleichung $qE = qvB$, aber: Beim Hall-Effekt entsteht $E_H$ selbst (für jedes $v$ stellt sich das Gleichgewicht ein), im Wien-Filter ist $E$ vorgegeben (Gleichgewicht nur für $v = E/B$). Beurteilen-Aufgaben fragen genau nach diesem Unterschied.
- $d = 0{,}20\,\mathrm{mm}$ als $0{,}20$ eingesetzt; $n$ um $10^3$ falsch – Ergebnis „$8{,}5\cdot 10^{25}$“ ohne Stutzen abgegeben.Alles in SI ($2{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}$), Einheiten mitführen, Plausibilitätshaken: Metalle $n\approx 10^{28}$ bis $10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}$ (etwa ein Elektron je Atom), Halbleiter $10^{19}$ bis $10^{23}\,\mathrm{m^{-3}}$.
- Erläutern (Zustandekommen der Hallspannung, Vorzeichen, Funktionsweise des Wien-Filters): drei Sätze Phänomen → Ursache (Lorentzkraft, Ladungstrennung) → Bedingung (Kräftegleichgewicht $qE = qvB$); Fachbegriffe Driftgeschwindigkeit, Querfeld, stationär.
- Leiten Sie her ($U_H = vBb$, $U_H = IB/(nqd)$, $v = E/B$): Skizze mit $l$, $b$, $d$, $\vec B$ als $\otimes$, Kraftpfeilen; Gleichgewicht als Gleichung; $U = E\cdot b$ begründen (homogenes Feld); $I = nqvA$ herleiten oder zitieren; Schlusssatz.
- Berechnen / Bestimmen ($n$ aus $U_H$, $B$ mit kalibrierter Sonde, $v$ im Wien-Filter): SI-Einheiten, Formel – Umstellen – Einsetzen – SCI-3 – Antwortsatz; bei Messwerten relative Unsicherheit und Intervall.
- Beurteilen (Materialwahl, Messverfahren, Fehlerquellen): $U_H\propto 1/n$ und $\propto 1/d$ nutzen; Thermospannung durch Umpolen eliminieren; Vergleich mit Literaturwert über relative Abweichung.
5 harte Fragen – hast du es wirklich verstanden?
Offene Aufgaben auf Papier lösen (Zeit stoppen!), erst dann die Lösung aufdecken und ehrlich Punkte geben. Die Ergebnisse werden auf diesem Gerät gespeichert.
Ladungsträgerdichte von Kupfer
Ein Kupferstreifen (Länge $l = 50\,\mathrm{mm}$, Breite $b = 10\,\mathrm{mm}$, Dicke $d = 0{,}20\,\mathrm{mm}$) wird von $I = 10{,}0\,\mathrm{A}$ durchflossen und befindet sich in einem Magnetfeld $B = 1{,}50\,\mathrm{T}$ senkrecht zur Streifenfläche. Zwischen den Längskanten misst man $U_H = (5{,}4 \pm 0{,}3)\,\mathrm{\mu V}$.
- Leite die Beziehung $U_H = \dfrac{IB}{nqd}$ her. Fertige eine beschriftete Skizze an.
- Bestimme die Ladungsträgerdichte $n$ und die Driftgeschwindigkeit der Elektronen. Gib für $n$ ein Unsicherheitsintervall an.
- Kupfer hat die Dichte $8{,}96\,\mathrm{g/cm^3}$ und die molare Masse $63{,}5\,\mathrm{g/mol}$. Berechne die Anzahl der Kupferatome pro $\mathrm{m^3}$ und beurteile, wie viele Leitungselektronen jedes Atom beisteuert.
- 4 Pa) Skizze ($l$, $b$, $d$, $I$, $\vec B$, $F_L$, $+/-$, $E_H$); Lorentzkraft $qvB$ → Ladungstrennung → Querfeld; Gleichgewicht $qE_H = qvB$; $U_H = E_H b = vBb$; $I = nqvbd$ ⇒ $v$ einsetzen ⇒ $U_H = IB/(nqd)$
- 2 Pb) $n = \dfrac{IB}{qdU_H} = 8{,}7\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$; $v = \dfrac{I}{nqbd} = 3{,}6\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m/s}$ mit Einheiten
- 1 Pb) Intervall: $U_H$ zwischen $5{,}1$ und $5{,}7\,\mathrm{\mu V}$ ⇒ $n$ zwischen $8{,}2$ und $9{,}2\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ (relative Unsicherheit $\approx 6\,\%$)
- 2 Pc) $n_{\text{Atome}} = \dfrac{\rho}{M}\,N_A = 8{,}5\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$
- 1 Pc) Verhältnis $n/n_{\text{Atome}} \approx 1{,}0$ innerhalb der Unsicherheit ⇒ ein Leitungselektron je Atom (Kupfer: ein 4s-Elektron)
a) Skizze: Rechteck (Draufsicht) der Länge $l$ und Breite $b$, Strom $I$ nach rechts, Feld $\otimes$ in die Ebene, Dicke $d$ am Rand angedeutet. Ein Elektron (läuft nach links) mit Lorentzkraft-Pfeil zur oberen Kante (linke Hand: Daumen nach links, Zeigefinger in die Ebene, Mittelfinger nach oben); obere Kante $-$, untere Kante $+$; Pfeil $\vec E_H$ von $+$ nach $-$ (nach oben); Spannungsmesser $U_H$ zwischen den Kanten.
Auf die mit $v$ driftenden Ladungsträger wirkt im Feld $B\perp v$ die Lorentzkraft $F_L = qvB$, die sie zur oberen Kante ablenkt. Dort sammeln sie sich, die untere Kante bleibt entgegengesetzt geladen; zwischen den Kanten entsteht das Querfeld $E_H$ mit der Gegenkraft $F_{el} = qE_H$. Die Ladungstrennung wächst, bis Kräftegleichgewicht herrscht: $qE_H = qvB$, also $E_H = vB$. Das Querfeld ist über die Breite homogen, daher $U_H = E_H\cdot b = vBb$. Die Driftgeschwindigkeit folgt aus der Stromgleichung: Durch den Querschnitt $A = bd$ fließt in $\Delta t$ die Ladung $\Delta Q = nq\cdot A\,v\Delta t$, also $I = nqvbd$ und $v = \dfrac{I}{nqbd}$. Einsetzen: $U_H = \dfrac{I}{nqbd}\,Bb = \dfrac{IB}{nqd}$, was zu zeigen war.
b) Umstellen: $n = \dfrac{IB}{q\,d\,U_H} = \dfrac{10{,}0\,\mathrm{A}\cdot 1{,}50\,\mathrm{T}}{1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}\cdot 5{,}4\cdot 10^{-6}\,\mathrm{V}} = 8{,}67\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$. Driftgeschwindigkeit: $v = \dfrac{I}{nqbd} = \dfrac{10{,}0}{8{,}67\cdot 10^{28}\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-2}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-4}}\,\mathrm{m/s} = 3{,}60\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m/s}$ (Kontrolle: $U_H = vBb = 3{,}60\cdot 10^{-4}\cdot 1{,}50\cdot 0{,}010\,\mathrm{V} = 5{,}4\,\mathrm{\mu V}$ – passt). Unsicherheit: $n\propto 1/U_H$; mit $U_H = 5{,}7\,\mathrm{\mu V}$ ergibt sich $n = 8{,}2\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$, mit $5{,}1\,\mathrm{\mu V}$ folgt $9{,}2\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$. Die Ladungsträgerdichte beträgt $n = (8{,}7\pm 0{,}5)\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ (relative Unsicherheit $0{,}3/5{,}4 = 6\,\%$); die Elektronen driften mit nur $0{,}36\,\mathrm{mm/s}$.
c) Atomdichte: $n_{\text{Atome}} = \dfrac{\rho}{M}\cdot N_A = \dfrac{8{,}96\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg/m^3}}{63{,}5\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}}\cdot 6{,}022\cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} = 8{,}50\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$. Verhältnis: $\dfrac{n}{n_{\text{Atome}}} = \dfrac{8{,}67}{8{,}50} = 1{,}02$. Innerhalb der Messunsicherheit von $6\,\%$ ist das genau $1$: Jedes Kupferatom stellt ein Leitungselektron zur Verfügung (das einzelne 4s-Elektron). Die Hallmessung bestätigt damit das Modell des freien Elektronengases – und das negative Vorzeichen von $U_H$, dass Elektronen und nicht Löcher den Strom tragen.
Hallsonde kalibrieren und einsetzen
Eine Hallsonde aus einem Halbleiterplättchen ($d = 1{,}0\,\mathrm{mm}$) wird mit konstantem Strom $I = 20\,\mathrm{mA}$ betrieben. Zur Kalibrierung wird sie in die Mitte einer langen Spule ($N = 1200$, $l = 0{,}60\,\mathrm{m}$) gelegt und der Spulenstrom $I_S$ variiert:
| $I_S$ in A | 0,50 | 1,00 | 1,50 | 2,00 | 2,50 |
|---|---|---|---|---|---|
| $U_H$ in mV | 0,16 | 0,31 | 0,48 | 0,62 | 0,79 |
- Berechne die Flussdichte in der Spule für $I_S = 1{,}00\,\mathrm{A}$ und erläutere, warum $U_H$ proportional zu $I_S$ sein muss.
- Bestimme aus der gesamten Messreihe die Kalibrierkonstante $k = U_H/B$ der Sonde (in V/T) und daraus die Ladungsträgerdichte $n$ des Halbleiters.
- Mit der kalibrierten Sonde misst man am Pol eines Permanentmagneten $U_H = 44\,\mathrm{mV}$. Bestimme $B$ und erläutere, warum man die Messung mit umgedrehter Sonde wiederholen sollte.
- 2 Pa) $B = \mu_0 N I_S/l = 2{,}51\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$; $U_H = \dfrac{I}{nqd}\,B$ mit $B\propto I_S$ ⇒ $U_H\propto I_S$ (Ursprungsgerade)
- 3 Pb) Steigung aus Messreihe (Ausgleichsgerade, nicht Einzelwert): $U_H/I_S \approx 0{,}315\,\mathrm{mV/A}$; $k = 0{,}315\,\mathrm{mV/A}\,/\,(2{,}51\,\mathrm{mT/A}) = 0{,}125\,\mathrm{V/T}$
- 1 Pb) $n = \dfrac{I}{q\,d\,k} = 1{,}0\cdot 10^{21}\,\mathrm{m^{-3}}$
- 2 Pc) $B = U_H/k = 0{,}35\,\mathrm{T}$; Umdrehen kehrt das Vorzeichen von $U_H$ um, Thermo-/Offsetspannungen bleiben ⇒ Mittelwert $\tfrac12(U_H^+ - U_H^-)$ eliminiert sie
a) Lange Spule: $B = \mu_0\dfrac{N I_S}{l} = 1{,}257\cdot 10^{-6}\,\mathrm{\dfrac{Vs}{Am}}\cdot\dfrac{1200\cdot 1{,}00\,\mathrm{A}}{0{,}60\,\mathrm{m}} = 2{,}51\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$. Für die Hallspannung gilt $U_H = \dfrac{I}{nqd}\cdot B$; bei konstantem Sondenstrom $I$ ist der Vorfaktor eine Konstante $k$, also $U_H = kB$. Da $B$ selbst proportional zum Spulenstrom ist ($B = \mu_0 N I_S/l$), muss $U_H$ proportional zu $I_S$ sein: Die Messpunkte liegen auf einer Ursprungsgeraden – und die Werte bestätigen das (Verdopplung von $I_S$ verdoppelt $U_H$).
b) Steigung der Ausgleichsgeraden $U_H(I_S)$: Die Quotienten $U_H/I_S$ sind $0{,}32$, $0{,}31$, $0{,}32$, $0{,}31$, $0{,}316\,\mathrm{mV/A}$; Mittelwert bzw. Steigung $m \approx 0{,}315\,\mathrm{mV/A}$ (rechnerische Ausgleichsgerade durch den Ursprung: $m = \sum I_S U_H/\sum I_S^2 = \dfrac{4{,}33}{13{,}75}\,\mathrm{mV/A} = 0{,}315\,\mathrm{mV/A}$). Da $B/I_S = 2{,}51\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T/A}$: $$k = \frac{U_H}{B} = \frac{m}{B/I_S} = \frac{0{,}315\cdot 10^{-3}\,\mathrm{V/A}}{2{,}51\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T/A}} = 0{,}125\,\mathrm{V/T}.$$ Ladungsträgerdichte: $k = \dfrac{I}{nqd}$ ⇒ $n = \dfrac{I}{q\,d\,k} = \dfrac{0{,}020\,\mathrm{A}}{1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}\cdot 0{,}125\,\mathrm{V/T}} = 1{,}0\cdot 10^{21}\,\mathrm{m^{-3}}$ – typisch für einen dotierten Halbleiter, $10^8$-mal kleiner als bei Kupfer.
c) $B = \dfrac{U_H}{k} = \dfrac{0{,}044\,\mathrm{V}}{0{,}125\,\mathrm{V/T}} = 0{,}35\,\mathrm{T}$. Am Pol des Permanentmagneten herrschen $0{,}35\,\mathrm{T}$ (plausibel für einen Neodym-Magneten). Beim Umdrehen der Sonde kehrt sich die Richtung von $B$ relativ zum Plättchen um, die echte Hallspannung wechselt also das Vorzeichen. Störanteile – Thermospannungen an den Kontakten und die Offsetspannung durch nicht exakt gegenüberliegende Hall-Kontakte – hängen nicht von $B$ ab und bleiben gleich. Aus beiden Messungen $U^+ = U_H + U_{St}$ und $U^- = -U_H + U_{St}$ folgt $U_H = \tfrac12(U^+ - U^-)$: Der Störanteil fällt heraus. Außerdem zeigt das Maximum von $|U_H|$ beim Drehen an, wann die Sonde genau senkrecht zu den Feldlinien steht.
Transfer: Wien-Filter und Isotopentrennung
Einfach positiv geladene Kohlenstoff-Ionen ($^{12}\mathrm{C}^+$: $m = 1{,}99\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $^{13}\mathrm{C}^+$: $m = 2{,}16\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}$) treten mit verschiedenen Geschwindigkeiten in einen Wien-Filter ein: Plattenkondensator mit Abstand $1{,}0\,\mathrm{cm}$ und $U = 2{,}00\,\mathrm{kV}$, dazu ein Magnetfeld $B = 0{,}400\,\mathrm{T}$ senkrecht zu $\vec E$ und zur Flugrichtung. Hinter der Austrittsblende fliegen die Ionen in ein zweites, reines Magnetfeld gleicher Stärke und beschreiben Halbkreise.
- Fertige eine Skizze des Wien-Filters mit allen Feldern und Kräften für ein positives Ion an und erläutere, welche Ionen die Blende passieren. Berechne deren Geschwindigkeit.
- Ein $^{12}\mathrm{C}^+$-Ion tritt mit $v = 4{,}0\cdot 10^5\,\mathrm{m/s}$ ein. Berechne beide Querkräfte und gib begründet an, zu welcher Seite es abgelenkt wird.
- Bestimme die Bahnradien beider Isotope im zweiten Magnetfeld und den Abstand ihrer Auftreffpunkte nach dem Halbkreis. Beurteile, ob der Filter für die Trennung nötig ist.
- 3 Pa) Skizze: Platten mit $\vec E$, $\vec B$ als $\otimes$, Flugrichtung, $\vec F_{el} = q\vec E$ und $\vec F_L$ entgegengesetzt; Erläuterung Kräftegleichgewicht $qE = qvB$ ⇒ nur $v = E/B$ geradeaus; $E = 2{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{V/m}$, $v = 5{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{m/s}$
- 3 Pb) $F_{el} = qE = 3{,}20\cdot 10^{-14}\,\mathrm{N}$, $F_L = qvB = 2{,}56\cdot 10^{-14}\,\mathrm{N}$; $F_L \lt F_{el}$ ⇒ Ablenkung zur Seite der elektrischen Kraft (zur negativen Platte), da das Ion langsamer als $E/B$ ist
- 2 Pc) $r = mv/(qB)$: $r_{12} = 15{,}5\,\mathrm{cm}$, $r_{13} = 16{,}9\,\mathrm{cm}$; Abstand $2\Delta r = 2{,}7\,\mathrm{cm}$
- 2 Pc) Beurteilung: ohne Filter hätten Ionen verschiedene $v$ und damit verschiedene $r$ auch bei gleicher Masse – die Linien würden verschmieren; der Filter macht $r$ allein von $m$ abhängig ($r\propto m$ bei festem $v$, $q$, $B$)
a) Skizze: Zwei waagerechte Platten (oben $+$, unten $-$), dazwischen Ion mit $\vec v$ nach rechts; $\vec E$ zeigt nach unten (von $+$ nach $-$), Magnetfeld $\otimes$ in die Ebene; $\vec F_{el} = q\vec E$ nach unten, $\vec F_L$ nach oben (rechte Hand: Daumen rechts, Zeigefinger in die Ebene ⇒ Mittelfinger nach oben); Blende am Ausgang auf der Mittellinie.
Die elektrische Kraft $qE$ ist für alle Ionen gleich, die Lorentzkraft $qvB$ wächst mit der Geschwindigkeit. Genau dann, wenn beide gleich groß sind, wirkt netto keine Querkraft; das Ion fliegt geradlinig gleichförmig weiter und passiert die Blende: $qE = qvB$ ⇒ $v = \dfrac{E}{B}$ – unabhängig von Ladung und Masse. Mit $E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{2000\,\mathrm{V}}{0{,}010\,\mathrm{m}} = 2{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{V/m}$ folgt $v = \dfrac{2{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{V/m}}{0{,}400\,\mathrm{T}} = 5{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{m/s}$. Nur Ionen mit dieser Geschwindigkeit (beider Isotope!) passieren den Filter.
b) $F_{el} = qE = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot 2{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{V/m} = 3{,}20\cdot 10^{-14}\,\mathrm{N}$ (nach unten, zur negativen Platte).
$F_L = qvB = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot 4{,}0\cdot 10^5\,\mathrm{m/s}\cdot 0{,}400\,\mathrm{T} = 2{,}56\cdot 10^{-14}\,\mathrm{N}$ (nach oben).
Das Ion ist langsamer als $E/B$, deshalb ist die Lorentzkraft kleiner als die elektrische Kraft. Die resultierende Kraft $0{,}64\cdot 10^{-14}\,\mathrm{N}$ zeigt nach unten: Das Ion wird zur negativen Platte abgelenkt und an der Blende ausgesiebt. (Die Masse spielt für die Richtung keine Rolle – nur für die Stärke der Krümmung.)
c) Im reinen Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft: $qvB = \dfrac{mv^2}{r}$ ⇒ $r = \dfrac{mv}{qB}$. Mit $v = 5{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{m/s}$: $$r_{12} = \frac{1{,}99\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}\cdot 5{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{m/s}}{1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot 0{,}400\,\mathrm{T}} = 0{,}155\,\mathrm{m},\qquad r_{13} = \frac{2{,}16\cdot 10^{-26}\cdot 5{,}00\cdot 10^5}{1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}400}\,\mathrm{m} = 0{,}169\,\mathrm{m}.$$ Nach dem Halbkreis liegen die Auftreffpunkte um $2r$ vom Eintrittspunkt entfernt; ihr Abstand ist $2(r_{13} - r_{12}) = 2\cdot(16{,}9 - 15{,}5)\,\mathrm{cm} = 2{,}7\,\mathrm{cm}$ – die Isotope werden sauber getrennt.
Beurteilung: Der Radius $r = mv/(qB)$ hängt von $m$ und $v$ ab. Ohne Filter kämen Ionen mit einer Geschwindigkeitsverteilung an (etwa aus einer Ionenquelle mit thermischer Streuung); ein schnelles $^{12}\mathrm{C}^+$ hätte dann denselben Radius wie ein langsameres $^{13}\mathrm{C}^+$ – die Auftreffpunkte würden zu breiten, überlappenden Streifen verschmieren. Erst wenn alle Ionen gleich schnell sind, ist $r \propto m$ und der Auftreffpunkt ein eindeutiges Maß für die Masse. Der Wien-Filter ist also nötig (oder eine Alternative mit gleicher Wirkung, z. B. Beschleunigung aller Ionen aus der Ruhe mit derselben Spannung, dann $r\propto\sqrt m$).
Bei einem Hall-Plättchen werden Stromstärke $I$ und Dicke $d$ verdoppelt; $B$ und das Material bleiben gleich. Was passiert mit der Hallspannung?
Ein Wien-Filter ist auf $v_0 = E/B$ eingestellt. Ein doppelt geladenes Ion ($q = 2e$) tritt mit genau dieser Geschwindigkeit $v_0$ ein. Was passiert?
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