Interferenz & Gangunterschied (zwei Quellen, Wellenwanne)

Zwei kohärente Kreiswellen überlagern sich – wo Berg auf Berg trifft, wird es doppelt so hoch, wo Berg auf Tal trifft, bleibt es still. Der Gangunterschied entscheidet.

Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen

Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.

Das Phänomen: zwei Erreger in der Wellenwanne

Zwei Stifte tauchen im Takt desselben Motors in die Wellenwanne. Von jedem gehen Kreiswellen aus. Wo die beiden Wellensysteme sich überlagern, siehst du ein ruhiges, fächerförmiges Muster: Linien, auf denen das Wasser kräftig auf und ab schwingt (Bauchlinien, Maxima), getrennt durch Linien, auf denen die Oberfläche fast still bleibt (Knotenlinien, Minima). Das Muster läuft nicht mit – die Wellen laufen, aber die Linien stehen fest. Dasselbe passiert mit zwei Lautsprechern, die dasselbe Signal abspielen: Gehst du quer durch den Raum, wird es abwechselnd laut und leise.

Die Erklärung in drei Sätzen (so, wie sie in der Klausur stehen soll):

1. Phänomen: Zwei kohärente Quellen senden Wellen gleicher Frequenz und fester Phasenbeziehung aus; sie überlagern sich nach dem Superpositionsprinzip.
2. Ursache: Zu einem Punkt $P$ sind die Wege $r_1$ und $r_2$ von den beiden Quellen verschieden lang. Der Wegunterschied heißt Gangunterschied $\Delta s = |r_2 - r_1|$ und bestimmt, mit welcher Phasendifferenz die Wellen in $P$ ankommen.
3. Bedingung: Ist $\Delta s = n\lambda$, kommen die Wellen gleichphasig an – Berg auf Berg, doppelte Amplitude, Maximum. Ist $\Delta s = (n-\tfrac12)\lambda$, kommen sie gegenphasig an – Berg auf Tal, Auslöschung, Minimum.

Gangunterschied und Phasendifferenz – die Bedingungen

Alles hängt an einer Zahl: Wie viele Wellenlängen passen in den Gangunterschied? In der Notation des Regelhefts:

Das Maximum 0. Ordnung ($\Delta s = 0$) liegt auf der Mittelsenkrechten der Quellen, das 1. Minimum bei $\Delta s = \lambda/2$, das 1. Maximum bei $\lambda$, das 2. Minimum bei $3\lambda/2$ und so weiter. Gangunterschied und Phasendifferenz sind zwei Sprachen für dasselbe:

Maxima bei $\Delta\varphi = 2\pi n$, Minima bei $\Delta\varphi = \pi(2n-1)$, also $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$ Dazwischen ist die Amplitude weder null noch doppelt – die Herleitung unten liefert $A = 2\hat y\,|\cos(\Delta\varphi/2)|$ für jeden Punkt.

Rechenbeispiel Lautsprecher. Zwei Lautsprecher im Abstand $g = 1{,}0\,\mathrm{m}$ spielen denselben Ton $f = 1700\,\mathrm{Hz}$, $c = 340\,\mathrm{m/s}$, also $\lambda = 0{,}20\,\mathrm{m}$. Ein Punkt $P$ ist $r_1 = 2{,}5\,\mathrm{m}$ vom ersten und $r_2 = 2{,}8\,\mathrm{m}$ vom zweiten Lautsprecher entfernt. Gangunterschied $\Delta s = 0{,}30\,\mathrm{m} = 1{,}5\,\lambda = (2 - \tfrac12)\lambda$ – in $P$ liegt das 2. Minimum, dort ist es (bei gleicher Lautstärke beider Quellen) still. Phasendifferenz $\Delta\varphi = 2\pi\cdot 1{,}5 = 3\pi$, gegenphasig. Verschiebt man $P$ so, dass $\Delta s = 0{,}40\,\mathrm{m} = 2\lambda$ wird, liegt dort das 2. Maximum.

Die Geometrie: Hyperbeln, Knotenlinien, Anzahl der Maxima

Alle Punkte mit demselben Gangunterschied $|r_2 - r_1| = \Delta s$ liegen auf einer Hyperbel mit den Quellen als Brennpunkten. Deshalb sind die Bauch- und Knotenlinien im Wellenwannenbild gekrümmt und laufen weit von den Quellen fast geradlinig auseinander:

• $n = 0$: $\Delta s = 0$ – die Mittelsenkrechte (entartete Hyperbel), immer ein Maximum (bei gleichphasigen Erregern).
• Je größer $\Delta s$, desto stärker gekrümmt und desto näher an der Verbindungslinie der Quellen liegt die Hyperbel.
• Auf der Verbindungslinie der Quellen selbst wechseln sich Maxima und Minima im Abstand $\lambda/2$ ab – dort liegt der Scheitel jeder Hyperbel bei $r_1 - r_2 = \pm\Delta s$, also $\Delta s/2$ von der Mitte entfernt.

Wie viele Maxima gibt es? Der Gangunterschied kann nie größer sein als der Abstand der Quellen (Dreiecksungleichung): $\Delta s \le g$, mit Gleichheit nur auf der Verlängerung der Verbindungslinie. Also gilt für die höchste Ordnung

Beispiel $g = 1{,}0\,\mathrm{m}$, $\lambda = 0{,}20\,\mathrm{m}$: $n_{\max} = 5$ – rechts und links der Mittellinie je fünf Maxima, insgesamt $2\cdot 5 + 1 = 11$ Bauchlinien. Ist $g/\lambda$ ganzzahlig, liegt das letzte „Maximum“ genau auf der Verlängerung der Verbindungslinie und ist nur dort erreichbar. Für die Minima gilt entsprechend $(n - \tfrac12)\lambda \le g$.

Umgekehrt steckt darin ein Messverfahren: Zählt man die Knotenlinien zwischen den Quellen oder misst den Scheitelabstand der ersten Hyperbel, kann man $\lambda$ bestimmen – ohne eine einzige laufende Welle anzuschauen.

Kohärenz – warum zwei Glühlampen kein Muster zeigen

Das Muster steht nur dann fest, wenn der Gangunterschied in jedem Punkt dauerhaft dieselbe Phasendifferenz bedeutet. Dafür müssen die Quellen kohärent sein:

1. gleiche Frequenz (sonst wandert die Phasendifferenz ständig durch – Schwebung statt Muster), und
2. zeitlich konstante Phasendifferenz der Erreger.

In der Wellenwanne sitzen beide Stifte am selben Motor, zwei Lautsprecher bekommen dasselbe Signal, beim Doppelspalt stammen beide Elementarwellen aus derselben Wellenfront – das sind kohärente Quellen. Zwei Glühlampen dagegen: Jedes Atom sendet unabhängig einen kurzen Wellenzug ($\approx 10^{-8}\,\mathrm{s}$) mit zufälliger Phase; die Phasendifferenz zwischen den Lampen springt hundertmillionenmal pro Sekunde. Das Interferenzmuster existiert jeden Augenblick – aber es verschiebt sich so schnell, dass Auge und Kamera nur den Mittelwert sehen: gleichmäßige Helligkeit. Dasselbe gilt für zwei unabhängige Laser ohne Synchronisation. Deshalb teilt man im Experiment eine Quelle auf (Doppelspalt, Strahlteiler), statt zwei Quellen zu nehmen.

Phasenverschiebung der Erreger. Schwingt Erreger 2 dem Erreger 1 um $\varphi_0$ hinterher, kommt zur Phasendifferenz aus dem Weg noch $\varphi_0$ hinzu: $\Delta\varphi = 2\pi\Delta s/\lambda + \varphi_0$. Das Muster bleibt ortsfest (die Phasendifferenz ist ja konstant), aber es verschiebt sich zur verspäteten Quelle hin. Bei $\varphi_0 = \pi$ vertauschen Maxima und Minima: Auf der Mittelsenkrechten liegt dann ein Minimum. Das kannst du in der Simulation mit dem Phasenschieber sehen.

Vom Wellenwannenbild zum Doppelspalt

Der Doppelspalt ist genau dieses Experiment mit Licht: Die beiden Spalte sind nach Huygens zwei kohärente Quellen im Abstand $g$. Nur eines ändert sich – der Schirm ist weit weg ($a \gg g$). Dann laufen die beiden Strahlen zu einem Schirmpunkt praktisch parallel unter dem Winkel $\alpha$, und der Gangunterschied lässt sich aus dem kleinen rechtwinkligen Dreieck an den Quellen ablesen:

Die Hyperbeln werden im Fernfeld zu Geraden durch die Quellenmitte – jede Ordnung hat ihren festen Winkel $\alpha_n$. Auch die Begrenzung $n_{\max} = \lfloor g/\lambda\rfloor$ steckt drin: $\sin\alpha_n = n\lambda/g$ muss kleiner als 1 bleiben. Mit dem Lautsprecherbeispiel ($g = 1{,}0\,\mathrm{m}$, $\lambda = 0{,}20\,\mathrm{m}$) liegen die Maxima im Fernfeld bei $\sin\alpha_n = 0{,}2\,n$, also $11{,}5^\circ$, $23{,}6^\circ$, $36{,}9^\circ$, $53{,}1^\circ$, $90^\circ$ (das fünfte nur streifend).

Simulation: Wellenwanne mit zwei Erregern

Herleitung: Bedingungen für Maxima und Minima aus der Phasendifferenz

Diese Herleitung zeigt, warum die beiden Bedingungen gelten – und was zwischen Maximum und Minimum passiert. Skizze dazu: zwei Quellen $S_1$, $S_2$, ein Punkt $P$ mit den Strecken $r_1$ und $r_2$, Gangunterschied $\Delta s = |r_2 - r_1|$ markiert. Du brauchst das Additionstheorem $\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$.

Formeln, die du sicher können musst

Typische Fehler – und wie du die Punkte holst

• Minima bei $\Delta s = n\lambda/2$ angesetzt.
  Für $n = 2$ wäre das $\lambda$ – ein Maximum. Regelheft: $\Delta s = (n - \tfrac12)\lambda$, $n = 1, 2, \dots$ Einmal $n = 1$ und $n = 2$ einsetzen ($\lambda/2$, $3\lambda/2$) und prüfen, dass es ungerade Vielfache von $\lambda/2$ sind.
• Gangunterschied mit dem Abstand der Quellen verwechselt oder $\Delta s = r_1 + r_2$ gerechnet.
  $\Delta s$ ist die Differenz der beiden Wege zum Punkt $P$: $|r_2 - r_1|$. Der Quellenabstand $g$ begrenzt nur, wie groß $\Delta s$ höchstens werden kann. Skizze mit $r_1$, $r_2$ und $P$ hilft.
• „Es gibt unendlich viele Maxima, $n$ kann ja beliebig groß sein.“
  $\Delta s \le g$ (Dreiecksungleichung), also $n \le g/\lambda$. Immer $n_{\max} = \lfloor g/\lambda\rfloor$ angeben und erklären, warum: Weiter als bis zum anderen Ende der Verbindungslinie kann kein Wegunterschied reichen.
• Interferenzmuster von zwei getrennten Lichtquellen (zwei Taschenlampen, zwei Laser) vorhergesagt.
  Ohne Kohärenz kein stehendes Muster: Die Phasendifferenz unabhängiger Quellen springt zufällig, das Muster verwischt im Zeitmittel. Deshalb immer eine Quelle aufteilen (Doppelspalt). Dieser Satz ist ein Punkt im Erwartungshorizont.
• Phasendifferenz und Gangunterschied durcheinander – „$\Delta\varphi = \lambda/2$“.
  $\Delta s$ ist eine Länge (m), $\Delta\varphi$ ein Winkel (rad). Übersetzung: $\Delta\varphi = 2\pi\cdot\Delta s/\lambda$. $\Delta s = \lambda/2$ entspricht $\Delta\varphi = \pi$.
• Bei $\Delta s = 1{,}8\lambda$ „fast ein Maximum“ oder „fast ein Minimum“ geraten.
  Zwischen den Bedingungen hilft die Amplitudenformel: $A = 2\hat y|\cos(\pi\cdot 1{,}8)| = 2\hat y\cdot 0{,}81 = 1{,}6\,\hat y$ – näher am Maximum ($2\hat y$), aber keines. Nur so ist die Antwort begründet.
• Beim Zählen der Maxima die Mittellinie vergessen oder nur eine Seite gezählt.
  Bauchlinien: $n = 0$ (Mitte) plus je $n_{\max}$ rechts und links, also $2n_{\max} + 1$. Knotenlinien: je eine zwischen benachbarten Bauchlinien. Bei $g/\lambda = 3{,}25$: 7 Bauchlinien, 6 Knotenlinien.

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