Eigenschaften von Wellen: Absorption, Reflexion, Brechung, Beugung, Streuung
Fünf Dinge, die jede Welle an einer Grenze oder einem Hindernis tun kann – und was dabei mit Richtung, Amplitude, Wellenlänge und Frequenz passiert.
Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen
Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.
Was sind Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit, und wie hängen sie zusammen?
Reflexionsgesetz aus der Mittelstufenoptik – und was sind Einfallslot, Einfallswinkel und Ausfallswinkel?
Was ist ein Wellenberg, ein Wellental und was bedeutet ein Phasenunterschied von π?
Was heißt Superposition, und was passiert, wenn ein Berg auf ein gleich großes Tal trifft?
Exponentielle Abnahme: Was bedeutet „pro Schicht fällt die Intensität auf 82 %“, und wie prüft man das an Messwerten?
Überblick: Was eine Welle an einer Grenze tun kann
Solange eine Welle in einem gleichförmigen Medium läuft, passiert nichts Aufregendes: Sie läuft mit $c$ geradeaus. Interessant wird es, wenn sich das Medium ändert – an einer Wand, am Übergang Luft–Glas, an einer Türöffnung, an Staubteilchen in der Luft. Dann sind fünf Dinge möglich, oft mehrere gleichzeitig:
| Eigenschaft | Was passiert | Richtung | Amplitude | $\lambda$ | $f$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Reflexion | Welle läuft an der Grenzfläche zurück | Einfallswinkel = Ausfallswinkel | bleibt (ideal); am festen Ende Vorzeichenwechsel | bleibt | bleibt |
| Brechung | Welle tritt in ein Medium mit anderem $c$ über | knickt am Lot: zum Lot hin, wenn $c$ kleiner wird | teilweise reflektiert, also etwas kleiner | ändert sich: $\lambda_2/\lambda_1 = c_2/c_1$ | bleibt |
| Beugung | Welle läuft hinter Hindernis oder Öffnung in den Schattenraum | Ausbreitung auch seitlich, stark wenn $d \lesssim \lambda$ | verteilt sich auf größeren Bereich | bleibt | bleibt |
| Streuung | kleine Hindernisse werden zu Sendern von Kugelwellen | in alle Richtungen | stark wellenlängenabhängig (Rayleigh: Intensität $\propto 1/\lambda^4$) | bleibt | bleibt |
| Absorption | Wellenenergie wird im Medium zu Wärme | bleibt | nimmt exponentiell mit der Weglänge ab | bleibt | bleibt |
Die letzte Spalte ist der wichtigste Merksatz dieser Seite: Die Frequenz ändert sich nie. Jeder Oszillator – auch der erste im neuen Medium – wird vom ankommenden Nachbarn angetrieben und schwingt deshalb im Takt des Erregers. Was sich ändert, sind $c$ (Eigenschaft des Mediums) und als Folge $\lambda = c/f$.
Reflexion – und der Phasensprung am festen Ende
Definition. Reflexion ist das Zurückwerfen einer Welle an einer Grenzfläche, hinter der sie sich nicht (oder nur teilweise) ausbreiten kann. Für ebene Wellenfronten gilt das Reflexionsgesetz: Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel, beide zum Lot gemessen. In der Wellenwanne siehst du es an geraden Wellen, die schräg auf eine Wand laufen; beim Schall ist es das Echo an einer Felswand; beim Licht der Spiegel. Richtung ändert sich, $\lambda$, $f$ und (bei idealer Reflexion) $\hat y$ bleiben.
Entscheidend für alles, was später bei stehenden Wellen kommt, ist die Frage: Was passiert mit dem Vorzeichen?
- Festes Ende (Seil an der Wand festgebunden, Schallwelle an einer harten Wand, Licht am optisch dichteren Medium): Das Ende kann nicht ausgelenkt werden. Kommt ein Berg an, zieht er an der Wand – die Wand zieht nach dem Wechselwirkungsprinzip genauso stark zurück und erzeugt einen Gegenimpuls. Der reflektierte Puls ist ein Tal: Berg wird Tal, Phasensprung $\pi$ (eine halbe Wellenlänge). Am festen Ende liegt immer ein Knoten.
- Loses Ende (Seil an einem frei verschiebbaren Ring, Schall am offenen Rohrende, Licht am optisch dünneren Medium): Das Ende kann frei schwingen und schwingt sogar mit doppelter Amplitude über. Der reflektierte Puls kommt als Berg zurück: kein Phasensprung. Am losen Ende liegt ein Bauch.
Ein Bild, das die Prüfer sehen wollen: Denk dir hinter dem Ende einen gedachten Gegenpuls, der von rechts kommt. Am festen Ende ist er das auf den Kopf gestellte Spiegelbild (Tal), am losen Ende das aufrechte Spiegelbild (Berg). Die wirkliche Seilform ist die Summe beider – am festen Ende heben sie sich dort stets auf (Knoten), am losen Ende verdoppeln sie sich (Bauch). Genau das zeigt die Simulation.
Brechung – Frequenz bleibt, Geschwindigkeit und Wellenlänge ändern sich
Definition. Brechung ist die Richtungsänderung einer Welle beim schrägen Übergang in ein Medium, in dem sie eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit hat. In der Wellenwanne erzeugt eine Glasplatte eine flache Zone, in der Wasserwellen langsamer laufen; beim Licht ist es der Übergang Luft–Glas oder Luft–Wasser (der „geknickte“ Strohhalm); beim Schall der Übergang warme–kalte Luft (deshalb hört man abends über dem See so weit).
Was passiert mit den Größen – und warum:
- $f$ bleibt: Die Oszillatoren direkt hinter der Grenzfläche werden von denen davor angetrieben, also im selben Takt.
- $c$ ändert sich: Das ist die Eigenschaft des neuen Mediums (Glas: $c = c_0/n \approx 2{,}0\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}$ für $n = 1{,}5$).
- $\lambda$ ändert sich mit $c$: $\lambda_2 = c_2/f$, also $\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1} = \dfrac{c_2}{c_1}$. In Glas ist Licht mit $600\,\mathrm{nm}$ nur noch $400\,\mathrm{nm}$ „lang“ – die Farbe (die Frequenz!) bleibt dieselbe.
- Richtung: Beim Übergang ins langsamere Medium knickt der Strahl zum Lot hin, ins schnellere vom Lot weg. Merkbild: Eine Kolonne, die schräg von Asphalt auf Sand läuft – die Seite, die zuerst im Sand ist, wird langsamer, die Kolonne schwenkt ein.
Die Herleitung dieses Brechungsgesetzes aus dem Huygens'schen Prinzip ist Pflichtstoff – sie steht ausführlich auf der Seite Huygens & Brechung, ebenso die Totalreflexion. Hier musst du sicher wissen: Was bleibt, was ändert sich, in welche Richtung knickt es und warum.
Beugung – warum du um die Ecke hörst, aber nicht um die Ecke siehst
Definition. Beugung ist die Ausbreitung einer Welle in den geometrischen Schattenraum hinter einem Hindernis oder einer Öffnung – dorthin, wo nach dem Strahlenmodell nichts ankommen dürfte. Ursache (Huygens): Jeder Punkt der Wellenfront in der Öffnung ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle, und die Elementarwellen am Rand laufen auch seitlich weiter.
Wie stark gebeugt wird, entscheidet das Verhältnis von Öffnungsbreite $d$ (oder Hindernisgröße) zur Wellenlänge $\lambda$:
| Verhältnis | Bild hinter der Öffnung | Beispiel |
|---|---|---|
| $d \lesssim \lambda$ | fast vollständige Kreiswelle, die Öffnung wirkt wie eine Punktquelle | Schall ($\lambda \approx 0{,}7\,\mathrm{m}$) durch eine offene Tür ($0{,}9\,\mathrm{m}$); Wasserwellen durch eine Hafeneinfahrt |
| $d \approx$ einige $\lambda$ | Welle läuft geradeaus weiter, mit deutlichen seitlichen Ausläufern und Minima (Einzelspalt: $\sin\alpha_n = n\lambda/d$) | Laser ($\lambda = 633\,\mathrm{nm}$) durch einen Spalt von $0{,}1\,\mathrm{mm}$ |
| $d \gg \lambda$ | scharfer Schatten, Beugung nur am Rand sichtbar | Licht durch eine Tür: $d/\lambda \approx 0{,}9\,\mathrm{m}/550\,\mathrm{nm} \approx 1{,}6\cdot 10^6$ |
Damit ist die Alltagsfrage beantwortet: Du hörst jemanden im Nachbarzimmer, weil Schall mit $\lambda = 0{,}2$ bis $2\,\mathrm{m}$ an der Tür stark gebeugt wird. Du siehst ihn nicht, weil Licht mit $\lambda \approx 5\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ an derselben Tür praktisch geradeaus läuft. Beachte auch: Tiefe Töne (große $\lambda$) werden stärker gebeugt als hohe – deshalb dringt der Bass der Party durch den Türspalt, die Stimmen klingen dumpf.
Streuung und Absorption
Streuung. Trifft eine Welle auf viele kleine Hindernisse (Staub, Wassertröpfchen, Luftmoleküle), wird jedes Hindernis zu einem Sender, der die Welle in alle Richtungen abstrahlt – im Unterschied zur Reflexion an einer glatten Fläche, die nur eine Richtung kennt. Die Frequenz bleibt. Für Hindernisse, die viel kleiner als $\lambda$ sind (Luftmoleküle und sichtbares Licht), gilt die Rayleigh-Streuung: Die gestreute Intensität wächst mit $1/\lambda^4$. Blaues Licht ($450\,\mathrm{nm}$) wird deshalb etwa $(700/450)^4 \approx 5{,}9$-mal stärker gestreut als rotes ($700\,\mathrm{nm}$).
- Blauer Himmel: Du siehst am Taghimmel gestreutes Sonnenlicht, und das ist überwiegend blau.
- Rote Abendsonne: Bei flachem Sonnenstand ist der Weg durch die Atmosphäre lang. Unterwegs wird das Blau herausgestreut, im direkten Licht bleibt Rot übrig.
- Weiße Wolken: Tröpfchen sind groß gegen $\lambda$ – dann wird nicht mehr nach Rayleigh gestreut, sondern alle Farben gleich (Mie-Streuung), das Ergebnis ist weiß.
Absorption. Beim Durchgang durch ein Medium gibt die Welle Energie an die Oszillatoren des Mediums ab, die sie als ungeordnete Bewegung – Wärme – behalten. Die Amplitude nimmt ab, Frequenz und Wellenlänge bleiben. In jeder gleich dicken Schicht geht derselbe Anteil verloren, deshalb fällt die Intensität exponentiell mit der Weglänge: $I(x) = I_0\cdot e^{-\mu x}$ – dieselbe Mathematik wie bei der Kondensatorentladung. Beispiele: Sonnencreme (UV-Absorption), getönte Scheiben, Schallschutzwände mit porösem Material, warme Farbe des Lichts in 10 m Wassertiefe (Rot wird zuerst absorbiert). Absorption ist der Grund, warum eine Welle in der Praxis nicht unendlich weit kommt – nicht die Ausbreitung selbst, die wäre bei einer ebenen Welle verlustfrei.
Erläutern-Trainer: Drei Sätze pro Eigenschaft
„Erläutern Sie …“ bringt 3–4 Punkte, wenn du Phänomen → Ursache → Bedingung/Gesetz in ganzen Sätzen schreibst. So sehen Musterantworten aus:
| Phänomen (was man beobachtet) | Ursache (warum) | Bedingung / Gesetz | |
|---|---|---|---|
| Reflexion | Die Welle läuft an der Grenzfläche zurück. | Die Oszillatoren am Ende können die Schwingung nicht weitergeben; am festen Ende erzeugt die Wand einen entgegengesetzten Gegenimpuls. | Einfallswinkel = Ausfallswinkel; festes Ende: Phasensprung $\pi$ (Knoten), loses Ende: kein Phasensprung (Bauch). |
| Brechung | Beim schrägen Übergang in ein anderes Medium knickt die Welle am Lot. | Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist im neuen Medium anders; der zuerst eintretende Teil der Front wird gebremst (oder beschleunigt), die Front schwenkt. | $\sin\alpha/\sin\beta = c_1/c_2$; $f$ bleibt, $\lambda$ ändert sich wie $c$; zum Lot hin, wenn $c_2 \lt c_1$. |
| Beugung | Die Welle breitet sich hinter einer Öffnung auch in den Schattenraum aus. | Nach Huygens ist jeder Punkt der Front in der Öffnung Ausgangspunkt einer Elementarwelle; die Randwellen laufen seitlich. | Stark, wenn $d \lesssim \lambda$ (Kreiswelle); schwach, wenn $d \gg \lambda$ (Schatten). |
| Streuung | Kleine Hindernisse leuchten/tönen in alle Richtungen. | Jedes Hindernis wird zur Quelle einer Kugelwelle mit der Frequenz der einfallenden Welle. | Für Hindernisse $\ll\lambda$: Intensität $\propto 1/\lambda^4$ (Rayleigh) – blauer Himmel, rote Abendsonne. |
| Absorption | Die Amplitude nimmt mit der Weglänge ab. | Die Oszillatoren des Mediums behalten einen Teil der Energie als Wärme. | In gleichen Schichten gleicher Anteil $\Rightarrow$ exponentielle Abnahme $I = I_0 e^{-\mu x}$; $f$ und $\lambda$ bleiben. |
Übe das laut: Nimm eine Eigenschaft, sag die drei Sätze ohne Vorlage, dann vergleiche. Wer nur den dritten Satz (die Formel) schreibt, bekommt den dritten Punkt – und verliert zwei.
Simulation: Reflexion eines Pulses – und Beugung an einer Öffnung
Modus Reflexion: Ein Puls läuft nach rechts und wird am Seilende reflektiert; hellgrau der gedachte Gegenpuls, farbig das wirkliche Seil. Modus Beugung: ebene Fronten treffen auf eine Öffnung, dahinter die Huygens-Elementarwellen.
- Festes Ende: Stoppe kurz, bevor der Puls die Wand erreicht. Sag vorher, welche Auslenkung die Wand hat, während der Puls dort ist, und wie der reflektierte Puls aussieht. Dann weiterlaufen lassen.
- Loses Ende: Wie groß ist die Auslenkung des Endes im Moment der Reflexion im Vergleich zur Pulshöhe? Begründe mit der Überlagerung von Puls und Gegenpuls.
- Erzeuge mit dem Knopf einen Sinus-Wellenzug statt eines Pulses und warte, bis die reflektierte Welle zurückläuft. Woran erkennst du Knoten und Bäuche – und wo liegt am festen Ende der erste Knoten?
- Beugung: Stelle $d = 0{,}5\lambda$, $d = 2\lambda$ und $d = 8\lambda$ ein. Beschreibe in je einem Satz das Bild hinter der Öffnung und ordne zu: Schall an der Tür, Licht an der Tür.
Herleitung: Phasensprung am festen Ende – mit der Methode des gedachten Gegenpulses
Keine Formelherleitung, sondern eine Argumentationskette, die in der Klausur als „Erläutern Sie, warum am festen Ende ein Phasensprung von $\pi$ auftritt“ abgefragt wird. Skizze dazu: Seil mit Wand rechts, ankommender Berg, gestrichelt der gespiegelte Gegenpuls hinter der Wand.
- Ein Berg (Puls mit Auslenkung $+\hat y$) läuft auf ein festes Ende zu. Das feste Ende ist ein Punkt, dessen Auslenkung zu jeder Zeit null ist – das ist die Randbedingung.$$ y(L,t) = 0\quad\text{für alle } t $$
- Die Seilform ist nach dem Superpositionsprinzip die Summe aus ankommendem Puls $y_{\text{ein}}$ und reflektiertem Puls $y_{\text{ref}}$. Am Ende muss die Summe verschwinden:$$ y_{\text{ein}}(L,t) + y_{\text{ref}}(L,t) = 0\quad\Rightarrow\quad y_{\text{ref}}(L,t) = -y_{\text{ein}}(L,t) $$
- Der reflektierte Puls hat also an der Wand zu jedem Zeitpunkt die entgegengesetzte Auslenkung wie der ankommende: Aus dem Berg wird ein Tal. Man kann ihn sich als gedachten Gegenpuls vorstellen, der von jenseits der Wand kommt – punktgespiegelt an der Wand (auf den Kopf gestellt und seitenverkehrt).
- Für eine Sinuswelle bedeutet „Vorzeichen umkehren“ einen Phasenunterschied von $\pi$, denn $-\sin\varphi = \sin(\varphi + \pi)$. Das entspricht einem Gangunterschied von $\lambda/2$.$$ -\hat y\sin(\omega t) = \hat y\sin(\omega t + \pi) $$
- Physikalische Ursache: Der Berg zieht die Wand nach oben; nach dem Wechselwirkungsprinzip zieht die Wand das Seil mit gleich großer Kraft nach unten. Dieser Kraftstoß erzeugt den nach unten gerichteten Rücklaufpuls. Am losen Ende fehlt diese Gegenkraft – der Ring folgt frei, schwingt auf $2\hat y$ über, und der Puls kehrt mit gleichem Vorzeichen zurück: kein Phasensprung.
Formeln, die du sicher können musst
| Größe / Gesetz | Formel | Was sie sagt · wann sie gilt |
|---|---|---|
| Reflexionsgesetz | $\alpha' = \alpha$ | Winkel zum Lot; Richtung ändert sich, $\lambda$, $f$ bleiben |
| Festes Ende | $\Delta\varphi = \pi\ \ \widehat{=}\ \ \Delta s = \tfrac{\lambda}{2}$ | Berg wird Tal; Knoten am Ende; Reflexion am dichteren Medium analog |
| Loses Ende | $\Delta\varphi = 0$ | Berg bleibt Berg; Bauch am Ende (Auslenkung bis $2\hat y$) |
| Brechung: was bleibt | $f_1 = f_2$ | Erreger gibt den Takt vor – auch über die Grenzfläche hinweg |
| Brechung: was sich ändert | $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} = \dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ | zum Lot hin, wenn $c_2 \lt c_1$; Herleitung auf Seite Huygens |
| Beugung: Maß | $\dfrac{d}{\lambda}$ | $\lesssim 1$: Kreiswelle (stark); $\gg 1$: Schatten (schwach) |
| Einzelspalt-Minima | $\sin\alpha_n = \dfrac{n\lambda}{d}$ | $n = 1, 2, \dots$ (Regelheft); quantitative Beugung, eigene Seite |
| Rayleigh-Streuung | $I_{\text{gestreut}} \propto \dfrac{1}{\lambda^4}$ | Hindernisse $\ll\lambda$; blau $\approx 6$-mal stärker als rot |
| Absorption | $I(x) = I_0\,e^{-\mu x}$ | gleicher Anteil pro Schicht $\Rightarrow$ exponentiell; $\ln I$ gegen $x$ ist eine Gerade |
Typische Fehler – und wie du die Punkte holst
- „Bei der Brechung ändert sich die Frequenz, deshalb ändert sich die Farbe.“Die Frequenz bleibt – die Oszillatoren hinter der Grenze werden von denen davor im Takt des Erregers angetrieben. Es ändern sich $c$ (Medium) und $\lambda = c/f$. Die Farbe hängt an $f$, deshalb sieht Rot unter Wasser rot aus.
- Phasensprung am falschen Ende: „Am losen Ende springt die Phase um $\pi$.“Festes Ende: Auslenkung muss null sein $\Rightarrow$ Gegenpuls umgekehrt $\Rightarrow$ Phasensprung $\pi$, Knoten. Loses Ende: Ende schwingt frei (bis $2\hat y$) $\Rightarrow$ kein Phasensprung, Bauch. Merke: fest–Knoten–$\pi$.
- Einfalls- und Ausfallswinkel zur Grenzfläche statt zum Lot gemessen.Alle Winkel in der Wellenlehre werden zum Lot gemessen – beim Reflexionsgesetz, beim Brechungsgesetz und beim Grenzwinkel der Totalreflexion. Lot einzeichnen, Winkel beschriften, dann rechnen.
- Beugung und Brechung verwechselt („Das Licht wird am Spalt gebrochen“).Brechung: Richtungsänderung durch Geschwindigkeitswechsel an einer Grenzfläche. Beugung: Ausbreitung in den Schattenraum hinter Hindernissen, kein Medienwechsel nötig. Am Spalt wird gebeugt, an der Linse gebrochen.
- „Licht wird an der Tür nicht gebeugt, weil es zu schnell ist.“Entscheidend ist allein das Verhältnis $d/\lambda$: Für Licht ist $d/\lambda \approx 10^6$ (Schatten), für Schall $d/\lambda \approx 1$ (Kreiswelle). Mit der Geschwindigkeit hat das nichts zu tun. Immer diese Zahl nennen.
- Streuung als „Reflexion an vielen kleinen Spiegeln“ in eine Richtung beschrieben; Rayleigh-Abhängigkeit vergessen.Streuzentren strahlen Kugelwellen in alle Richtungen ab. Für Teilchen $\ll\lambda$ ist die Intensität $\propto 1/\lambda^4$ – ohne diesen Satz lässt sich weder der blaue Himmel noch die rote Abendsonne erklären.
- Absorption als lineare Abnahme gerechnet („pro Scheibe gehen 18 % des Anfangswerts verloren“).Pro Schicht bleibt derselbe Faktor (hier $0{,}82$) übrig, nicht derselbe Betrag: $I_n = I_0\cdot 0{,}82^n$. Prüfe Messwerte über konstante Quotienten oder über $\ln I$ gegen $n$ (Gerade).
- Erläutern (jede der fünf Eigenschaften, Phasensprung, „warum hört man um die Ecke“): drei Sätze Phänomen → Ursache → Bedingung, mit Fachbegriffen Grenzfläche, Lot, Elementarwelle, Schattenraum, Phasensprung.
- Beschreiben (Versuch in der Wellenwanne): Aufbau (Erreger, Hindernis, Glasplatte), Beobachtung (Form der Fronten, Richtung), ohne Erklärung – die kommt erst beim „Erläutern“.
- Begründen (Knoten am festen Ende, Bauch am losen): Randbedingung nennen ($y = 0$ bzw. freie Beweglichkeit), Superposition von Puls und Gegenpuls, Folgerung.
- Berechnen ($\lambda$ in einem Medium, $d/\lambda$, Abnahme bei Absorption): Formel, Einsetzen mit Einheiten, SCI-3, Antwortsatz, Plausibilität (ist $\lambda$ im langsameren Medium wirklich kleiner?).
5 harte Fragen – hast du es wirklich verstanden?
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Puls am Seilende – Skizzen und Begründung
Auf einem $6{,}0\,\mathrm{m}$ langen Seil läuft ein einzelner Wellenberg (Breite $0{,}5\,\mathrm{m}$, Höhe $4\,\mathrm{cm}$) mit $c = 4{,}0\,\mathrm{m/s}$ nach rechts. Zur Zeit $t = 0$ ist seine Mitte bei $x = 1{,}0\,\mathrm{m}$; das rechte Ende bei $x = 6{,}0\,\mathrm{m}$ ist an der Wand befestigt.
- Skizziere das Seil zu den Zeitpunkten $t = 0$ und $t = 2{,}0\,\mathrm{s}$ und begründe die Lage und Form des Pulses zur Zeit $t = 2{,}0\,\mathrm{s}$.
- Erläutere mit der Methode des gedachten Gegenpulses, warum die Auslenkung an der Wand während der Reflexion stets null bleibt.
- Das Seilende wird nun an einen reibungsfrei gleitenden Ring gehängt. Beschreibe die Änderungen in deiner Skizze für $t = 2{,}0\,\mathrm{s}$ und gib die maximale Auslenkung des Rings während der Reflexion an.
- 3 Pa) Weg in $2{,}0\,\mathrm{s}$: $8{,}0\,\mathrm{m}$, davon $5{,}0\,\mathrm{m}$ bis zur Wand, $3{,}0\,\mathrm{m}$ zurück $\Rightarrow$ Mitte bei $x = 3{,}0\,\mathrm{m}$, läuft nach links; Skizze zeigt Tal ($-4\,\mathrm{cm}$) wegen Phasensprung am festen Ende
- 3 Pb) Randbedingung $y(6{,}0\,\mathrm{m},t) = 0$; Seilform = Summe aus Puls und gespiegeltem Gegenpuls (Tal, von rechts kommend); an der Wand heben sich beide zu jedem Zeitpunkt auf; Ursache: Gegenkraft der Wand
- 2 Pc) loses Ende: kein Phasensprung, Puls bei $x = 3{,}0\,\mathrm{m}$ als Berg; Ring schwingt auf $2\cdot 4\,\mathrm{cm} = 8\,\mathrm{cm}$ über (Puls + aufrechter Gegenpuls)
a) In $2{,}0\,\mathrm{s}$ legt der Puls $s = c\cdot t = 4{,}0\,\mathrm{m/s}\cdot 2{,}0\,\mathrm{s} = 8{,}0\,\mathrm{m}$ zurück. Bis zur Wand sind es von $x = 1{,}0\,\mathrm{m}$ aus $5{,}0\,\mathrm{m}$; die restlichen $3{,}0\,\mathrm{m}$ läuft er nach der Reflexion zurück. Zur Zeit $t = 2{,}0\,\mathrm{s}$ ist die Pulsmitte also bei $x = 6{,}0\,\mathrm{m} - 3{,}0\,\mathrm{m} = 3{,}0\,\mathrm{m}$ und bewegt sich nach links. Skizze $t = 0$: Berg ($+4\,\mathrm{cm}$) bei $1{,}0\,\mathrm{m}$, Pfeil nach rechts. Skizze $t = 2{,}0\,\mathrm{s}$: Tal ($-4\,\mathrm{cm}$) bei $3{,}0\,\mathrm{m}$, Pfeil nach links. Das Tal entsteht, weil am festen Ende ein Phasensprung von $\pi$ auftritt: Die Wand kann nicht ausgelenkt werden und wirft den Puls mit umgekehrtem Vorzeichen zurück. Breite ($0{,}5\,\mathrm{m}$) und Betrag der Höhe bleiben erhalten.
b) Am festen Ende gilt die Randbedingung $y(6{,}0\,\mathrm{m}, t) = 0$ für alle $t$. Die wirkliche Seilform ist nach dem Superpositionsprinzip die Summe aus dem ankommenden Puls und dem reflektierten Puls. Man denkt sich den reflektierten Puls als Gegenpuls, der von jenseits der Wand kommt und an der Wand punktgespiegelt ist: ein Tal gleicher Breite, das nach links läuft. Erreichen Berg und Tal die Wand, haben sie dort zu jedem Zeitpunkt entgegengesetzt gleiche Auslenkung, ihre Summe ist null – die Wand bleibt in Ruhe. Physikalisch: Der Berg zieht an der Wand nach oben; die Wand zieht nach dem Wechselwirkungsprinzip mit gleich großer Kraft nach unten und erzeugt so den Tal-Puls.
c) Am losen Ende gibt es keinen Phasensprung: Der gedachte Gegenpuls ist das aufrechte Spiegelbild. In der Skizze für $t = 2{,}0\,\mathrm{s}$ steht der Puls wieder bei $x = 3{,}0\,\mathrm{m}$, läuft nach links – aber als Berg mit $+4\,\mathrm{cm}$. Während der Reflexion überlagern sich am Ring Puls und Gegenpuls gleichsinnig: Die maximale Auslenkung des Rings beträgt $2\cdot 4\,\mathrm{cm} = 8\,\mathrm{cm}$, das Doppelte der Pulshöhe.
Schall und Licht an der Tür – Beugung und Brechung
Im Nachbarraum spricht jemand, die Tür ($b = 0{,}90\,\mathrm{m}$ breit) steht offen. Du stehst seitlich neben der Tür, außerhalb der geraden Sichtlinie. Schallgeschwindigkeit $c = 343\,\mathrm{m/s}$, Wellenlänge von grünem Licht $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$.
- Berechne die Wellenlängen von Schall bei $f = 500\,\mathrm{Hz}$ und bei $f = 5{,}0\,\mathrm{kHz}$ sowie die Verhältnisse $b/\lambda$ für beide Töne und für grünes Licht.
- Erläutere mit den Ergebnissen aus a), warum du die Person hörst, aber nicht siehst, und warum ihre Stimme „dumpf“ klingt.
- Jetzt wird die Tür geschlossen; das Holz hat die Dicke $4\,\mathrm{cm}$ und für Schall eine deutlich höhere Ausbreitungsgeschwindigkeit als Luft. Nenne die drei Vorgänge, die der Schall an der Tür erfährt, und begründe für jeden, was mit der Frequenz geschieht.
- 3 Pa) $\lambda_{500} = 0{,}686\,\mathrm{m}$, $\lambda_{5000} = 0{,}0686\,\mathrm{m}$; $b/\lambda$: $1{,}31$ (500 Hz), $13{,}1$ (5 kHz), $1{,}64\cdot 10^6$ (Licht), mit Einheiten
- 3 Pb) Beugung stark für $b/\lambda \approx 1$ (Kreiswelle in den Schattenraum $\Rightarrow$ hörbar), vernachlässigbar für $b/\lambda \approx 10^6$ (Schatten $\Rightarrow$ nicht sichtbar); hohe Frequenzen ($b/\lambda \approx 13$) werden schwächer gebeugt als tiefe $\Rightarrow$ Höhen fehlen, Klang dumpf
- 3 Pc) Reflexion (Großteil, Luft–Holz ist annähernd „festes Ende“), Brechung/Transmission ins Holz und zurück in Luft (Richtung zum Lot/vom Lot, $\lambda$ ändert sich), Absorption im Holz (Energie $\to$ Wärme); Frequenz bleibt in allen drei Fällen, weil die Oszillatoren vom Erreger im Takt gehalten werden
a) $\lambda = c/f$. Für $500\,\mathrm{Hz}$: $\lambda = \dfrac{343\,\mathrm{m/s}}{500\,\mathrm{Hz}} = 0{,}686\,\mathrm{m}$; für $5{,}0\,\mathrm{kHz}$: $\lambda = \dfrac{343\,\mathrm{m/s}}{5000\,\mathrm{Hz}} = 0{,}0686\,\mathrm{m} = 6{,}86\,\mathrm{cm}$. Verhältnisse: $\dfrac{b}{\lambda_{500}} = \dfrac{0{,}90}{0{,}686} = 1{,}31$; $\dfrac{b}{\lambda_{5000}} = \dfrac{0{,}90}{0{,}0686} = 13{,}1$; Licht: $\dfrac{b}{\lambda} = \dfrac{0{,}90\,\mathrm{m}}{5{,}50\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 1{,}64\cdot 10^{6}$.
b) Ob eine Welle in den Schattenraum hinter einer Öffnung gelangt, entscheidet das Verhältnis $b/\lambda$. Für den tiefen Ton ist $b/\lambda \approx 1{,}3$: Die Türöffnung ist etwa so groß wie die Wellenlänge, nach Huygens wirkt sie wie eine neue Quelle, hinter ihr breitet sich fast eine Kreiswelle aus – der Schall erreicht dich auch seitlich. Für Licht ist $b/\lambda \approx 10^6$: Die Elementarwellen aus der Öffnung überlagern sich nur in Geradeausrichtung konstruktiv, hinter der Tür entsteht ein scharfer Schatten, Beugung ist nur in einem Winkelbereich von $\lambda/b \approx 10^{-6}$ (Bogenmaß) bemerkbar. Deshalb hörst du die Person, siehst sie aber nicht. Hohe Töne ($b/\lambda \approx 13$) werden deutlich schwächer in den Schattenraum gebeugt als tiefe: Seitlich der Tür kommen vor allem die tiefen Anteile an, die Höhen fehlen – die Stimme klingt dumpf.
c) Reflexion: Der größte Teil der Schallenergie wird an der Oberfläche zurückgeworfen; Holz ist für Luftschall nahezu ein festes Ende (die Oszillatoren der Luft können die Holzoberfläche kaum bewegen), die reflektierte Auslenkungswelle der Luftteilchen hat einen Phasensprung (die Druckwelle dagegen nicht – am festen Ende liegt ein Druckbauch). Brechung (Transmission): Ein kleiner Teil tritt ins Holz über, wo $c$ größer ist – der Strahl knickt vom Lot weg, die Wellenlänge wird größer, beim Austritt in die Luft kehrt sich beides um. Absorption: Im Holz wird ein Teil der Schwingungsenergie in Wärme umgewandelt, die Amplitude nimmt exponentiell mit der Dicke ab. In allen drei Fällen bleibt die Frequenz erhalten: Jeder Oszillator – ob in Luft oder Holz – wird vom ankommenden Nachbarn angestoßen und schwingt daher im Takt des Erregers. Man hört die Stimme deshalb leiser und dumpfer, aber nicht in anderer Tonhöhe.
Absorption messen und Rayleigh-Streuung beurteilen
Ein Laserstrahl ($\lambda = 633\,\mathrm{nm}$) durchläuft $n$ gleich dicke, leicht getönte Glasplatten. Die Intensität hinter den Platten wird in Prozent des Anfangswerts gemessen (Unsicherheit je $\pm 2\,\%$-Punkte):
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $I$ in % | 100 | 82 | 67 | 55 | 45 |
- Zeige, dass die Messwerte mit einer exponentiellen Abnahme verträglich sind, und bestimme den Transmissionsfaktor pro Platte sowie die Zahl der Platten, nach der die Intensität auf die Hälfte gefallen ist.
- Begründe, warum Absorption zu einer exponentiellen und nicht zu einer linearen Abnahme führt.
- Der Himmel erscheint tagsüber blau, die untergehende Sonne rot. Erläutere beide Beobachtungen mit der Rayleigh-Streuung und berechne, um welchen Faktor Licht mit $450\,\mathrm{nm}$ stärker gestreut wird als Licht mit $650\,\mathrm{nm}$.
- 3 Pa) Quotienten $I_{n+1}/I_n$: $0{,}82$; $0{,}817$; $0{,}821$; $0{,}818$ – innerhalb der Unsicherheit konstant (oder $\ln I$ gegen $n$ linear, Steigung $-0{,}200$) $\Rightarrow$ exponentiell; Faktor $0{,}82$ pro Platte; Halbwert nach $n = \ln 0{,}5/\ln 0{,}82 = 3{,}5$ Platten
- 2 Pb) jede Schicht absorbiert denselben Anteil der ankommenden Intensität (gleiche Zahl absorbierender Teilchen) $\Rightarrow$ $I_{n+1} = q\,I_n$ $\Rightarrow$ $I_n = I_0 q^n$; linear wäre „gleicher Betrag pro Schicht“ und würde negative Werte liefern
- 4 Pc) Luftmoleküle $\ll\lambda$ streuen in alle Richtungen mit $I\propto 1/\lambda^4$; Himmel = gestreutes Licht $\Rightarrow$ blau; bei flachem Sonnenstand langer Weg, Blau herausgestreut, direktes Licht rot; Faktor $(650/450)^4 = 4{,}35$
a) Bei exponentieller Abnahme ist der Quotient benachbarter Werte konstant: $\dfrac{82}{100} = 0{,}820$; $\dfrac{67}{82} = 0{,}817$; $\dfrac{55}{67} = 0{,}821$; $\dfrac{45}{55} = 0{,}818$. Mit $\pm 2\,\%$-Punkten Unsicherheit (also etwa $\pm 0{,}03$ im Quotienten) sind die Werte innerhalb der Messgenauigkeit gleich – die Abnahme ist exponentiell. Alternativ: $\ln I = 4{,}605;\ 4{,}407;\ 4{,}205;\ 4{,}007;\ 3{,}807$ – die Differenzen sind jeweils $0{,}20$, die Punkte liegen im $\ln I$-$n$-Diagramm auf einer Geraden mit Steigung $-0{,}200$. Transmissionsfaktor pro Platte: Mittelwert $q = 0{,}819 \approx 0{,}82$ (bzw. $e^{-0{,}200} = 0{,}819$). Modell: $I_n = I_0\cdot 0{,}82^n$; Kontrolle: $100\cdot 0{,}82^4 = 45{,}2$ – passt. Halbwert: $0{,}82^n = 0{,}5$ $\Rightarrow$ $n = \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}82} = \dfrac{-0{,}693}{-0{,}198} = 3{,}5$. Nach etwa $3{,}5$ Platten ist die Intensität halbiert (nach 3 Platten noch $55\,\%$, nach 4 noch $45\,\%$).
b) Jede Platte enthält gleich viele absorbierende Teilchen. Jedes Teilchen nimmt der ankommenden Welle einen festen Bruchteil ihrer Energie – wie viel absolut, hängt davon ab, wie viel ankommt. Also gilt für jede Platte $I_{n+1} = q\cdot I_n$ mit demselben $q$, und nach $n$ Platten $I_n = I_0\,q^n = I_0\,e^{n\ln q}$ – eine Exponentialfunktion. Eine lineare Abnahme würde bedeuten, dass jede Platte denselben Betrag (hier 18 %-Punkte) schluckt, unabhängig davon, wie viel Licht noch ankommt; nach 6 Platten wäre die Intensität negativ – physikalisch unmöglich.
c) Luftmoleküle sind viel kleiner als die Lichtwellenlänge. Sie werden vom Sonnenlicht zu Schwingungen angeregt und strahlen als Streuzentren Kugelwellen in alle Richtungen ab, wobei die gestreute Intensität nach Rayleigh $\propto 1/\lambda^4$ ist. Blauer Himmel: Blickt man tagsüber nicht in die Sonne, sieht man nur gestreutes Licht – und das ist überwiegend kurzwellig, also blau. Rote Abendsonne: Bei flachem Sonnenstand ist der Weg durch die Atmosphäre vielfach länger; auf diesem Weg wird der blaue Anteil weitgehend herausgestreut, im direkten Licht, das das Auge erreicht, überwiegt Rot. Faktor: $\left(\dfrac{650\,\mathrm{nm}}{450\,\mathrm{nm}}\right)^4 = 1{,}444^4 = 4{,}35$. Blaues Licht mit $450\,\mathrm{nm}$ wird etwa $4{,}4$-mal stärker gestreut als rotes mit $650\,\mathrm{nm}$.
Licht geht aus Luft in Glas über ($n = 1{,}5$). Welche Aussage über die Welle im Glas ist richtig?
Ein Wellenberg läuft auf einem Seil auf ein loses Ende (frei gleitender Ring) zu. Was gilt für den reflektierten Puls und das Seilende?
Meine Notizen zu „Eigenschaften von Wellen: Absorption, Reflexion, Brechung, Beugung, Streuung“
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