Kreisbewegung & Zentripetalkraft

• 3 Pa) Skizze: Gewichtskraft $mg$ senkrecht nach unten, Kettenkraft $F_S$ entlang der Kette, kein zusätzlicher $F_z$-Pfeil; Zerlegung $F_S\cos\varphi = mg$ (vertikal, keine Beschleunigung) und $F_S\sin\varphi = mv^2/r$ (horizontale Resultierende = Zentripetalkraft); Division ⇒ $\tan\varphi = v^2/(rg)$
• 3 Pb) $r = R_0 + L\sin\varphi = 5{,}5\,\mathrm{m}$; $v = \sqrt{rg\tan\varphi} = 5{,}58\,\mathrm{m/s}$; $T = 2\pi r/v = 6{,}19\,\mathrm{s}$; $F_S = mg/\cos\varphi = 680\,\mathrm{N}$
• 2 Pc) $\varphi = 28^\circ$: $T = 6{,}36\,\mathrm{s}$; $\varphi = 32^\circ$: $T = 6{,}03\,\mathrm{s}$ ⇒ $T = (6{,}2\pm 0{,}2)\,\mathrm{s}$
• 2 Pc) Aussage falsch: In $\tan\varphi = \omega^2 r/g$ kommt $m$ nicht vor (kürzt sich aus beiden Komponentengleichungen); bei gleicher Drehzahl gleicher Winkel, gleicher Radius; nur die Kettenkraft verdoppelt sich

a) Skizze: Drehachse senkrecht, Aufhängung im Abstand $R_0$, Kette unter $\varphi$ zur Senkrechten, Sitz am Ende; Kreisbahn horizontal mit Radius $r = R_0 + L\sin\varphi$ und Mittelpunkt auf der Achse. Am Sitz greifen genau zwei Kräfte an: die Gewichtskraft $mg$ senkrecht nach unten und die Kettenkraft $F_S$ entlang der Kette schräg nach oben.

Der Sitz bewegt sich in einer horizontalen Ebene, hat also vertikal keine Beschleunigung: Die vertikale Komponente der Kettenkraft trägt das Gewicht, $F_S\cos\varphi = mg$. Horizontal wirkt nur die horizontale Komponente der Kettenkraft; sie zeigt zur Achse und ist die resultierende Kraft, die die Kreisbahn erzwingt – sie übernimmt die Rolle der Zentripetalkraft: $F_S\sin\varphi = \dfrac{mv^2}{r}$. Division der zweiten durch die erste Gleichung: $$\frac{F_S\sin\varphi}{F_S\cos\varphi} = \frac{mv^2/r}{mg}\qquad\Rightarrow\qquad \tan\varphi = \frac{v^2}{r\,g},$$ was zu zeigen war. Masse und Kettenkraft kürzen sich heraus.

b) Radius: $r = R_0 + L\sin\varphi = 3{,}0\,\mathrm{m} + 5{,}0\,\mathrm{m}\cdot\sin 30^\circ = 5{,}5\,\mathrm{m}$.
Geschwindigkeit: $v = \sqrt{r g\tan\varphi} = \sqrt{5{,}5\,\mathrm{m}\cdot 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot\tan 30^\circ} = \sqrt{31{,}2}\,\mathrm{m/s} = 5{,}58\,\mathrm{m/s}$.
Umlaufdauer: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi\cdot 5{,}5\,\mathrm{m}}{5{,}58\,\mathrm{m/s}} = 6{,}19\,\mathrm{s}$.
Kettenkraft: $F_S = \dfrac{mg}{\cos\varphi} = \dfrac{60\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}{\cos 30^\circ} = 680\,\mathrm{N}$ (Kontrolle: $F_S\sin 30^\circ = 340\,\mathrm{N}$ und $mv^2/r = 60\cdot 31{,}2/5{,}5\,\mathrm{N} = 340\,\mathrm{N}$ – stimmt).
Der Sitz läuft mit $5{,}58\,\mathrm{m/s}$ auf einem Kreis von $5{,}5\,\mathrm{m}$ Radius, ein Umlauf dauert $6{,}2\,\mathrm{s}$, die Kette wird mit $680\,\mathrm{N}$ belastet – etwa das $1{,}15$-fache des Gewichts.

c) Für $\varphi = 28^\circ$: $r = 5{,}35\,\mathrm{m}$, $v = \sqrt{5{,}35\cdot 9{,}81\cdot\tan 28^\circ}\,\mathrm{m/s} = 5{,}28\,\mathrm{m/s}$, $T = 6{,}36\,\mathrm{s}$. Für $\varphi = 32^\circ$: $r = 5{,}65\,\mathrm{m}$, $v = 5{,}88\,\mathrm{m/s}$, $T = 6{,}03\,\mathrm{s}$. Die Umlaufdauer liegt also bei $T = (6{,}2\pm 0{,}2)\,\mathrm{s}$ – schon $\pm 2^\circ$ Ablesefehler beim Winkel machen $3\,\%$ in $T$ aus; eine direkte Zeitmessung (mehrere Umläufe stoppen) wäre genauer.

Beurteilung: Die Behauptung ist falsch. Bei gleicher Drehzahl ist $\omega$ gleich, und aus $\tan\varphi = \dfrac{v^2}{rg} = \dfrac{\omega^2 r}{g}$ mit $r = R_0 + L\sin\varphi$ folgt der Winkel $\varphi$ ohne jede Abhängigkeit von $m$ – die Masse kürzt sich aus beiden Komponentengleichungen heraus. Schwerer und leichter Fahrgast hängen gleich schräg und laufen auf demselben Radius. Was sich verdoppelt, ist die Kettenkraft $F_S = mg/\cos\varphi$, nicht der Winkel. (Anschaulich: Die doppelte Masse braucht die doppelte Zentripetalkraft, bekommt aber auch die doppelte Gewichtskraft – das Verhältnis beider, und damit der Winkel, bleibt.)

• 3 Pa) Skizze $P_1$, $P_2$, $\vec v_1$, $\vec v_2$, $\Delta\vec v$; ähnliche gleichschenklige Dreiecke mit Spitzenwinkel $\Delta\varphi$: $\Delta v/v = \Delta s/r$; $\Delta s = v\Delta t$ ⇒ $a = \Delta v/\Delta t = v^2/r$; Richtung: für $\Delta t\to 0$ steht $\Delta\vec v$ senkrecht auf $\vec v$, zum Mittelpunkt
• 3 Pb) Oben: Gewichtskraft und Normalkraft beide nach unten (zum Mittelpunkt), Summe = $mv^2/r$; Schiene kann nur drücken: $F_N\ge 0$ ⇒ $mg \le mv^2/r$ ⇒ $v_{min} = \sqrt{gr} = 8{,}86\,\mathrm{m/s}$
• 2 Pc) $F_N = mv^2/r - mg = 1260\,\mathrm{N} - 687\,\mathrm{N} = 573\,\mathrm{N}$, Schiene drückt von oben mit dem $0{,}83$-fachen Gewicht; Insasse wird in den Sitz gedrückt (kein Herausfallen)

a) Skizze: Kreis mit Mittelpunkt $M$, zwei nahe Bahnpunkte $P_1$ und $P_2$ (Winkel $\Delta\varphi$ zwischen den Radien), an beiden die tangentialen Geschwindigkeitspfeile gleicher Länge $v$; daneben beide Pfeile mit gemeinsamem Anfangspunkt und der Differenzvektor $\Delta\vec v$ von der Spitze von $\vec v_1$ zur Spitze von $\vec v_2$.

In der Zeit $\Delta t$ legt der Körper den Bogen $\Delta s = v\Delta t$ zurück. Da $\vec v_1\perp MP_1$ und $\vec v_2\perp MP_2$, schließen die Geschwindigkeiten denselben Winkel $\Delta\varphi$ ein wie die Radien. Das Dreieck ($\vec v_1$, $\vec v_2$, $\Delta\vec v$) und das Dreieck ($MP_1$, $MP_2$, Sehne) sind beide gleichschenklig mit Spitzenwinkel $\Delta\varphi$, also ähnlich: $\dfrac{\Delta v}{v} = \dfrac{\overline{P_1P_2}}{r}$. Für kleines $\Delta t$ ist die Sehne gleich dem Bogen, $\overline{P_1P_2}\approx\Delta s = v\Delta t$, also $\Delta v = \dfrac{v^2}{r}\Delta t$ und $$a_z = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}.$$ Richtung: Die Basiswinkel des Geschwindigkeitsdreiecks sind $\tfrac12(180^\circ - \Delta\varphi)$ und gehen für $\Delta\varphi\to 0$ gegen $90^\circ$; $\Delta\vec v$ steht dann senkrecht auf $\vec v$, zeigt also entlang des Radius – nach innen, weil $\vec v_2$ gegenüber $\vec v_1$ zum Kreisinneren gedreht ist. Die Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt, was zu zeigen war.

b) Im höchsten Punkt greifen zwei Kräfte an: die Gewichtskraft $mg$ (nach unten) und die Normalkraft $F_N$ der Schiene (nach unten, weil die Schiene von oben auf den Wagen drückt). Beide zeigen zum Mittelpunkt des Loopings; ihre Summe ist die resultierende Kraft, die die Kreisbahn erzwingt: $F_N + mg = \dfrac{mv^2}{r}$. Die Schiene kann nur drücken, nicht ziehen: $F_N\ge 0$. Grenzfall $F_N = 0$: $mg = \dfrac{mv^2}{r}$, also $$v_{min} = \sqrt{g\,r} = \sqrt{9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot 8{,}0\,\mathrm{m}} = 8{,}86\,\mathrm{m/s}.$$ Unterhalb von $8{,}9\,\mathrm{m/s}$ ($32\,\mathrm{km/h}$) reicht die Gewichtskraft allein schon für mehr Krümmung, als die Bahn hat – der Wagen würde sich von der Schiene lösen und eine Wurfparabel nach innen fliegen. Die Mindestgeschwindigkeit ist unabhängig von der Masse.

c) $F_N = \dfrac{mv^2}{r} - mg = \dfrac{70\,\mathrm{kg}\cdot(12\,\mathrm{m/s})^2}{8{,}0\,\mathrm{m}} - 70\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{m/s^2} = 1260\,\mathrm{N} - 687\,\mathrm{N} = 573\,\mathrm{N}$. Der Sitz drückt den Insassen im höchsten Punkt mit $573\,\mathrm{N}$ nach unten (zum Mittelpunkt) – das ist das $0{,}83$-fache seines Gewichts. Er wird also auch kopfüber fest in den Sitz gedrückt und fällt nicht heraus; sein Körper „fühlt“ $1260\,\mathrm{N}$ Gesamtkraft zum Mittelpunkt, also $1{,}8\,g$.

• 3 Pa) Gravitation als einzige Kraft = Zentripetalkraft: $GMm/r^2 = mv^2/r$ ⇒ $v = \sqrt{GM/r}$ ($m$ kürzt sich); $r = R_E + h = 6{,}77\cdot 10^6\,\mathrm{m}$; $v = 7{,}67\cdot 10^3\,\mathrm{m/s}$; $T = 2\pi r/v = 5{,}55\cdot 10^3\,\mathrm{s} = 92{,}4\,\mathrm{min}$
• 3 Pb) $g_h = GM/r^2 = 8{,}69\,\mathrm{m/s^2}$ ($89\,\%$ von $g$); Aussage falsch – Schwerelosigkeit, weil Station und Astronaut im freien Fall mit derselben Beschleunigung um die Erde „fallen“ (Gravitation ist genau die Zentripetalkraft, keine Stützkraft)
• 2 Pc) $a_z = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2} = 2{,}72\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m/s^2}$
• 2 Pc) $g/a_z = 3600$ und $(r/R_E)^2 = 3630$ bzw. $GM/r^2 = 2{,}70\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m/s^2}$ – Abweichung $\approx 1\,\%$: verträglich mit $F\propto 1/r^2$ (Newtons „Mondrechnung“)

a) Auf den Satelliten wirkt nur die Gravitationskraft $F_G = G\dfrac{Mm}{r^2}$, gerichtet zum Erdmittelpunkt. Für eine Kreisbahn muss die resultierende Kraft zum Mittelpunkt den Betrag $mv^2/r$ haben; die Gravitation übernimmt also die Rolle der Zentripetalkraft: $$G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}\qquad\Rightarrow\qquad v^2 = \frac{GM}{r}\qquad\Rightarrow\qquad v = \sqrt{\frac{GM}{r}},$$ unabhängig von der Satellitenmasse, was zu zeigen war. Mit $r = R_E + h = 6{,}371\cdot 10^6\,\mathrm{m} + 0{,}400\cdot 10^6\,\mathrm{m} = 6{,}771\cdot 10^6\,\mathrm{m}$: $$v = \sqrt{\frac{6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}972\cdot 10^{24}}{6{,}771\cdot 10^6}}\,\mathrm{m/s} = \sqrt{5{,}886\cdot 10^7}\,\mathrm{m/s} = 7{,}67\cdot 10^{3}\,\mathrm{m/s},\qquad T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 6{,}771\cdot 10^6\,\mathrm{m}}{7{,}67\cdot 10^3\,\mathrm{m/s}} = 5{,}55\cdot 10^3\,\mathrm{s} = 92{,}4\,\mathrm{min}.$$ Die ISS fliegt mit $7{,}67\,\mathrm{km/s}$ ($27\,600\,\mathrm{km/h}$) und braucht $92\,\mathrm{min}$ für einen Umlauf – knapp 16 Umläufe pro Tag.

b) Fallbeschleunigung in der Höhe $h$: $g_h = \dfrac{GM}{r^2} = \dfrac{6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}972\cdot 10^{24}}{(6{,}771\cdot 10^6)^2}\,\mathrm{m/s^2} = 8{,}69\,\mathrm{m/s^2}$ – das sind $89\,\%$ des Wertes an der Erdoberfläche. Die Anziehung ist also keineswegs „praktisch null“; die Aussage ist falsch. Schwerelosigkeit entsteht, weil Station und Astronaut beide genau mit $g_h$ zur Erde hin beschleunigt werden: Die Gravitation wird vollständig als Zentripetalkraft „verbraucht“, um die Kreisbahn zu erzwingen, und es bleibt keine Stützkraft zwischen Boden und Astronaut übrig ($F_N = 0$). Die ISS fällt ständig um die Erde herum – wie ein Looping-Wagen genau bei $v_{min}$, nur ohne Schiene. Schwerelosigkeit heißt „freier Fall“, nicht „keine Gravitation“.

c) Umlaufdauer $T = 27{,}3\,\mathrm{d} = 27{,}3\cdot 86\,400\,\mathrm{s} = 2{,}359\cdot 10^6\,\mathrm{s}$. Zentripetalbeschleunigung aus der Bahn: $$a_z = \omega^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = \frac{4\pi^2\cdot 3{,}84\cdot 10^8\,\mathrm{m}}{(2{,}359\cdot 10^6\,\mathrm{s})^2} = 2{,}72\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m/s^2}.$$ Vergleich mit dem Gravitationsgesetz: Nimmt die Anziehung mit $1/r^2$ ab, muss $\dfrac{g}{a_z} = \left(\dfrac{r}{R_E}\right)^2$ gelten. Links: $\dfrac{9{,}81}{2{,}72\cdot 10^{-3}} = 3{,}61\cdot 10^3$. Rechts: $\left(\dfrac{3{,}84\cdot 10^8}{6{,}371\cdot 10^6}\right)^2 = 60{,}3^2 = 3{,}63\cdot 10^3$. Beide Werte stimmen auf $1\,\%$ überein (direkt: $GM/r^2 = 2{,}70\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m/s^2}$). Die Mondbahn ist also genau mit dem Gravitationsgesetz $F\propto 1/r^2$ verträglich – dieselbe Rechnung, mit der Newton zeigte, dass der fallende Apfel und der Mond derselben Kraft gehorchen. Die kleine Abweichung kommt daher, dass die Mondbahn eine Ellipse ist und der Mond nicht um den Erdmittelpunkt, sondern um den gemeinsamen Schwerpunkt läuft.