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Magnetisches Feld (Q1.2)

Magnetfeld, Lorentzkraft & Kreisbahn (e/m-Bestimmung)

Warum ein Elektron im Magnetfeld im Kreis fliegt – und wie man daraus seine spezifische Ladung misst.

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Das Wichtigste in einem SatzAuf eine bewegte Ladung wirkt im Magnetfeld die Lorentzkraft $F_L = q\,v\,B$ (für $v\perp B$). Sie steht immer senkrecht zur Geschwindigkeit, verrichtet deshalb keine Arbeit und zwingt das Teilchen im homogenen Feld auf eine Kreisbahn: $q v B = \dfrac{m v^2}{r}$, also $r = \dfrac{m v}{q B}$. Mit der Beschleunigungsspannung ($eU = \tfrac12 m v^2$) folgt daraus die Messformel des Fadenstrahlrohrs $\dfrac{e}{m} = \dfrac{2U}{B^2 r^2} \approx 1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$.

Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen

Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.

Wie schnell wird ein Elektron, das die Spannung U durchläuft?
Das elektrische Feld verrichtet die Arbeit $W = qU$ – unabhängig vom Abstand der Elektroden (nur $E = U/d$ und die Kraft hängen von $d$ ab, die Arbeit nicht). Sie steckt am Ende in der kinetischen Energie: $eU = \tfrac12 m_e v^2$, also $v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_e}}$. Beispiel $U = 200\,\mathrm{V}$: $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot 200\,\mathrm{V}}{9{,}109\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}} = 8{,}39\cdot 10^{6}\,\mathrm{m/s}$ – fast $3\,\%$ der Lichtgeschwindigkeit, aber noch unkritisch für die klassische Rechnung.
Was ist die Zentripetalkraft – und ist sie eine eigene Kraft?
Ein Körper auf einer Kreisbahn ändert ständig seine Bewegungsrichtung. Dazu braucht er eine zum Mittelpunkt gerichtete resultierende Kraft vom Betrag $F_z = \dfrac{m v^2}{r}$. „Zentripetalkraft“ ist nur der Name für diese Rolle; irgendeine reale Kraft muss sie übernehmen – ein Seil, die Gravitation oder hier die Lorentzkraft. Beispiel: Stein ($0{,}20\,\mathrm{kg}$) an $0{,}80\,\mathrm{m}$ Schnur mit $10\,\mathrm{m/s}$: $F_z = \dfrac{0{,}20\cdot 10^2}{0{,}80}\,\mathrm{N} = 25\,\mathrm{N}$ – das ist die Schnurspannung.
Technische Stromrichtung oder Elektronenbewegung – was zählt?
Die Stromstärke $I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$ gibt an, wie viel Ladung pro Zeit durch einen Querschnitt fließt. Die technische Stromrichtung ist per Definition von Plus nach Minus, also die Bewegungsrichtung positiver Ladungen. Im Metall bewegen sich aber Elektronen – und zwar entgegengesetzt. Alle Regeln in Formelsammlungen (Rechte-Hand-Regel, Drei-Finger-Regel) beziehen sich auf positive Ladung bzw. technische Stromrichtung. Für Elektronen musst du eine Richtung umdrehen.
Wie ist die elektrische Feldstärke definiert – und was heißt „Feld“ überhaupt?
Ein Feld ordnet jedem Raumpunkt eine Größe zu. Das elektrische Feld ist über die Kraft auf eine Probeladung definiert: $\vec E = \dfrac{\vec F}{q}$, Einheit $\mathrm{N/C} = \mathrm{V/m}$. Im Plattenkondensator ist es homogen: $E = U/d$. Genauso wird das Magnetfeld über eine Kraft definiert – nur eben über die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter oder eine bewegte Ladung. Auf eine ruhende Ladung wirkt im Magnetfeld keine Kraft.
Einheiten sauber: Wie hängen Tesla, N/(A·m) und Vs/m² zusammen? Und 1,0 mT, 4,8 cm in SI?
$1\,\mathrm{T} = 1\,\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{A\,m}}$ (aus $F = IlB$). Wegen $1\,\mathrm{N\,m} = 1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{V\,A\,s}$ gilt $1\,\mathrm{N} = 1\,\dfrac{\mathrm{V\,A\,s}}{\mathrm{m}}$ und damit $1\,\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{A\,m}} = 1\,\dfrac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{m^2}}$. Umrechnungen: $1{,}0\,\mathrm{mT} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$, $4{,}8\,\mathrm{cm} = 4{,}8\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}$. Größenordnungen: Erdfeld $\approx 5\cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}$, Fadenstrahlrohr $\approx 10^{-3}\,\mathrm{T}$, Kernspintomograph $1{,}5$ bis $3\,\mathrm{T}$.
Wann verrichtet eine Kraft keine Arbeit?
Arbeit ist $W = F\cdot s\cdot\cos\varphi$ mit dem Winkel $\varphi$ zwischen Kraft und Weg. Steht die Kraft senkrecht auf der Bewegungsrichtung ($\varphi = 90^\circ$), ist $\cos\varphi = 0$ und $W = 0$: Die Kraft ändert nur die Richtung der Geschwindigkeit, nicht ihren Betrag. Beispiel: Die Schnurkraft beim kreisenden Stein oder die Gravitation beim Satelliten auf einer Kreisbahn – der Stein wird nicht schneller, obwohl ständig eine Kraft wirkt.

Magnetfeld und Feldlinien – was man sieht

Eisenfeilspäne um einen Stabmagneten ordnen sich zu Linien; eine Kompassnadel zeigt an jedem Ort eine bestimmte Richtung. Beides beschreibt das Magnetfeld: ein Raumgebiet, in dem auf Magnete, stromdurchflossene Leiter und bewegte Ladungen Kräfte wirken. Die Feldlinien zeigen die Richtung, in die der Nordpol einer Kompassnadel zeigt; ihre Dichte zeigt die Stärke.

  • Außerhalb des Magneten laufen die Feldlinien vom Nordpol zum Südpol, innen vom Südpol zurück zum Nordpol. Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen – anders als elektrische Feldlinien, die an Ladungen beginnen und enden. Es gibt keine magnetischen „Monopole“: Zerbrichst du einen Magneten, hat jedes Stück wieder Nord- und Südpol.
  • Ein gerader Leiter erzeugt konzentrische Kreise um sich herum (Rechte-Hand-Regel: Daumen in technische Stromrichtung, gekrümmte Finger zeigen die Feldrichtung).
  • Eine lange Spule erzeugt innen ein nahezu homogenes Feld (parallele Feldlinien gleicher Dichte) – außen sieht sie aus wie ein Stabmagnet.

In Skizzen werden Felder, die senkrecht zur Zeichenebene stehen, mit Symbolen dargestellt: $\odot$ („Pfeilspitze“) zeigt aus der Ebene heraus auf dich zu, $\otimes$ („Pfeilende mit Federn“) zeigt in die Ebene hinein. Diese Konvention brauchst du in jeder Lorentzkraft-Aufgabe.

Die magnetische Flussdichte B – definiert über eine Kraft

Stärke und Richtung des Magnetfelds werden durch die magnetische Flussdichte $\vec B$ beschrieben. Man misst sie über die Kraft auf einen Leiter: Ein gerades Leiterstück der Länge $l$, das vom Strom $I$ durchflossen wird und senkrecht zu den Feldlinien liegt, erfährt die Kraft

$$F = I\cdot l\cdot B \qquad (l \perp B)\qquad\Rightarrow\qquad B = \frac{F}{I\cdot l},\quad [B] = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A\,m}} = \frac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{m^2}} = \mathrm{T}\ \text{(Tesla)}.$$

Die Kraft ist proportional zu $I$ und zu $l$ (Stromwaage-Versuch) – der Quotient $F/(Il)$ hängt nur noch vom Feld ab und ist deshalb als Feldgröße brauchbar. Liegt der Leiter schräg, zählt nur die Komponente senkrecht zum Feld: $F = I\,l\,B\sin\alpha$; parallel zum Feld ist die Kraft null.

Im Inneren einer langen Spule (Länge $l$, Windungszahl $N$, Strom $I$) ist das Feld homogen und beträgt

$$B = \mu_0\cdot\frac{N\cdot I}{l},\qquad \mu_0 = 1{,}257\cdot 10^{-6}\,\mathrm{\frac{V\,s}{A\,m}}\ \text{(magnetische Feldkonstante)}.$$

Beispiel: $N = 500$, $l = 0{,}40\,\mathrm{m}$, $I = 2{,}0\,\mathrm{A}$ ergibt $B = 1{,}257\cdot 10^{-6}\cdot\dfrac{500\cdot 2{,}0}{0{,}40}\,\mathrm{T} = 3{,}1\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$. Im Fadenstrahlrohr-Versuch benutzt man statt einer Spule ein Helmholtz-Spulenpaar (zwei gleiche Spulen mit Radius $R$ im Abstand $R$). In der Mitte ist das Feld besonders homogen und zugänglich:

$$B = \mu_0\cdot\frac{8}{\sqrt{125}}\cdot\frac{N\cdot I}{R}\approx 0{,}716\cdot\mu_0\,\frac{N I}{R}.$$
Für die Klausur
Die Helmholtz-Formel wird in Aufgaben gegeben; du musst sie nicht herleiten, aber sicher auswerten: $N$ ist die Windungszahl einer Spule, $R$ ihr Radius in Metern, und $8/\sqrt{125} = 0{,}7155$. Rechne das Ergebnis in Tesla aus und prüfe die Größenordnung ($10^{-3}\,\mathrm{T}$ bei einigen hundert Windungen und $1\,\mathrm{A}$).

Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung – und die Drei-Finger-Regel

Die Kraft auf den Leiter ist in Wirklichkeit die Summe der Kräfte auf die darin bewegten Ladungsträger. Das lässt sich ausrechnen: Im Leiterstück (Länge $l$, Querschnitt $A$) sind $n$ Ladungsträger pro Volumen, also $N = n\,A\,l$ Teilchen, die mit der Driftgeschwindigkeit $v$ laufen. Dann ist $I = n\,q\,v\,A$ (siehe Seite Hall-Effekt) und

$$F = I\,l\,B = n\,q\,v\,A\cdot l\cdot B = \underbrace{(n\,A\,l)}_{N}\cdot q\,v\,B\qquad\Rightarrow\qquad F_L = \frac{F}{N} = q\cdot v\cdot B .$$

Das ist die Lorentzkraft auf ein einzelnes Teilchen der Ladung $q$, das sich mit $v$ senkrecht zum Feld bewegt. Allgemein zählt wieder nur die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu $\vec B$: $F_L = q\,v\,B\sin\varphi$. Eine Ladung, die parallel zu den Feldlinien fliegt oder ruht, spürt keine Kraft.

Richtung – Drei-Finger-Regel der rechten Hand (gilt für positive Ladung bzw. technische Stromrichtung; die drei Finger stehen paarweise senkrecht aufeinander):

  1. Daumen: Bewegungsrichtung der positiven Ladung (bzw. technische Stromrichtung $I$),
  2. Zeigefinger: Richtung des Magnetfelds $\vec B$ (Nord → Süd),
  3. Mittelfinger: Richtung der Kraft $\vec F_L$.

Merkhilfe: U-V-W – Ursache (Strom), Vermittlung (Feld), Wirkung (Kraft). Für Elektronen gibt es zwei gleichwertige Wege: Entweder du nimmst die rechte Hand und richtest den Daumen entgegen der Elektronenbewegung (denn ein nach rechts fliegendes Elektron entspricht einem technischen Strom nach links), oder du nimmst die linke Hand mit dem Daumen in Elektronenrichtung. Beide liefern dieselbe Kraftrichtung – entscheide dich für eine Variante und schreibe in der Klausur dazu, welche du benutzt („Drei-Finger-Regel der linken Hand, da Elektronen negativ geladen sind“).

Kontrolle, die immer funktioniert
Ein Elektron fliegt nach rechts, $\vec B$ zeigt in die Zeichenebene ($\otimes$). Rechte Hand, Daumen nach links (technische Stromrichtung), Zeigefinger in die Ebene – der Mittelfinger zeigt nach unten. Linke Hand, Daumen nach rechts, Zeigefinger in die Ebene – Mittelfinger ebenfalls nach unten. Wenn deine beiden Varianten verschiedene Richtungen liefern, hast du eine Hand falsch gehalten.

Kreisbahn im homogenen Feld: Lorentzkraft = Zentripetalkraft

Weil $\vec F_L$ immer senkrecht auf $\vec v$ steht, kann sie den Betrag der Geschwindigkeit nicht ändern – sie verrichtet keine Arbeit, die kinetische Energie bleibt konstant. Sie ändert nur ständig die Richtung. Eine Kraft konstanten Betrags, die immer senkrecht zur Bewegung steht, ist aber genau das, was eine Kreisbahn braucht: Die Lorentzkraft übernimmt die Rolle der Zentripetalkraft.

$$F_L = F_z\qquad\Rightarrow\qquad q\,v\,B = \frac{m\,v^2}{r}\qquad\Rightarrow\qquad r = \frac{m\,v}{q\,B}.$$

Lies die Formel: Schnellere oder schwerere Teilchen fliegen größere Kreise (mehr Trägheit), stärkeres Feld oder größere Ladung zwingen sie auf engere Kreise. Die Umlaufdauer folgt aus Umfang durch Geschwindigkeit:

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{v}\cdot\frac{m v}{q B} = \frac{2\pi\,m}{q\,B}.$$

$T$ ist unabhängig von $v$ und von $r$: Ein schnelleres Teilchen fliegt einen größeren Kreis und braucht dafür genauso lange. Das ist das Zyklotron-Prinzip – man kann Teilchen im Takt einer festen Wechselspannung immer wieder beschleunigen, obwohl sie dabei schneller werden und spiralförmig nach außen wandern. Für Elektronen bei $B = 1{,}0\,\mathrm{mT}$: $T = \dfrac{2\pi\cdot 9{,}109\cdot 10^{-31}}{1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}}\,\mathrm{s} = 3{,}57\cdot 10^{-8}\,\mathrm{s}$, also eine Frequenz von $28\,\mathrm{MHz}$.

Schräger Eintritt: Hat die Geschwindigkeit auch eine Komponente $v_\parallel$ parallel zu $\vec B$, bleibt diese unbeeinflusst (keine Kraft parallel zum Feld), während die senkrechte Komponente $v_\perp$ den Kreis macht. Zusammengesetzt ergibt das eine Schraubenlinie um die Feldlinie mit Radius $r = m v_\perp/(qB)$ und Ganghöhe $v_\parallel\cdot T$. Genau so wandern Sonnenwind-Teilchen entlang der Erdfeldlinien zu den Polen – die Polarlichter entstehen dort, wo sie auf die Atmosphäre treffen.

Fadenstrahlrohr: e/m messen – und weitere Anwendungen

Im Fadenstrahlrohr (Glaskolben mit wenig Wasserstoff- oder Neongas) werden Elektronen aus einer geheizten Kathode mit der Spannung $U$ beschleunigt und treten senkrecht in das homogene Feld eines Helmholtz-Spulenpaars ein. Gasatome, die von den Elektronen getroffen werden, leuchten – man sieht die Kreisbahn und misst ihren Durchmesser $2r$ mit einem Maßstab oder einer Spiegelskala.

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte ($v$ und $e/m$): Aus $eU = \tfrac12 m v^2$ und $r = \dfrac{mv}{eB}$ ergibt sich (Herleitung unten)

$$\frac{e}{m} = \frac{2U}{B^2 r^2}.$$

Typische Werte nachrechnen: $U = 200\,\mathrm{V}$, $B = 1{,}0\,\mathrm{mT}$, $r = 4{,}8\,\mathrm{cm}$: $$\frac{e}{m} = \frac{2\cdot 200\,\mathrm{V}}{(1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T})^2\cdot(4{,}8\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m})^2} = \frac{400}{1{,}0\cdot 10^{-6}\cdot 2{,}30\cdot 10^{-3}}\,\mathrm{\frac{V}{T^2\,m^2}} = 1{,}74\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{C}{kg}}.$$ Literaturwert: $\dfrac{e}{m_e} = \dfrac{1{,}602\cdot 10^{-19}}{9{,}109\cdot 10^{-31}}\,\mathrm{C/kg} = 1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$ – Abweichung $1\,\%$. (Einheitenkontrolle: $\mathrm{V}/(\mathrm{T^2 m^2}) = \mathrm{V\,m^4}/(\mathrm{V^2 s^2\,m^2}) = \mathrm{m^2}/(\mathrm{V\,s^2}) = \mathrm{C/kg}$, denn $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{kg\,m^2/(A\,s^3)}$.) Historisch war diese Messung (J. J. Thomson 1897) der Nachweis, dass das Elektron ein Teilchen mit fester spezifischer Ladung ist; zusammen mit der Elementarladung aus dem Millikan-Versuch liefert sie die Elektronenmasse.

AnwendungWas das Feld machtFormel / Idee
MassenspektrometerIonen gleicher Geschwindigkeit (Wien-Filter davor) fliegen Halbkreise; der Radius sortiert nach Masse pro Ladung$r = \dfrac{m v}{q B} \propto \dfrac{m}{q}$
ZyklotronZwei D-förmige Halbdosen, dazwischen Wechselspannung; jede halbe Runde ein Energieschub, Radius wächst spiralförmig$T = \dfrac{2\pi m}{qB}$ unabhängig von $v$ – feste Frequenz reicht
PolarlichterGeladene Teilchen des Sonnenwinds laufen auf Schraubenlinien entlang der Erdfeldlinien zu den Polen$v_\parallel$ frei, $v_\perp$ kreist
Elektromotor, LautsprecherKraft auf stromdurchflossene Leiterschleife$F = IlB$

E-Feld oder B-Feld? Die Unterschiede, die geprüft werden

Homogenes E-Feld (Kondensator)Homogenes B-Feld
Kraft$F = qE$, parallel zu $\vec E$, auch auf ruhende Ladung$F_L = qvB$, senkrecht zu $\vec v$ und $\vec B$, nur auf bewegte Ladung
Arbeit$W = qU$ – Teilchen wird schneller oder langsamer$W = 0$ – Betrag von $v$ bleibt konstant
Bahn (senkrechter Eintritt)Parabel (wie der waagerechte Wurf): $y = \dfrac{qE}{2mv^2}\,x^2$Kreis mit $r = \dfrac{mv}{qB}$
Bahn (paralleler Eintritt)Geradlinige BeschleunigungKeine Kraft, geradlinig gleichförmig
Richtungsumkehr des FeldesAblenkung in die GegenrichtungKreis biegt andersherum
Typische MessungAblenkung im Kondensator, MillikanFadenstrahlrohr ($e/m$), Hall-Effekt

Beim „Beurteilen“ in Aufgaben hilft die Energie-Frage: Ändert sich die kinetische Energie? Im E-Feld ja (Arbeit $qU$), im B-Feld nie. Und die Geometrie-Frage: Hängt die Kraft von der Geschwindigkeit ab? Im E-Feld nein, im B-Feld ja – deshalb kann nur das B-Feld allein eine Kreisbahn erzeugen, und nur die Kombination beider Felder (Wien-Filter) Geschwindigkeiten aussortieren.

Simulation: Fadenstrahlrohr – Kreisbahn im homogenen Magnetfeld

Die ganze Röhre steckt im homogenen Feld (⊗ in die Ebene hinein, ⊙ heraus); der Strahl verlässt die Anode nach oben. Die Bahn ist maßstäblich zur 5-cm-Skala; der blaue Pfeil ist v, der rote Pfeil die Lorentzkraft – immer zum Mittelpunkt M.

Probiere in der Simulation
  • Starte mit den Abiturwerten ($U = 200\,\mathrm{V}$, $B = 1{,}0\,\mathrm{mT}$). Lies $r$ ab und rechne vorher mit $r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2 m U}{e}}$ nach. Verdopple dann $U$: Um welchen Faktor wächst $r$? ($\sqrt2$, nicht 2!)
  • Verdopple $B$ bei festem $U$. Vorhersage: $r$ halbiert sich, $T$ halbiert sich, $v$ bleibt. Prüfe alle drei im Readout.
  • Stelle $U$ so ein, dass $v$ doppelt so groß ist wie bei $200\,\mathrm{V}$ (also $U = 800\,\mathrm{V}$). Beobachte die Umlaufdauer $T$ – warum ändert sie sich nicht?
  • Wähle das Proton bei gleichen Einstellungen. Erkläre mit $r = \dfrac{mv}{qB}$ und $v = \sqrt{2qU/m}$, warum die Bahn praktisch gerade ist, und berechne das Verhältnis $r_p/r_e$ (Tipp: $r \propto \sqrt{m/q}$).

Herleitung: Spezifische Ladung des Elektrons $\dfrac{e}{m} = \dfrac{2U}{B^2 r^2}$

Diese Herleitung ist Pflichtstoff zum Fadenstrahlrohr. Volle Punkte gibt es nur mit Skizze (Kathode, Anode, Feldbereich mit $\otimes$, Kreisbahn mit $r$, Pfeile $\vec v$ tangential und $\vec F_L$ zum Mittelpunkt) und einer Begründung bei jedem Schritt. Tippe „Verdecken“ und versuche es zuerst selbst.

  1. Beschleunigung: Zwischen Kathode und Anode durchläuft das Elektron die Spannung $U$. Das elektrische Feld verrichtet die Arbeit $W = eU$, die vollständig in kinetische Energie übergeht (Elektron startet näherungsweise aus der Ruhe).
    $$ e\,U = \tfrac12\, m\, v^2 $$
  2. Eintritt ins Magnetfeld: Das Elektron tritt mit $\vec v$ senkrecht zu den Feldlinien in das homogene Feld $B$ ein. Auf die bewegte Ladung wirkt die Lorentzkraft; ihre Richtung ergibt sich aus der Drei-Finger-Regel (linke Hand für das Elektron) und steht stets senkrecht auf $\vec v$.
    $$ F_L = e\, v\, B $$
  3. Kreisbahn: Da $\vec F_L \perp \vec v$, verrichtet die Lorentzkraft keine Arbeit – der Betrag von $v$ bleibt konstant. Eine Kraft konstanten Betrags, die immer senkrecht zur Bewegung zeigt, wirkt als Zentripetalkraft: Das Elektron läuft auf einer Kreisbahn mit Radius $r$.
    $$ F_L = F_z\quad\Rightarrow\quad e\,v\,B = \frac{m\,v^2}{r} $$
  4. Nach $v$ auflösen: Beide Seiten durch $v$ teilen (zulässig, da $v \neq 0$) und umstellen. So erhält man den Bahnradius in Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Feld.
    $$ e\,B = \frac{m\,v}{r}\quad\Rightarrow\quad v = \frac{e\,B\,r}{m} $$
  5. Einsetzen in die Energiegleichung: Die Geschwindigkeit ist nicht direkt messbar, deshalb wird sie eliminiert. $v$ aus Schritt 4 in Schritt 1 einsetzen und quadrieren.
    $$ e\,U = \tfrac12\, m\,\left(\frac{e\,B\,r}{m}\right)^2 = \frac{e^2 B^2 r^2}{2\,m} $$
  6. Nach $e/m$ auflösen: Durch $e$ kürzen (ein $e$ bleibt rechts), mit $2m$ multiplizieren und durch $B^2 r^2$ teilen. Alle Größen rechts sind messbar: $U$ am Netzgerät, $B$ aus Spulenstrom und Helmholtz-Formel, $r$ am Maßstab.
    $$ U = \frac{e\,B^2 r^2}{2\,m}\quad\Rightarrow\quad \frac{e}{m} = \frac{2\,U}{B^2\, r^2} $$
Schlusssatz (im Abitur Pflicht): Aus der Beschleunigungsspannung $U$, der Flussdichte $B$ und dem gemessenen Bahnradius $r$ ergibt sich die spezifische Ladung des Elektrons zu $\dfrac{e}{m} = \dfrac{2U}{B^2 r^2}$; mit typischen Werten erhält man $1{,}7\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$ in Übereinstimmung mit dem Literaturwert $1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$, was zu zeigen war.

Formeln, die du sicher können musst

Größe / GesetzFormelWas sie sagt · wann sie gilt
Kraft auf Leiter$F = I\cdot l\cdot B$$l\perp B$; definiert $B$; Einheit $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N/(A\,m)} = 1\,\mathrm{Vs/m^2}$
Lange Spule$B = \mu_0\,\dfrac{N\,I}{l}$homogen im Inneren; $\mu_0 = 1{,}257\cdot 10^{-6}\,\mathrm{Vs/(Am)}$
Helmholtz-Spulenpaar$B = \mu_0\,\dfrac{8}{\sqrt{125}}\,\dfrac{N\,I}{R}$wird gegeben; $N$ je Spule, $R$ Radius = Abstand; Faktor $0{,}7155$
Lorentzkraft$F_L = q\,v\,B$für $v\perp B$; allgemein $F_L = qvB\sin\varphi$; Richtung: Drei-Finger-Regel
Beschleunigung$e\,U = \tfrac12\,m\,v^2$Energieerhaltung; $v = \sqrt{2eU/m}$; unabhängig vom Elektrodenabstand
Kreisbahnradius$r = \dfrac{m\,v}{q\,B}$aus $F_L = F_z$; $r\propto v$, $r\propto 1/B$
Umlaufdauer$T = \dfrac{2\pi\,m}{q\,B}$unabhängig von $v$ und $r$ – Zyklotron-Prinzip
Spezifische Ladung$\dfrac{e}{m} = \dfrac{2U}{B^2 r^2}$Fadenstrahlrohr; Literaturwert $1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$
Radius aus U$r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2\,m\,U}{q}}$beide Gleichungen kombiniert; $r\propto\sqrt{U}$, $r\propto\sqrt{m/q}$ (Massenspektrometer)

Typische Fehler – und wie du die Punkte holst

  • Elektron mit der rechten Hand und Daumen in Bewegungsrichtung – Kraft zeigt in die falsche Richtung, Kreis biegt falsch herum.
    Die Drei-Finger-Regel der rechten Hand gilt für positive Ladung. Für Elektronen: Daumen entgegen der Bewegung (rechte Hand) oder linke Hand. Schreib dazu, welche Variante du nutzt, und prüfe mit dem Kontrollbeispiel (Elektron nach rechts, $\otimes$ → Kraft nach unten).
  • $r = \dfrac{mv}{qB}$ hingeschrieben, aber $v$ nicht bestimmt – „$v$ war nicht gegeben“.
    $v$ steckt in der Beschleunigungsspannung: $eU = \tfrac12 m v^2$. Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Erst $v = \sqrt{2eU/m}$ (oder direkt $e/m = 2U/(B^2r^2)$), dann einsetzen.
  • „Die Lorentzkraft beschleunigt das Elektron, deshalb wird es auf der Kreisbahn schneller.“
    $\vec F_L\perp\vec v$: Sie ändert nur die Richtung, verrichtet keine Arbeit, $|v|$ und $E_{kin}$ bleiben konstant. Es gibt zwar eine Beschleunigung – aber nur die Zentripetalbeschleunigung $a_z = v^2/r$ zum Mittelpunkt.
  • „Doppelte Spannung → doppelter Radius“ oder „schnellere Elektronen brauchen länger für einen Umlauf“.
    $r \propto v \propto \sqrt U$: doppeltes $U$ gibt den Faktor $\sqrt2 = 1{,}41$. Und $T = 2\pi m/(qB)$ hängt gar nicht von $v$ ab – größerer Kreis, aber proportional schnellerer Flug. Beides in der Simulation prüfen.
  • $B$ in mT und $r$ in cm in $e/m = 2U/(B^2r^2)$ eingesetzt – Ergebnis um $10^{10}$ daneben, nicht bemerkt.
    Vor dem Einsetzen in SI umrechnen ($1{,}0\,\mathrm{mT} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$, $4{,}8\,\mathrm{cm} = 4{,}8\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}$), Ergebnis in SCI-3 und Plausibilitätshaken: $e/m$ muss bei $1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$ liegen.
  • „Magnetische Feldlinien beginnen am Nordpol und enden am Südpol“ – oder E-Feld-Bild (Parabel) im B-Feld gezeichnet.
    Magnetische Feldlinien sind geschlossen (außen N → S, innen S → N), es gibt keine magnetischen Ladungen. Bewegte Ladung im homogenen B-Feld: Kreis (Kraft $\perp v$); im homogenen E-Feld: Parabel (Kraft konstant in eine Richtung).
  • Helmholtz-Formel mit der Gesamtwindungszahl beider Spulen oder mit $R$ in cm ausgewertet.
    $N$ ist die Windungszahl einer Spule (steht so in der Aufgabe), $R$ in Metern. Ergebnis prüfen: einige $10^{-4}$ bis $10^{-3}\,\mathrm{T}$ sind typisch für das Fadenstrahlrohr.
Abitur-Operatoren bei diesem Thema
  • Erläutern (Kreisbahn, Zyklotron-Prinzip, Polarlicht): Phänomen (leuchtender Kreis) → Ursache (Lorentzkraft senkrecht zu $v$, keine Arbeit) → Gesetz ($qvB = mv^2/r$). Ganze Sätze, Fachbegriffe „Lorentzkraft“, „Zentripetalkraft“, „homogen“.
  • Zeigen / Leiten Sie her ($e/m$, $T$ unabhängig von $v$, $r\propto\sqrt{U}$): Skizze mit Feldrichtung ($\otimes$/$\odot$), Pfeilen $\vec v$ und $\vec F_L$; Energieansatz und Kraftansatz getrennt aufschreiben; jede Umformung begründen; Schlusssatz.
  • Berechnen / Bestimmen ($B$ aus Helmholtz-Formel, $r$, $v$, $e/m$): SI-Einheiten, Formel – Umstellen – Einsetzen – SCI-3 – Antwortsatz. Bei Messwerten: Intervall aus der Ablesegenauigkeit.
  • Beurteilen (Messergebnis, Vorschlag eines Mitschülers): Literaturwert $1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$, relative Abweichung, Unsicherheitsintervall, systematische Fehler (Erdfeld, Inhomogenität, Ablesen des Durchmessers).
Warum das über die Klausur hinaus wichtig bleibt
Die Lorentzkraft ist der rote Faden des ganzen Halbjahres: Sie erklärt gleich danach die Induktion (bewegter Leiter im Feld → Ladungstrennung → Spannung) und den Hall-Effekt. Im Abitur taucht sie in fast jeder Feld-Aufgabe auf – Massenspektrometer, Wien-Filter, Zyklotron, Braunsche Röhre – und in Q3 (Quantenphysik) wieder, wenn die Geschwindigkeit der Elektronen aus $eU = \tfrac12 mv^2$ in die de-Broglie-Wellenlänge eingeht. Im Maschinenbau- oder Elektrotechnik-Studium wird daraus die Theorie von Elektromotoren und Generatoren, von Hall-Sensoren in jedem Antrieb, von Magnetlagern und der Magnetresonanztomographie.

5 harte Fragen – hast du es wirklich verstanden?

Offene Aufgaben auf Papier lösen (Zeit stoppen!), erst dann die Lösung aufdecken und ehrlich Punkte geben. Die Ergebnisse werden auf diesem Gerät gespeichert.

Aufgabe 1Offene Aufgabe · ca. 15 min10 P

Fadenstrahlrohr auswerten

In einem Fadenstrahlrohr werden Elektronen mit $U = 250\,\mathrm{V}$ beschleunigt. Das Magnetfeld erzeugt ein Helmholtz-Spulenpaar mit $N = 130$ Windungen je Spule und Radius $R = 0{,}150\,\mathrm{m}$, durch das ein Strom $I = 1{,}37\,\mathrm{A}$ fließt. Für das Feld in der Mitte gilt $B = \mu_0\cdot\dfrac{8}{\sqrt{125}}\cdot\dfrac{N I}{R}$. Der Durchmesser der leuchtenden Kreisbahn wird zu $(10{,}2 \pm 0{,}4)\,\mathrm{cm}$ abgelesen.

  1. Berechne die magnetische Flussdichte $B$.
  2. Bestimme die spezifische Ladung $e/m$ der Elektronen und ihre Geschwindigkeit.
  3. Gib unter Berücksichtigung der Ableseunsicherheit ein Intervall für $e/m$ an und beurteile das Ergebnis im Vergleich zum Literaturwert $1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$.
Erwartungshorizont
  • 2 Pa) Einsetzen mit Einheiten, $B = 1{,}07\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$ mit Antwortsatz
  • 2 Pb) Ansatz $eU = \tfrac12 mv^2$ und $evB = mv^2/r$ kombiniert zu $e/m = 2U/(B^2 r^2)$; $r = 5{,}1\,\mathrm{cm}$ (Durchmesser halbiert)
  • 2 Pb) $e/m = 1{,}69\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$, $v = \sqrt{2eU/m} = 9{,}38\cdot 10^{6}\,\mathrm{m/s}$ mit Einheiten und Antwortsatz
  • 2 Pc) $r$ zwischen $4{,}9$ und $5{,}3\,\mathrm{cm}$ eingesetzt: $e/m$ zwischen $1{,}56$ und $1{,}83\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$ (relative Unsicherheit $\approx 2\cdot 4\,\% = 8\,\%$, da $r$ quadratisch eingeht)
  • 2 Pc) Literaturwert liegt im Intervall; relative Abweichung des Zentralwerts $-4\,\%$; mögliche systematische Ursachen (Durchmesser zu groß abgelesen, Erdfeld, Feld nicht exakt homogen) benannt
Musterlösung

a) $B = \mu_0\cdot\dfrac{8}{\sqrt{125}}\cdot\dfrac{N I}{R} = 1{,}257\cdot 10^{-6}\,\mathrm{\dfrac{Vs}{Am}}\cdot 0{,}7155\cdot\dfrac{130\cdot 1{,}37\,\mathrm{A}}{0{,}150\,\mathrm{m}} = 1{,}068\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$. Die Flussdichte beträgt $1{,}07\,\mathrm{mT}$ (für die weitere Rechnung wird $1{,}068\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$ mitgeführt, um Rundungsfehler zu vermeiden).

b) Energieansatz $eU = \tfrac12 m v^2$ und Kraftansatz $evB = \dfrac{mv^2}{r}$ liefern $v = \dfrac{eBr}{m}$ und nach Einsetzen $\dfrac{e}{m} = \dfrac{2U}{B^2 r^2}$. Der Radius ist der halbe Durchmesser: $r = 5{,}1\,\mathrm{cm} = 5{,}1\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}$. $$\frac{e}{m} = \frac{2\cdot 250\,\mathrm{V}}{(1{,}068\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T})^2\cdot (5{,}1\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m})^2} = 1{,}69\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{C}{kg}}.$$ Geschwindigkeit aus dem Energieansatz: $v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m}} = \sqrt{2\cdot 1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}\cdot 250\,\mathrm{V}} = 9{,}38\cdot 10^{6}\,\mathrm{m/s}$ (mit dem Literaturwert; mit dem Messwert $1{,}69\cdot 10^{11}$ ergäbe sich $9{,}19\cdot 10^6\,\mathrm{m/s}$). Die spezifische Ladung beträgt $1{,}69\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$, die Elektronen sind etwa $9{,}4\cdot 10^6\,\mathrm{m/s}$ schnell – gut $3\,\%$ der Lichtgeschwindigkeit, die klassische Rechnung ist zulässig.

c) Der Durchmesser liegt zwischen $9{,}8$ und $10{,}6\,\mathrm{cm}$, also $r$ zwischen $4{,}9$ und $5{,}3\,\mathrm{cm}$. Da $r$ quadratisch im Nenner steht, gehört zum kleinsten $r$ der größte Wert: $$\frac{e}{m}\Big|_{r = 4{,}9\,\mathrm{cm}} = \frac{500}{(1{,}068\cdot 10^{-3})^2\cdot(0{,}049)^2}\,\mathrm{\frac{C}{kg}} = 1{,}83\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{C}{kg}},\qquad \frac{e}{m}\Big|_{r = 5{,}3\,\mathrm{cm}} = 1{,}56\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{C}{kg}}.$$ Ergebnis: $\dfrac{e}{m} = (1{,}69^{+0{,}14}_{-0{,}13})\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$, relative Unsicherheit etwa $8\,\%$ (doppelte relative Unsicherheit von $r$, weil $r^2$ eingeht). Der Literaturwert $1{,}76\cdot 10^{11}\,\mathrm{C/kg}$ liegt innerhalb des Intervalls; der Zentralwert weicht um $\dfrac{1{,}69 - 1{,}76}{1{,}76} = -4\,\%$ ab. Die Messung ist also mit dem Literaturwert verträglich. Dass der Messwert eher zu klein ausfällt, passt zu typischen systematischen Fehlern: Man liest den Durchmesser an der Außenkante des leuchtenden Fadens ab (zu großes $r$), das Erdmagnetfeld ($\approx 0{,}05\,\mathrm{mT}$) überlagert sich, und das Feld ist nur in der Mitte der Spulen exakt homogen. Die dominierende Unsicherheit ist die Durchmesserablesung – eine Spiegelskala oder mehrere Messungen bei verschiedenen $U$ (Linearisierung $r^2$ gegen $U$) würden sie verkleinern.

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Der Durchmesser wird gern als Radius eingesetzt (Faktor 4 in $e/m$!). Bei c) reicht „stimmt ungefähr“ nicht: Intervall mit Zahlen, Literaturwert drin oder nicht, relative Abweichung, mindestens eine systematische Fehlerquelle. Und: $N = 130$ ist die Windungszahl je Spule – nicht verdoppeln.
Meine Punkte:
Aufgabe 2Offene Aufgabe · ca. 12 min8 P

Kreisbahn und Zyklotron-Prinzip

Ein Elektron tritt mit der Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte $B$ ein, das in die Zeichenebene hinein zeigt.

  1. Fertige eine Skizze der Bahn an und zeichne an drei Punkten die Geschwindigkeit und die Lorentzkraft ein. Begründe die Kraftrichtung mit der Drei-Finger-Regel.
  2. Erläutere, warum die Bahn ein Kreis ist und warum der Betrag der Geschwindigkeit dabei konstant bleibt.
  3. Zeige, dass die Umlaufdauer $T$ nicht von $v$ abhängt, und erläutere, warum diese Eigenschaft für das Zyklotron entscheidend ist.
Erwartungshorizont
  • 2 Pa) Skizze: Feld als $\otimes$, Eintrittspunkt, Kreis; an drei Punkten $\vec v$ tangential, $\vec F_L$ zum Mittelpunkt; Richtung begründet (linke Hand bzw. rechte Hand mit Daumen entgegen $v$, da negative Ladung); Elektron läuft im Uhrzeigersinn
  • 3 Pb) $F_L = evB$ steht senkrecht auf $v$ ⇒ keine Arbeit ⇒ $|v| = $ const.; Kraft mit konstantem Betrag stets senkrecht zur Bahn = Zentripetalkraft ⇒ Kreisbahn mit $evB = mv^2/r$, $r = mv/(eB)$
  • 2 Pc) $T = 2\pi r/v$, $r = mv/(eB)$ eingesetzt ⇒ $T = 2\pi m/(eB)$, $v$ kürzt sich heraus
  • 1 Pc) Zyklotron: Wechselspannung fester Frequenz $f = eB/(2\pi m)$ beschleunigt bei jedem Spaltdurchgang, obwohl $v$ und $r$ wachsen (Spiralbahn)
Musterlösung

a) Skizze: Rechteck mit gleichmäßig verteilten $\otimes$-Symbolen (Feld in die Ebene). Das Elektron tritt links waagerecht nach rechts ein. Drei-Finger-Regel der linken Hand (negative Ladung): Daumen nach rechts ($v$), Zeigefinger in die Ebene ($B$), Mittelfinger nach unten – die Kraft zeigt nach unten, das Elektron wird nach unten abgelenkt und läuft im Uhrzeigersinn auf einem Kreis. An jedem der drei eingezeichneten Punkte liegt $\vec v$ tangential an der Bahn und $\vec F_L$ senkrecht dazu zum Kreismittelpunkt. (Alternative Begründung: Rechte Hand mit Daumen nach links, da ein nach rechts fliegendes Elektron einem technischen Strom nach links entspricht – gleiches Ergebnis.)

b) Auf das Elektron wirkt die Lorentzkraft $F_L = evB$. Sie steht nach der Drei-Finger-Regel immer senkrecht auf $\vec v$ (und auf $\vec B$). Eine Kraft senkrecht zum Weg verrichtet keine Arbeit ($W = Fs\cos 90^\circ = 0$), also bleibt die kinetische Energie und damit der Betrag der Geschwindigkeit konstant. Weil $v$ und $B$ konstant sind, ist auch der Betrag der Kraft $evB$ konstant. Eine Kraft mit konstantem Betrag, die ständig senkrecht zur Bewegungsrichtung zeigt, ist genau eine Zentripetalkraft: Sie krümmt die Bahn überall gleich stark. Deshalb ist die Bahn ein Kreis, und es gilt $evB = \dfrac{mv^2}{r}$, also $r = \dfrac{mv}{eB}$.

c) Die Umlaufdauer ist Kreisumfang durch Bahngeschwindigkeit: $$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{v}\cdot\frac{mv}{eB} = \frac{2\pi m}{eB}.$$ Die Geschwindigkeit kürzt sich heraus: Ein doppelt so schnelles Elektron läuft auf einem doppelt so großen Kreis und braucht dafür dieselbe Zeit. Im Zyklotron werden Teilchen zwischen zwei D-förmigen Elektroden bei jedem Durchgang durch den Spalt von einer Wechselspannung beschleunigt. Damit die Spannung bei jedem Durchgang die richtige Polung hat, muss sie im Takt der halben Umlaufdauer umgepolt werden. Weil $T$ nicht von $v$ abhängt, kann die Frequenz $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{eB}{2\pi m}$ fest bleiben, obwohl die Teilchen immer schneller werden und auf einer Spirale nach außen wandern. (Erst bei Geschwindigkeiten nahe $c$ wächst die Masse relativistisch, $T$ nimmt zu und das Prinzip stößt an seine Grenze.)

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Ohne die Begründung „Kraft senkrecht zu $v$ ⇒ keine Arbeit ⇒ Betrag konstant“ ist b) nur halb beantwortet. Bei c) wollen viele $T$ „ausrechnen“ – verlangt ist der Nachweis, dass $v$ herausfällt. Beim Zyklotron den Zusammenhang benennen: feste Frequenz weil $T$ konstant.
Meine Punkte:
Aufgabe 3Offene Aufgabe · ca. 15 min10 P

Transfer: Isotope im Massenspektrometer

In einem Massenspektrometer werden einfach positiv geladene Neon-Ionen mit der Spannung $U = 2{,}00\,\mathrm{kV}$ beschleunigt und treten dann senkrecht in ein homogenes Magnetfeld $B = 0{,}500\,\mathrm{T}$ ein. Nach einem Halbkreis treffen sie auf einen Detektor. Massen: $^{20}\mathrm{Ne}$: $3{,}32\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $^{22}\mathrm{Ne}$: $3{,}65\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}$; $q = e = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$.

  1. Zeige, dass für den Bahnradius $r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mU}{q}}$ gilt.
  2. Berechne die Bahnradien beider Isotope und den Abstand ihrer Auftreffpunkte auf dem Detektor.
  3. Ein Mitschüler schlägt vor, die Isotope stattdessen mit einem elektrischen Querfeld (Plattenkondensator) zu trennen, da die schwereren Ionen „träger“ seien. Beurteile den Vorschlag rechnerisch.
Erwartungshorizont
  • 3 Pa) $qU = \tfrac12 mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2qU/m}$; $qvB = mv^2/r \Rightarrow r = mv/(qB)$; Einsetzen und Vereinfachen: $r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mU}{q}}$
  • 3 Pb) $r_{20} = 5{,}76\,\mathrm{cm}$, $r_{22} = 6{,}04\,\mathrm{cm}$; Auftreffpunkte bei $2r$: Abstand $2(r_{22} - r_{20}) = 5{,}6\,\mathrm{mm}$ mit Antwortsatz
  • 2 Pc) Im E-Feld: $v = \sqrt{2qU/m}$ und $y = \dfrac{qE}{2mv^2}\,L^2 = \dfrac{E L^2}{4U}$ – unabhängig von $m$ und $q$
  • 2 Pc) Urteil: Die Trägheit wird durch die geringere Geschwindigkeit der schweren Ionen genau kompensiert; alle Ionen treffen am selben Ort – der Vorschlag funktioniert nicht; im B-Feld dagegen $r\propto\sqrt{m}$ bei gleichem $U$
Musterlösung

a) Energieansatz: Das Ion gewinnt beim Durchlaufen von $U$ die kinetische Energie $qU = \tfrac12 mv^2$, also $v = \sqrt{\dfrac{2qU}{m}}$. Kraftansatz im Magnetfeld: Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft, $qvB = \dfrac{mv^2}{r}$, also $r = \dfrac{mv}{qB}$. Einsetzen: $$r = \frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{m^2}{q^2}\cdot\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}},$$ was zu zeigen war. Bei gleichem $U$, $q$ und $B$ gilt also $r \propto \sqrt m$.

b) $r_{20} = \dfrac{1}{0{,}500\,\mathrm{T}}\sqrt{\dfrac{2\cdot 3{,}32\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}\cdot 2000\,\mathrm{V}}{1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}}} = \dfrac{1}{0{,}500}\sqrt{8{,}29\cdot 10^{-4}}\,\mathrm{m} = 5{,}76\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}$,
$r_{22} = \dfrac{1}{0{,}500}\sqrt{\dfrac{2\cdot 3{,}65\cdot 10^{-26}\cdot 2000}{1{,}602\cdot 10^{-19}}}\,\mathrm{m} = 6{,}04\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}$ (Kontrolle: $r_{22}/r_{20} = \sqrt{3{,}65/3{,}32} = 1{,}049$).
Nach einem Halbkreis liegt der Auftreffpunkt um den Durchmesser $2r$ vom Eintrittspunkt entfernt. Abstand der beiden Auftreffpunkte: $2(r_{22} - r_{20}) = 2\cdot(6{,}04 - 5{,}76)\,\mathrm{cm} = 0{,}56\,\mathrm{cm}$. Die Isotope treffen $5{,}6\,\mathrm{mm}$ voneinander entfernt auf – gut auflösbar.

c) Im Plattenkondensator (Feld $E$, Länge $L$) wirkt die konstante Kraft $qE$ quer zur Flugrichtung. Die Ionen fliegen eine Parabel: Flugzeit $t = L/v$, Querablenkung $y = \tfrac12 a t^2 = \dfrac{qE}{2m}\cdot\dfrac{L^2}{v^2}$. Jetzt $v^2 = \dfrac{2qU}{m}$ einsetzen: $$y = \frac{qE L^2}{2m}\cdot\frac{m}{2qU} = \frac{E\,L^2}{4\,U}.$$ Masse und Ladung kürzen sich heraus. Der Mitschüler hat Recht, dass schwerere Ionen träger sind – aber sie sind nach derselben Beschleunigungsspannung auch genau so viel langsamer, dass sie länger im Feld bleiben; beide Effekte heben sich exakt auf. Alle Ionen, die dieselbe Spannung durchlaufen haben, treffen im E-Feld am selben Punkt auf: Der Vorschlag funktioniert nicht. Im Magnetfeld dagegen hängt die Kraft von $v$ ab ($qvB$), und es bleibt $r \propto \sqrt{m/q}$ – deshalb nutzt jedes Massenspektrometer ein Magnetfeld (oder misst Flugzeiten).

Typische Fehler → so holst du die Punkte
Bei b) den Abstand der Auftreffpunkte als $r_{22} - r_{20}$ statt $2(r_{22} - r_{20})$ angeben – nach dem Halbkreis zählt der Durchmesser. Bei c) nur qualitativ argumentieren („träger, also weniger abgelenkt“) ist genau der Fehler des Mitschülers; verlangt ist die Rechnung, die zeigt, dass $m$ herausfällt.
Meine Punkte:
Aufgabe 4Multiple Choice · genau eine Antwort2 P

Ein Elektron fliegt in der Zeichenebene nach rechts. Das Magnetfeld zeigt in die Zeichenebene hinein ($\otimes$). In welche Richtung wirkt die Lorentzkraft im Moment des Eintritts?

Aufgabe 5Multiple Choice · genau eine Antwort2 P

Im Fadenstrahlrohr wird die Beschleunigungsspannung von $200\,\mathrm{V}$ auf $400\,\mathrm{V}$ erhöht, das Magnetfeld bleibt gleich. Was passiert mit dem Radius der Kreisbahn und der Umlaufdauer?

Meine Notizen zu „Magnetfeld, Lorentzkraft & Kreisbahn (e/m-Bestimmung)“

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