Bewegung geladener Teilchen im elektrischen Feld

Längsfeld beschleunigt (Energiesatz), Querfeld lenkt ab (waagerechter Wurf) – die Physik hinter Elektronenkanone, Oszilloskop und Millikan-Versuch.

Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen

Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.

Längsfeld: Beschleunigen mit dem Energiesatz

Ein Elektron startet (praktisch aus der Ruhe) an der negativen Platte und wird zur positiven Platte hin beschleunigt. Du könntest das mit $F = eE$, $a = F/m$, $v = \sqrt{2ad}$ ausrechnen – aber es geht viel kürzer und ohne $d$. Das Feld verrichtet an der Ladung die Arbeit $W = qU$ (siehe Seite Elektrisches Feld), und diese Arbeit wird vollständig zu Bewegungsenergie:

Drei Dinge musst du an dieser Formel sehen:

• Kein $d$. Der Plattenabstand bestimmt $E = U/d$ und damit Kraft und Beschleunigung – aber nicht die Endgeschwindigkeit. Bei größerem $d$ ist die Kraft kleiner und wirkt länger; das Produkt $F\cdot d = qU$ ist gleich. Rechne es einmal nach: $v = \sqrt{2ad} = \sqrt{2\cdot\dfrac{qU}{md}\cdot d} = \sqrt{2qU/m}$ – $d$ kürzt sich heraus.
• Das Verhältnis $q/m$ entscheidet. Elektronen und Protonen gewinnen bei derselben Spannung dieselbe Energie, aber das Proton ist $1836$-mal schwerer und deshalb $\sqrt{1836} = 42{,}9$-mal langsamer.
• Energie in eV ablesen, Geschwindigkeit in J rechnen. Nach $U = 1{,}0\,\mathrm{kV}$ hat ein Elektron $1{,}0\,\mathrm{keV} = 1{,}602\cdot 10^{-16}\,\mathrm{J}$, und $$v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}602\cdot 10^{-16}\,\mathrm{J}}{9{,}109\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}} = 1{,}88\cdot 10^7\,\mathrm{m/s}.$$ Das sind $6\,\%$ der Lichtgeschwindigkeit – nach nur einem Kilovolt.

Grenze der Formel: Ab etwa $10\,\%$ von $c$ (das ist schon bei $U \approx 2{,}6\,\mathrm{kV}$ erreicht) weicht die klassische Rechnung messbar von der relativistischen ab; bei $10\,\mathrm{kV}$ liefert die Formel $5{,}93\cdot 10^7\,\mathrm{m/s}$ (knapp $20\,\%$ von $c$), der relativistisch richtige Wert ist $5{,}85\cdot 10^7\,\mathrm{m/s}$. Im Abitur rechnest du klassisch, solltest aber bei hohen Spannungen in einem Satz auf diese Grenze hinweisen – das ist ein Punkt beim „Beurteilen“.

Elektronenkanone. Technisch gewinnt man freie Elektronen aus einem geheizten Draht (Glühkathode): Die thermische Energie reicht, damit Elektronen das Metall verlassen (glühelektrischer Effekt). Eine Lochanode im Abstand $d$ liegt auf $+U_B$; die Elektronen werden beschleunigt, die meisten fliegen durch das Loch mit $v_0 = \sqrt{2eU_B/m_e}$ als feiner Strahl weiter. Alles im Vakuum, sonst würden die Elektronen an Luftmolekülen gestreut. Mit dieser „Kanone“ beginnen Braunsche Röhre, Fadenstrahlrohr und Elektronenbeugungsröhre.

Querfeld: Ablenkung wie beim waagerechten Wurf

Jetzt fliegt das Elektron mit $v_0$ parallel zu den Platten in einen Kondensator (Plattenlänge $l$, Abstand $d$, Ablenkspannung $U_A$) hinein. Das Feld $E = U_A/d$ steht senkrecht zur Flugrichtung. Die Kraft $F = eE$ ist konstant und zeigt zur positiven Platte – sie ändert die Vorwärtsgeschwindigkeit nicht, sondern baut eine Quergeschwindigkeit auf. Das ist exakt die Situation des waagerechten Wurfs mit $a = eE/m$ statt $g$:

Die Zeit eliminieren ($t = x/v_0$) liefert die Bahngleichung:

Eine Parabel mit Scheitel am Eintrittspunkt. Am Plattenende ($x = l$) ist das Elektron um $y(l) = \dfrac{qU_A l^2}{2md\,v_0^2}$ abgelenkt und hat die Querkomponente $v_y = a\cdot\dfrac{l}{v_0}$. Es verlässt das Feld unter dem Austrittswinkel

und fliegt danach geradlinig weiter (keine Kraft mehr). Nützlich: Die Verlängerung dieser Geraden nach hinten trifft die $x$-Achse genau bei $x = l/2$, in der Plattenmitte. Die Gesamtablenkung auf einem Schirm im Abstand $s$ hinter dem Plattenende ist deshalb $Y = y(l) + s\tan\varphi = \tan\varphi\cdot\left(\dfrac l2 + s\right)$.

Zahlenbeispiel: $U_B = 2{,}0\,\mathrm{kV}$ (also $v_0 = 2{,}65\cdot 10^7\,\mathrm{m/s}$), $U_A = 100\,\mathrm{V}$, $d = 2{,}0\,\mathrm{cm}$, $l = 5{,}0\,\mathrm{cm}$. Dann $E = 5{,}0\cdot 10^3\,\mathrm{V/m}$, $a = 8{,}79\cdot 10^{14}\,\mathrm{m/s^2}$, Flugzeit im Feld $t = l/v_0 = 1{,}89\,\mathrm{ns}$, Ablenkung $y(l) = 1{,}56\,\mathrm{mm}$, $\tan\varphi = 0{,}0625$, $\varphi = 3{,}6^\circ$. Auf einem Schirm $20\,\mathrm{cm}$ hinter den Platten: $Y = 0{,}0625\cdot(0{,}025 + 0{,}20)\,\mathrm{m} = 14{,}1\,\mathrm{mm}$.

Die elegante Überraschung: y(l) hängt nicht von q und m ab

Kommt das Elektron aus einer Beschleunigungsstrecke mit $U_B$, ist $v_0^2 = \dfrac{2qU_B}{m}$. Setze das in die Ablenkung am Plattenende ein:

Ladung und Masse kürzen sich vollständig heraus. Ein Proton, ein Elektron, ein beliebiges Ion – alle werden bei denselben Spannungen gleich stark abgelenkt (nur das Vorzeichen der Ladung entscheidet über die Richtung). Der Grund: Eine große Masse ist im Längsfeld langsam (lange Zeit im Querfeld, viel Ablenkung) und im Querfeld träge (wenig Beschleunigung); beides hebt sich genau auf. Deshalb kann man mit einem reinen E-Feld keine Teilchenarten unterscheiden – dafür braucht man das Magnetfeld.

Die Ablenkung ist proportional zu $U_A$. Das ist das Prinzip der Braunschen Röhre und des analogen Oszilloskops: Die zu messende Spannung liegt an den Ablenkplatten, der Leuchtfleck auf dem Schirm wandert linear mit ihr. Ein zweites Plattenpaar lenkt mit einer Sägezahnspannung waagerecht ab (Zeitablenkung), und der Strahl schreibt den Spannungsverlauf $U(t)$ auf den Schirm. Beschleunigungsspannung hoch heißt heller Fleck, aber geringere Empfindlichkeit ($y \propto 1/U_B$).

Energie als Kontrolle. Das Querfeld verrichtet Arbeit, denn das Elektron bewegt sich um $y(l)$ in Feldrichtung: $W = qE\cdot y(l) = qU_A\,\dfrac{y(l)}{d}$. Genau das muss der Zuwachs an kinetischer Energie sein, $\tfrac12 m v_y^2$. Im Beispiel oben: $W = e\cdot 5{,}0\cdot 10^3\,\mathrm{V/m}\cdot 1{,}56\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m} = 7{,}8\,\mathrm{eV}$ – gegenüber den $2000\,\mathrm{eV}$ Längsenergie winzig, der Betrag der Geschwindigkeit ändert sich nur um $0{,}2\,\%$. Das ist der allgemeine Unterschied zum Magnetfeld, das in Q1.2 folgt: Ein E-Feld kann Arbeit verrichten und den Betrag der Geschwindigkeit ändern; die Lorentzkraft steht immer senkrecht auf $v$ und ändert nur die Richtung, nie den Betrag.

Millikan-Versuch: Kräftegleichgewicht und Ladungsquantelung

Robert Millikan bestimmte 1910 die Elementarladung, indem er winzige Öltröpfchen in einem Plattenkondensator schweben ließ. Die Tröpfchen laden sich beim Zerstäuben elektrisch auf (einige wenige Elementarladungen). Zwischen den Platten (Abstand $d$, Spannung $U$ so gewählt, dass die obere Platte das Tröpfchen anzieht) wirken zwei Kräfte: die Gewichtskraft $mg$ nach unten und die elektrische Kraft $qE = qU/d$ nach oben. Regelt man $U$, bis ein Tröpfchen im Mikroskop stillsteht, gilt Kräftegleichgewicht:

Die Masse folgt aus dem Radius (aus der Sinkgeschwindigkeit ohne Feld, Stokes-Reibung – im Abitur meist gegeben) und der Dichte des Öls: $m = \rho\cdot\tfrac43\pi r^3$. Beispiel: $r = 1{,}0\,\mathrm{\mu m}$, $\rho = 875\,\mathrm{kg/m^3}$ ergibt $m = 3{,}67\cdot 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ und $mg = 3{,}60\cdot 10^{-14}\,\mathrm{N}$. Schwebt das Tröpfchen bei $d = 6{,}0\,\mathrm{mm}$ und $U = 449\,\mathrm{V}$, dann ist $q = \dfrac{3{,}60\cdot 10^{-14}\,\mathrm{N}\cdot 6{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}}{449\,\mathrm{V}} = 4{,}81\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3\,e$.

Das eigentliche Ergebnis kommt aus vielen Tröpfchen: Alle gemessenen Ladungen sind ganzzahlige Vielfache von $1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$, nie $0{,}5\,e$ oder $2{,}3\,e$. Ladung ist gequantelt, und die kleinste Portion ist die Elementarladung. In einer Abituraufgabe trägst du die gemessenen $q$-Werte auf einer Achse auf, erkennst die Stufen und liest $e$ als größten gemeinsamen Abstand ab – nicht als Mittelwert aller Werte.

Typische Abituraufgabe und die Reihenfolge der Rechnung

Die Standardaufgabe kombiniert alles: Elektronenkanone mit $U_B$, Ablenkkondensator mit $l$, $d$, $U_A$, Schirm im Abstand $s$. Der sichere Rechenweg, in dieser Reihenfolge:

1. Skizze mit Kathode, Anode, Plattenpaar ($l$, $d$, Polung), Parabel im Feld, Gerade danach, Schirm, $y(l)$, $\varphi$, $Y$ beschriftet.
2. $v_0 = \sqrt{2eU_B/m_e}$ aus dem Energiesatz – ohne Abstand der Kanone. Zahl in SCI-3, Vergleich mit $c$.
3. $E = U_A/d$, $a = eE/m_e$, Flugzeit $t = l/v_0$.
4. $y(l) = \tfrac12 a t^2$ und Prüfung $y(l) \lt d/2$. Alternativ sofort $y(l) = U_A l^2/(4dU_B)$ – beide Wege müssen dasselbe liefern; das ist eine gute Selbstkontrolle.
5. $\tan\varphi = v_y/v_0 = at/v_0$, dann $Y = y(l) + s\tan\varphi$.
6. Antwortsatz mit Einheiten, Plausibilität (liegt $Y$ im Schirmbereich? Vorzeichen/Richtung richtig?).

Beliebte Varianten: „Wie muss $U_A$ gewählt werden, damit das Elektron gerade noch die Platten verlässt?“ ($y(l) = d/2$ setzen). „Wie ändert sich die Ablenkung, wenn $U_B$ verdoppelt wird?“ ($Y \propto 1/U_B$, halbiert). „Ein Proton statt Elektron?“ (gleiche Ablenkung, andere Richtung, aber $1836$-mal längere Flugzeit). „Begründen Sie, warum die Gewichtskraft vernachlässigt werden darf.“ ($mg \approx 10^{-29}\,\mathrm{N}$ gegen $eE \approx 10^{-15}\,\mathrm{N}$ – 14 Zehnerpotenzen.)

Grenzen des Modells: Das Feld ist nur im Inneren homogen; am Rand verlaufen die Feldlinien gebogen (Randfeld), was die Rechnung für $l \gg d$ kaum stört. Bei sehr großen $U_B$ wird die Masse relativistisch größer, dann ist $v_0$ kleiner als klassisch berechnet und die Ablenkung ebenfalls. Und im Abitur gilt stets: Luft ist nicht erlaubt – Vakuumröhre.

Simulation: Elektronenkanone, Ablenkkondensator und Schirm

Herleitung: Parabelbahn im Querfeld $y(x) = \dfrac{qU_A}{2md\,v_0^2}\,x^2$

Pflichtherleitung. Sie bringt volle Punkte nur mit beschrifteter Skizze (Platten, $l$, $d$, $v_0$, Feldrichtung, Koordinatensystem mit Ursprung am Eintrittspunkt) und mit der ausdrücklichen Begründung, warum die beiden Bewegungsrichtungen getrennt behandelt werden dürfen. Tippe „Verdecken“ und versuche es zuerst selbst.

Formeln, die du sicher können musst

Typische Fehler – und wie du die Punkte holst

• $v_0$ über $F = eU/d$, $a = F/m$, $v = \sqrt{2ad}$ berechnet und dabei $d$ falsch oder gar nicht gegeben – oder behauptet, $v_0$ hänge vom Abstand der Kanone ab.
  Energiesatz: $eU_B = \tfrac12 m v_0^2$, also $v_0 = \sqrt{2eU_B/m}$. Der Abstand kürzt sich heraus ($F\cdot d = eU$). Ein Satz dazu bringt den Punkt für die Begründung.
• Im Querfeld die Energie $eU_A$ für die Geschwindigkeit benutzt („das Elektron durchläuft $U_A$“).
  Das Elektron durchläuft nur den Bruchteil $y(l)/d$ der Ablenkspannung. Im Querfeld rechnet man mit Kraft und Beschleunigung (Wurfparabel), nicht mit dem Energiesatz. Energie nur als Kontrolle: $\tfrac12 m v_y^2 = eU_A\,y(l)/d$.
• Bahngleichung mit $t$ stehen gelassen oder die Zeit falsch eliminiert ($t = v_0 x$ statt $t = x/v_0$).
  $x = v_0 t \Rightarrow t = x/v_0$, dann $y = \tfrac12 a (x/v_0)^2 = \dfrac{a}{2v_0^2}x^2$. Einheitencheck: $\dfrac{\mathrm{m/s^2}}{\mathrm{m^2/s^2}}\cdot\mathrm{m^2} = \mathrm{m}$.
• Nach dem Plattenende die Parabel weitergezeichnet oder mit $y(l)$ als Schirmablenkung gerechnet.
  Außerhalb des Feldes wirkt keine Kraft: geradlinige Bewegung unter $\tan\varphi = v_y/v_0$. Schirmablenkung $Y = y(l) + s\tan\varphi$. In der Skizze: Parabel im Feld, Gerade danach, Knick am Plattenende.
• Austrittswinkel über $\tan\varphi = y(l)/l$ bestimmt.
  $y(l)/l$ ist die Steigung der Sehne, nicht der Tangente. Richtig: $\tan\varphi = v_y/v_0 = 2y(l)/l$ – die Tangente ist doppelt so steil wie die Sehne (Parabel!). Deshalb trifft die Rückverlängerung bei $l/2$.
• Proton statt Elektron: „wird $1836$-mal weniger abgelenkt, weil es schwerer ist“.
  Bei gleichem $U_B$ und $U_A$ ist $y(l) = U_A l^2/(4dU_B)$ unabhängig von $m$ und $q$: Das Proton ist langsamer (längere Zeit im Feld) und träger – beides hebt sich auf. Nur die Richtung kehrt sich um. Bei gleichem $v_0$ wäre die Ablenkung tatsächlich $1836$-mal kleiner.
• Plausibilität vergessen: $y(l) \gt d/2$ ausgerechnet und trotzdem Schirmablenkung angegeben.
  Immer prüfen, ob $y(l) \lt d/2$. Sonst trifft das Teilchen auf die Platte und kommt nicht am Schirm an. Grenzspannung: $U_A^{\max} = 2d^2U_B/l^2$.

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