Elektrisches Feld & Kondensator

Feldstärke, Spannung, Kapazität und Energie – und die eine Frage, die bei jeder Kondensatoraufgabe zuerst zu klären ist: Welche Größe bleibt fest?

Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen

Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.

Was ist ein elektrisches Feld?

Eine geladene Kugel übt auf eine zweite Ladung eine Kraft aus, obwohl sich beide nicht berühren. Die Physik beschreibt das in zwei Schritten: Die Kugel verändert den Raum um sich herum – sie erzeugt ein elektrisches Feld –, und dieses Feld übt auf jede Ladung, die man hineinbringt, eine Kraft aus. Das Feld ist also an jedem Ort vorhanden, auch wenn gerade keine zweite Ladung dort ist.

Um das Feld sichtbar zu machen, benutzt man eine kleine positive Probeladung $q$ und zeichnet Feldlinien. Dafür gelten drei Regeln, die du in jeder „Erläutern“-Aufgabe nennen solltest:

1. Richtung: Die Feldlinie zeigt an jedem Punkt in die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung – also von Plus nach Minus. Auf ein Elektron wirkt die Kraft genau entgegengesetzt zur Feldlinie.
2. Dichte: Wo die Feldlinien dicht liegen, ist das Feld stark; wo sie auseinanderlaufen, ist es schwach.
3. Anfang und Ende: Feldlinien beginnen auf positiven und enden auf negativen Ladungen. Sie kreuzen sich nie (an einem Ort gibt es nur eine Kraftrichtung) und stehen senkrecht auf Leiteroberflächen.

Drei Feldbilder solltest du skizzieren können: Die Punktladung hat radiale Feldlinien, die nach außen immer weiter auseinanderlaufen – das Feld nimmt mit dem Abstand ab. Der Dipol (Plus und Minus nebeneinander) hat gebogene Linien von der positiven zur negativen Ladung. Der Plattenkondensator hat zwischen den Platten parallele, gleich dichte Linien – ein homogenes Feld, überall gleich stark und gleich gerichtet; nur am Rand biegen sich die Linien nach außen (Randfeld), was man im Abitur „vernachlässigt“, wenn die Platten groß gegen den Abstand sind.

Quantitativ ist die Feldstärke über die Kraft auf die Probeladung definiert:

Das Feld ist eine Eigenschaft des Raumes, nicht der Probeladung: Verdoppelst du $q$, verdoppelt sich $F$, der Quotient $E$ bleibt gleich. Umgekehrt liefert $F = qE$ die Kraft auf jede beliebige Ladung im Feld – mit Vorzeichen: Für $q \lt 0$ zeigt $F$ gegen $E$.

Spannung, Potential und das homogene Feld: E = U/d

Die Spannung zwischen zwei Punkten ist die Arbeit, die das Feld pro Ladung verrichtet, wenn die Ladung von einem Punkt zum anderen läuft:

Spannung ist also „Energie pro Ladung“, so wie $gh$ im Schwerefeld „Energie pro Masse“ ist. Jedem Punkt im Feld kann man ein Potential $\varphi$ zuordnen (die potentielle Energie pro Ladung an diesem Ort); die Spannung ist die Potentialdifferenz $U = \varphi_1 - \varphi_2$. Flächen gleichen Potentials heißen Äquipotentialflächen; sie stehen überall senkrecht auf den Feldlinien, denn entlang einer solchen Fläche wird keine Arbeit verrichtet. Im Plattenkondensator sind das Ebenen parallel zu den Platten.

Im homogenen Feld lässt sich $E$ direkt aus Spannung und Plattenabstand berechnen. Das ist die wichtigste Herleitung dieses Abschnitts, in vier Zeilen:

1. Auf die Ladung $q$ wirkt überall zwischen den Platten dieselbe Kraft $F = qE$ (homogenes Feld).
2. Läuft $q$ von einer Platte zur anderen, verrichtet das Feld längs des Weges $d$ die Arbeit $W = F\cdot d = qE\cdot d$.
3. Nach der Definition der Spannung ist dieselbe Arbeit $W = qU$.
4. Gleichsetzen: $qEd = qU$, also $E = \dfrac{U}{d}$.

Deshalb ist $\mathrm{V/m}$ dieselbe Einheit wie $\mathrm{N/C}$. Zahlenbeispiel: $U = 300\,\mathrm{V}$, $d = 6{,}0\,\mathrm{mm}$ ergibt $E = \dfrac{300\,\mathrm{V}}{6{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}} = 5{,}00\cdot 10^4\,\mathrm{V/m}$; auf ein Elektron wirkt dann $F = eE = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot 5{,}00\cdot 10^4\,\mathrm{V/m} = 8{,}01\cdot 10^{-15}\,\mathrm{N}$. Das klingt winzig – aber die Elektronenmasse ist $9{,}109\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, die Beschleunigung also fast $10^{16}\,\mathrm{m/s^2}$. Die Gewichtskraft des Elektrons ($\approx 9\cdot 10^{-30}\,\mathrm{N}$) ist dagegen um 15 Zehnerpotenzen kleiner und wird immer vernachlässigt.

W = qU hängt nicht vom Plattenabstand ab

Hier steckt eine hartnäckige Fehlvorstellung: „Wenn die Platten weiter auseinander sind, hat das Elektron einen längeren Weg, also gewinnt es mehr Energie.“ Das ist falsch – und du kannst es dir in einer Zeile beweisen. Bei fester Spannung $U$ ist die Kraft $F = qE = q\,\dfrac{U}{d}$ umgekehrt proportional zu $d$. Weg länger, Kraft kleiner, das Produkt bleibt:

Die Energie, die eine Ladung beim Durchlaufen der Spannung $U$ gewinnt, hängt nur von $U$ ab. Der Plattenabstand steckt in $E$ und in $F$, aber nicht in $W$. Zahlenbeispiel für ein Elektron bei $U = 400\,\mathrm{V}$:

Was sich mit $d$ sehr wohl ändert: die Kraft, die Beschleunigung und damit die Zeit, die das Elektron braucht. Die Endgeschwindigkeit ist in beiden Fällen gleich, $v = \sqrt{2eU/m_e} = 1{,}19\cdot 10^7\,\mathrm{m/s}$.

Weil $qU$ für Elementarteilchen so praktisch ist, gibt es dafür eine eigene Energieeinheit, das Elektronenvolt: $1\,\mathrm{eV}$ ist die Energie, die ein Teilchen mit der Ladung $e$ beim Durchlaufen von $1\,\mathrm{V}$ gewinnt:

Ein Elektron, das $400\,\mathrm{V}$ durchläuft, hat danach $400\,\mathrm{eV}$ – ohne Rechnung. In Joule umrechnen musst du erst, wenn du $v$ aus $\tfrac12 mv^2$ bestimmen willst.

Kapazität: Wie viel Ladung passt bei gegebener Spannung?

Legt man an einen Kondensator die Spannung $U$ an, fließt Ladung auf die Platten: $+Q$ auf die eine, $-Q$ auf die andere. Misst man $Q$ für verschiedene $U$, findet man $Q \propto U$. Die Proportionalitätskonstante ist die Kapazität, das „Fassungsvermögen“ für Ladung:

Für den Plattenkondensator hängt $C$ nur von der Geometrie und vom Material zwischen den Platten ab:

Die Abhängigkeiten kannst du dir plausibel machen: Doppelte Fläche $A$ bietet doppelt so viel Platz für Ladung bei gleicher Ladungsdichte – also $C \propto A$. Halber Abstand $d$ bedeutet bei gleicher Ladung halbe Spannung ($U = Ed$ mit unverändertem $E$), also doppelte Kapazität – $C \propto 1/d$. Ein Dielektrikum (Isolator wie Papier, Kunststoff, Keramik) zwischen den Platten wird polarisiert: Seine Moleküle richten sich im Feld aus und schwächen es im Inneren um den Faktor $\varepsilon_r$ (Luft $1{,}0006 \approx 1$, Papier $\approx 2$, Keramik bis über $1000$). Bei gleicher Ladung sinkt dadurch die Spannung, die Kapazität steigt um $\varepsilon_r$.

Wie groß sind die Zahlen? Zwei Platten mit $A = 400\,\mathrm{cm^2} = 0{,}04\,\mathrm{m^2}$ im Abstand $d = 1{,}0\,\mathrm{mm}$ in Luft haben nur $C = \dfrac{8{,}854\cdot 10^{-12}\,\mathrm{As/(Vm)}\cdot 0{,}04\,\mathrm{m^2}}{1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}} = 3{,}54\cdot 10^{-10}\,\mathrm{F} = 354\,\mathrm{pF}$. Für ein ganzes Farad bräuchte man bei diesem Abstand $113\,\mathrm{km^2}$ Plattenfläche. Technische Kondensatoren schaffen Mikro- bis Millifarad nur durch hauchdünne Dielektrika ($d$ im Mikrometerbereich) mit großem $\varepsilon_r$ und aufgewickelte Folien.

Noch eine Verbindung, die im Abitur oft gefragt wird: Die Flächenladungsdichte $\sigma = Q/A$ bestimmt direkt die Feldstärke. Aus $Q = CU = \varepsilon_0 \dfrac{A}{d}\,E d$ folgt

Das ist der Schlüssel für den Fall „Quelle getrennt“: Bleibt $Q$ fest und $A$ unverändert, dann bleibt auch $E$ fest – egal, was mit $d$ passiert. Zahlen aus dem Beispiel oben: $Q = 100\,\mathrm{nC}$ auf $0{,}04\,\mathrm{m^2}$ ergibt $\sigma = 2{,}50\cdot 10^{-6}\,\mathrm{C/m^2}$ und $E = 2{,}82\cdot 10^5\,\mathrm{V/m}$.

Energie des geladenen Kondensators: W = ½CU²

Ein geladener Kondensator speichert Energie – ein Blitzgerät zieht sie in einer Millisekunde heraus. Wie viel steckt drin? Die naive Antwort „$Q$ mal $U$“ ist um den Faktor 2 zu groß, und der Grund ist wichtig genug für eine eigene „Erläutern“-Frage:

Beim Aufladen wird Ladung Portion für Portion von der einen Platte zur anderen gebracht. Die erste Portion kostet fast nichts, denn der Kondensator ist noch leer, die Spannung ist null. Jede weitere Portion muss gegen eine schon vorhandene Spannung $u = q/C$ transportiert werden, die mit der Ladung linear wächst. Die letzte Portion kostet $u = U$. Im Mittel wird jede Ladungsportion gegen $U/2$ bewegt. Im $Q$-$U$-Diagramm ist das die Fläche unter der Ursprungsgeraden $Q = CU$: ein Dreieck.

Alle drei Formen sind dieselbe Aussage, verbunden durch $Q = CU$. Welche du nimmst, hängt davon ab, was fest bleibt: $\tfrac12 CU^2$ bei fester Spannung, $\dfrac{Q^2}{2C}$ bei fester Ladung. Zahlenbeispiel Blitzkondensator: $C = 1000\,\mathrm{\mu F}$, $U = 300\,\mathrm{V}$. Dann ist $Q = CU = 0{,}300\,\mathrm{C}$ und $W = \tfrac12\cdot 10^{-3}\,\mathrm{F}\cdot (300\,\mathrm{V})^2 = 45{,}0\,\mathrm{J}$. Wer $QU$ rechnet, bekommt $90\,\mathrm{J}$ – doppelt so viel, als wäre jede Ladungsportion gegen die volle Spannung transportiert worden.

Welche Größe bleibt fest? Quelle angeschlossen oder getrennt

Jede Aufgabe, in der am Kondensator etwas verändert wird (Abstand, Fläche, Dielektrikum), beginnt mit derselben Frage: Ist die Spannungsquelle noch angeschlossen? Davon hängt ab, welche Größe konstant bleibt – und daraus folgt alles Weitere über zwei Formeln, die immer gelten: $C = \varepsilon_0\varepsilon_r A/d$ und $Q = CU$.

• Quelle angeschlossen: Die Quelle hält $U$ fest. Ladung kann nachfließen oder abfließen. Konstant: $U$. Es ändern sich $C$, $Q$, $E$, $W$.
• Quelle getrennt: Die Ladung kann nirgendwohin. Konstant: $Q$. Es ändern sich $C$, $U$, $W$ – und $E = Q/(\varepsilon_0 A)$ bleibt ebenfalls fest, solange $A$ nicht angetastet wird.

Beispiel: Plattenabstand $d$ wird verdoppelt (Luft, $A = 0{,}04\,\mathrm{m^2}$, Start $d = 1{,}0\,\mathrm{mm}$, $U_0 = 200\,\mathrm{V}$, also $C_0 = 354\,\mathrm{pF}$, $Q_0 = 7{,}08\cdot 10^{-8}\,\mathrm{C}$, $E_0 = 2{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{V/m}$, $W_0 = 7{,}08\cdot 10^{-6}\,\mathrm{J}$):

Im Fall (b) lässt sich die mechanische Arbeit sogar nachrechnen: Jede Platte spürt nur das Feld der anderen Platte, also $E/2$, und damit die Kraft $F = Q\cdot E/2 = \tfrac12\cdot 7{,}08\cdot 10^{-8}\,\mathrm{C}\cdot 2{,}00\cdot 10^5\,\mathrm{V/m} = 7{,}08\cdot 10^{-3}\,\mathrm{N}$. Über den Weg $\Delta d = 1{,}0\,\mathrm{mm}$ ist das $W = F\cdot\Delta d = 7{,}08\cdot 10^{-6}\,\mathrm{J}$ – genau die Zunahme der Feldenergie von $7{,}08\cdot 10^{-6}$ auf $1{,}42\cdot 10^{-5}\,\mathrm{J}$. Energieerhaltung stimmt.

Simulation: Plattenkondensator – was bleibt fest?

Herleitung: Energie des Kondensators $W = \tfrac12 CU^2$

Diese Herleitung wird im Abitur direkt abgefragt („Leiten Sie her …“) und steckt hinter jeder Energiebilanz mit Kondensatoren. Der entscheidende Gedanke: Beim Laden ist die Spannung nicht konstant, sondern wächst von $0$ auf $U$. Skizziere dazu immer das $Q$-$U$-Diagramm mit der Ursprungsgeraden.

Formeln, die du sicher können musst

Typische Fehler – und wie du die Punkte holst

• „Bei größerem Plattenabstand gewinnt das Elektron mehr Energie, weil der Weg länger ist.“
  $W = qU$ hängt nur von der Spannung ab. Weg länger, aber Kraft kleiner: $F\cdot d = \dfrac{qU}{d}\cdot d = qU$. Was von $d$ abhängt, sind $E = U/d$, $F$ und die Flugzeit – nicht die Energie.
• Kondensatorenergie als $W = QU$ berechnet (Faktor 2 zu groß).
  Beim Laden steigt die Spannung von $0$ auf $U$; die Ladearbeit ist die Dreiecksfläche unter der $Q$-$U$-Geraden: $W = \tfrac12 QU = \tfrac12 CU^2$. $QU$ ohne $\tfrac12$ gilt nur für eine einzelne Ladung, die eine fertige Spannung durchläuft.
• Platten auseinandergezogen und mit $U$ = konstant weitergerechnet, obwohl die Quelle abgetrennt war (oder umgekehrt).
  Erster Satz jeder Lösung: „Quelle angeschlossen $\Rightarrow$ $U$ fest“ oder „Quelle getrennt $\Rightarrow$ $Q$ fest“. Dann $C$ neu aus der Geometrie, die freie Größe aus $Q = CU$. Bei getrennter Quelle bleibt zusätzlich $E = Q/(\varepsilon_0 A)$ unverändert.
• $E = U/d$ auch bei einer Punktladung oder einer geladenen Kugel benutzt.
  $E = U/d$ gilt nur im homogenen Feld des Plattenkondensators. Bei Punktladungen nimmt $E$ mit $1/r^2$ ab; dort gibt es kein festes $d$. Immer zuerst fragen: Ist das Feld homogen?
• Fläche in $\mathrm{cm^2}$ eingesetzt ($400\,\mathrm{cm^2}$ als $4\,\mathrm{m^2}$ oder als $0{,}4\,\mathrm{m^2}$) – Kapazität um Zehnerpotenzen falsch.
  $1\,\mathrm{cm^2} = 10^{-4}\,\mathrm{m^2}$, also $400\,\mathrm{cm^2} = 0{,}04\,\mathrm{m^2}$. Plausibilitätshaken: Ein Luft-Plattenkondensator im Labor hat Pikofarad bis wenige Nanofarad. Kommen Mikrofarad heraus, stimmt die Einheit nicht.
• Feldlinien falsch gezeichnet: kreuzend, ohne Pfeile, nicht senkrecht auf den Platten oder bei der Punktladung gleich dicht.
  Pfeile von Plus nach Minus, keine Kreuzungen, senkrecht auf Leiteroberflächen, Dichte zeigt die Feldstärke (Punktladung: nach außen dünner; Plattenkondensator: parallel und gleich dicht, am Rand nach außen gebogen).
• Beim „Erläutern“ der Energiezunahme bei getrennter Quelle nur „$W$ wird größer, weil $C$ kleiner wird“ geschrieben.
  Die Formel ist das Ergebnis, nicht die Ursache. Begründung: Die Platten ziehen sich an; wer sie auseinanderzieht, verrichtet mechanische Arbeit, die als Feldenergie gespeichert wird (Energieerhaltung). Dann erst $W = Q^2/(2C)$.

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