Stehende Wellen: Saite, Rohr, Resonanz
Zwei gegenläufige Wellen ergeben ein Muster, das nicht wandert – mit festen Knoten und Bäuchen. Daraus folgen Eigenfrequenzen von Saiten und Pfeifen und die Messung der Schallgeschwindigkeit.
Vorwissen aus den Jahren davor – kurz prüfen
Tippe auf eine Frage, erst selbst antworten, dann vergleichen. Wenn etwas wackelt: zuerst dort nachlesen, sonst stolperst du im neuen Stoff.
Was bedeuten $\hat y$, $k$, $\omega$ und das Argument $\omega t - kx$ in der Wellengleichung?
Wie lautet das Additionstheorem $\sin a + \sin b$?
Was passiert bei der Reflexion einer Welle am festen und am losen Ende?
Was sind Eigenfrequenz und Resonanz bei einer Schwingung?
Wie hängen $c$, $\lambda$ und $f$ zusammen, und wie groß ist die Schallgeschwindigkeit?
Das Phänomen: Eine Welle, die nicht wandert
Schüttelst du ein Seil, dessen anderes Ende an der Wand befestigt ist, läuft die Welle zur Wand, wird dort reflektiert und läuft zurück. Hinlaufende und reflektierte Welle überlagern sich. Bei passender Frequenz entsteht ein Bild, das nicht mehr wandert: Bestimmte Punkte, die Schwingungsknoten, bleiben dauernd in Ruhe; dazwischen schwingt das Seil in Schwingungsbäuchen mit doppelter Amplitude $2\hat y$ auf und ab. Das ist eine stehende Welle.
Ihre Eigenschaften – alle sollst du erläutern können:
- Entstehung: Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude (meist Welle + reflektierte Welle).
- Knoten sind immer in Ruhe, dort löschen sich beide Wellen zu jedem Zeitpunkt aus. Bäuche schwingen mit Amplitude $2\hat y$. Benachbarte Knoten haben den Abstand $\lambda/2$, Knoten und benachbarter Bauch $\lambda/4$.
- Alle Punkte zwischen zwei Knoten schwingen gleichphasig (gleichzeitig oben, gleichzeitig unten, nur mit verschiedener Amplitude); benachbarte Abschnitte schwingen gegenphasig.
- Es gibt keine Ausbreitung: weder Phase noch Energie wandern durch das Medium; die Energie pendelt in jedem Abschnitt zwischen Bewegungs- und Verformungsenergie.
Die Gleichung: $y = 2\hat y\cos(kx)\sin(\omega t)$ lesen
Die Herleitung unten liefert für die Überlagerung der hinlaufenden Welle $y_1 = \hat y\sin(\omega t - kx)$ mit der am losen Ende $x = 0$ reflektierten Welle $y_2 = \hat y\sin(\omega t + kx)$:
$$y(x,t) = 2\hat y\cdot\cos(kx)\cdot\sin(\omega t)$$Das Wichtigste ist, diese Gleichung deuten zu können. Sie ist ein Produkt aus einem reinen Orts- und einem reinen Zeitfaktor – Ort und Zeit sind entkoppelt, nichts läuft:
- $\sin(\omega t)$: Alle Punkte schwingen im gleichen Takt mit der Frequenz $f = \omega/2\pi$.
- $2\hat y\cos(kx)$: die ortsabhängige Amplitude. Ihr Betrag ist die Amplitude am Ort $x$, ihr Vorzeichen sagt, ob der Abschnitt mit oder gegen den Nachbarabschnitt schwingt.
- Knoten, wo $\cos(kx) = 0$: $kx = \tfrac\pi2, \tfrac{3\pi}2, \dots$, mit $k = 2\pi/\lambda$ also $x = \tfrac\lambda4, \tfrac{3\lambda}4, \dots = (2m+1)\dfrac\lambda4$.
- Bäuche, wo $|\cos(kx)| = 1$: $kx = 0, \pi, 2\pi, \dots$, also $x = 0, \tfrac\lambda2, \lambda, \dots = m\dfrac\lambda2$. Bei $x = 0$ liegt ein Bauch – das ist das lose Ende, der Ursprung des Regelhefts.
Knoten und Bäuche wechseln sich im Abstand $\lambda/4$ ab, der Knotenabstand ist $\lambda/2$. Misst man den Knotenabstand, hat man $\lambda$ – das ist die Grundidee aller Messungen mit stehenden Wellen.
Festes Ende bei $x = 0$: Dort hat die reflektierte Welle einen Phasensprung $\pi$, $y_2 = \hat y\sin(\omega t + kx + \pi) = -\hat y\sin(\omega t + kx)$. Die Summe ergibt dann $y = -2\hat y\sin(kx)\cos(\omega t)$ (Sinus statt Kosinus im Ortsfaktor). Jetzt liegt bei $x = 0$ ein Knoten, Bäuche bei $x = (2m+1)\lambda/4$. Das Muster ist dasselbe, nur um $\lambda/4$ verschoben. Im Regelheft ist der Ursprung am losen Ende; wenn du den Ursprung in einen Knoten legst, musst du den Sinus nehmen – schreib dazu, wo dein Ursprung liegt.
Eigenschwingungen: Saite und Rohr
Ist das Medium an beiden Enden begrenzt, passen nur bestimmte Wellenlängen hinein – die Randbedingungen (Knoten am festen, Bauch am losen Ende) erzwingen sie. Jede erlaubte Wellenlänge gehört zu einer Eigenfrequenz $f_n = c/\lambda_n$.
| System | Randbedingung | Länge und Eigenfrequenz | Obertöne |
|---|---|---|---|
| Saite (fest–fest) | Knoten an beiden Enden | $L = n\,\tfrac{\lambda_n}{2}$, also $\lambda_n = 2L/n$ und $f_n = n\,\tfrac{c}{2L}$ | alle Vielfachen von $f_1$ |
| Rohr offen–offen (Flöte, offene Orgelpfeife) | Bauch an beiden Enden | $L = n\,\tfrac{\lambda_n}{2}$, $f_n = n\,\tfrac{c}{2L}$ | alle Vielfachen von $f_1$ |
| Rohr geschlossen–offen (Klarinette, gedackte Pfeife, Resonanzrohr) | Knoten am geschlossenen, Bauch am offenen Ende | $L = (2n-1)\,\tfrac{\lambda_n}{4}$, $f_n = (2n-1)\,\tfrac{c}{4L}$ | nur ungerade Vielfache: $f_1$, $3f_1$, $5f_1$, … |
$n = 1$ heißt Grundschwingung (ein Bauch auf der Saite, $L = \lambda/2$), $n = 2, 3, \dots$ sind die Oberschwingungen. Beim einseitig geschlossenen Rohr passt in der Grundschwingung nur ein Viertel der Wellenlänge hinein ($L = \lambda/4$): Es klingt eine Oktave tiefer als ein gleich langes offenes Rohr, und die geraden Vielfachen fehlen, weil ein Knoten an einem Ende und ein Bauch am anderen immer ein ungerades Vielfaches von $\lambda/4$ erfordern.
Zahlenbeispiel mit $c = 343\,\mathrm{m/s}$ und $L = 0{,}50\,\mathrm{m}$: offenes Rohr $f_1 = \dfrac{343}{2\cdot 0{,}50}\,\mathrm{Hz} = 343\,\mathrm{Hz}$, dann $686$, $1029\,\mathrm{Hz}$; geschlossenes Rohr $f_1 = \dfrac{343}{4\cdot 0{,}50}\,\mathrm{Hz} = 172\,\mathrm{Hz}$, dann $515$, $858\,\mathrm{Hz}$.
Gitarrensaite (Ausblick, keine Herleitung): Die Wellengeschwindigkeit auf der Saite hängt von Spannkraft $F$ und Masse pro Länge $\mu$ ab, $c = \sqrt{F/\mu}$. Deshalb stimmt man durch Spannen ($F$ größer → $c$ und $f$ größer), spielt höhere Töne durch Verkürzen ($L$ kleiner über die Bünde) und nimmt für tiefe Töne dicke, umsponnene Saiten (großes $\mu$). Beim Resonanzrohr dagegen ist $c$ die Schallgeschwindigkeit der Luft – fest – und $L$ wird verändert.
Resonanz und der Resonanzrohr-Versuch (Regelheft)
Resonanz: Trifft die Frequenz eines Erregers (Stimmgabel, Lautsprecher, Vibrator am Seil) eine Eigenfrequenz des Systems, verstärken sich hinlaufende und reflektierte Welle bei jedem Umlauf – die Amplitude wird groß, eine stehende Welle mit lautem Ton oder sichtbaren Bäuchen entsteht. Bei anderen Frequenzen löschen sich die vielfach reflektierten Wellen weitgehend aus.
Versuch: Eine Stimmgabel ($f = 440\,\mathrm{Hz}$) wird über ein senkrechtes Glasrohr gehalten, das unten mit Wasser gefüllt ist. Der Wasserspiegel (festes Ende, Knoten) wird abgesenkt, bis der Ton deutlich lauter wird. Beim ersten Resonanzmaximum ist die Luftsäule $d = 0{,}19\,\mathrm{m}$ lang (das Regelheft nennt diese Länge $d$ – hier also keine Spaltbreite). Am offenen Ende liegt ein Bauch, am Wasser ein Knoten, dazwischen genau ein Viertel der Wellenlänge:
$$\frac{\lambda}{4} = 0{,}19\,\mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad\lambda = 0{,}76\,\mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad c = \lambda\cdot f = 0{,}76\,\mathrm{m}\cdot 440\,\mathrm{Hz} = 334\,\mathrm{m/s}.$$Der Literaturwert bei $20\,^\circ\mathrm{C}$ ist $343\,\mathrm{m/s}$; die relative Abweichung beträgt $\dfrac{334 - 343}{343} = -2{,}5\,\%$. Der Messwert ist systematisch zu klein – warum?
Weitere Messverfahren nach demselben Prinzip „Knotenabstand $= \lambda/2$, dann $c = \lambda f$“:
- Kundtsches Rohr: Korkstaub in einem Glasrohr sammelt sich an den Knoten der stehenden Schallwelle; Knotenabstand messen → $\lambda/2$. Bei $f = 2100\,\mathrm{Hz}$ und Knotenabstand $8{,}0\,\mathrm{cm}$: $\lambda = 0{,}16\,\mathrm{m}$, $c = 336\,\mathrm{m/s}$.
- Mikrowellen: Sender gegen eine Metallplatte; eine Empfangssonde zeigt beim Verschieben Maxima und Minima im Abstand $\lambda/2$. Bei $f = 10{,}0\,\mathrm{GHz}$ ist $\lambda = c/f = 3{,}0\,\mathrm{cm}$, Knotenabstand $1{,}5\,\mathrm{cm}$ – so weist man nach, dass Mikrowellen Wellen sind, und misst ihre Wellenlänge.
- Seil / Gummischnur: Vibrator mit einstellbarer Frequenz; bei den Eigenfrequenzen erscheinen 1, 2, 3, … Bäuche. Aus $f_n = n c/(2L)$ folgt $c$ auf dem Seil.
Was die Parameter ändern – und typische Grenzen
| Änderung | Wirkung | Begründung |
|---|---|---|
| Frequenz des Erregers erhöhen (Saite, $L$ und $c$ fest) | Resonanz nur bei $f_n = n c/2L$; dazwischen kleine Amplitude | nur passende $\lambda = 2L/n$ erfüllen beide Randbedingungen |
| Saite verkürzen (Bund greifen) | $f_1$ steigt, $\propto 1/L$ | $\lambda_1 = 2L$ kleiner, $c$ unverändert |
| Saite stärker spannen | $f_1$ steigt | $c = \sqrt{F/\mu}$ wächst, $\lambda_1 = 2L$ bleibt |
| Rohr einseitig schließen | Grundton eine Oktave tiefer, nur ungerade Obertöne | $L = \lambda/4$ statt $\lambda/2$ |
| Luft wärmer | Pfeife klingt höher | $c$ wächst ($\approx 0{,}6\,\mathrm{m/s}$ pro Kelvin), $f = c/\lambda$ mit festem $\lambda$ |
| Amplituden der beiden Wellen ungleich (Reflexion mit Verlust) | Knoten werden nicht mehr vollständig still | Rest $|\hat y_1 - \hat y_2|$ läuft als Welle weiter |
Zwei Grenzen, die man kennen muss: Erstens gilt die saubere Gleichung $2\hat y\cos(kx)\sin(\omega t)$ nur für gleiche Amplituden; sonst bleibt ein laufender Anteil. Zweitens ist bei Schall in Rohren die stehende Welle eine Welle der Luftbewegung: Am geschlossenen Ende ruht die Luft (Bewegungsknoten), hat aber maximale Druckschwankung (Druckbauch); am offenen Ende ist es umgekehrt. Im Abitur wird mit Bewegungsknoten und -bäuchen argumentiert – so wie in der Tabelle oben.
Simulation: Entstehung einer stehenden Welle und Eigenschwingungen
Modus „Entstehung“: hinlaufende Welle (blau), reflektierte Welle (orange) und ihre Summe (dick) – Knoten und Bäuche sind markiert. Modus „Eigenschwingungen“: Saite oder Rohr mit n Bäuchen, Einhüllende und Momentanbild.
- Modus „Entstehung“, loses Ende: Miss in der Grafik den Abstand zweier Knoten und vergleiche mit $\lambda/2$. Verdopple dann $\lambda$ – was passiert mit dem Knotenabstand?
- Schalte auf festes Ende um. Welcher Punkt liegt jetzt am rechten Rand – Knoten oder Bauch? Begründe mit dem Phasensprung bei der Reflexion.
- Modus „Eigenschwingungen“, Rohr geschlossen–offen, $L = 0{,}50\,\mathrm{m}$: Sage $f_1$, $f_2$, $f_3$ mit $f_n = (2n-1)c/(4L)$ voraus und prüfe. Warum gibt es keine Schwingung mit $2f_1$?
- Drücke „Resonanzrohr-Versuch“. Lies $\lambda$ und $f_1$ ab und rechne nach, welches $c$ die Simulation verwendet. Vergleiche mit dem Regelheft-Ergebnis $334\,\mathrm{m/s}$ und erkläre den Unterschied.
Herleitung: Gleichung der stehenden Welle $y = 2\hat y\cos(kx)\sin(\omega t)$
Pflichtherleitung aus dem Regelheft. Punkte gibt es für den Ansatz der beiden gegenläufigen Wellen (mit Begründung der Vorzeichen), das korrekt angewendete Additionstheorem, die Deutung als ortsabhängige Amplitude und die Lage von Knoten und Bäuchen. Skizze: Momentanbilder von $y_1$, $y_2$ und $y$; Ursprung am losen Ende. „Verdecken“ und selbst versuchen.
- Die hinlaufende Welle breitet sich in $+x$-Richtung aus (Regelheft-Form). Sie trifft bei $x = 0$ auf ein loses Ende und wird dort ohne Phasensprung reflektiert.$$ y_1(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx) $$
- Die reflektierte Welle hat dieselbe Amplitude $\hat y$ und Frequenz $\omega$, läuft aber in $-x$-Richtung: Das Vorzeichen von $kx$ dreht sich um. Weil am losen Ende kein Phasensprung auftritt, sind beide Wellen bei $x = 0$ zu jeder Zeit gleich.$$ y_2(x,t) = \hat y\sin(\omega t + kx) $$
- Superpositionsprinzip: Die Auslenkungen addieren sich an jedem Ort zu jedem Zeitpunkt.$$ y = y_1 + y_2 = \hat y\left[\sin(\omega t - kx) + \sin(\omega t + kx)\right] $$
- Additionstheorem $\sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}$ mit $a = \omega t - kx$ und $b = \omega t + kx$: Es ist $\dfrac{a+b}{2} = \omega t$ und $\dfrac{a-b}{2} = -kx$.$$ y = \hat y\cdot 2\sin(\omega t)\cos(-kx) = 2\hat y\cos(kx)\sin(\omega t) $$
- Dabei wurde $\cos(-kx) = \cos(kx)$ benutzt (der Kosinus ist eine gerade Funktion). Deutung: Der Zeitfaktor $\sin(\omega t)$ ist für alle Orte gleich – alle Punkte schwingen im Takt. Der Ortsfaktor $2\hat y\cos(kx)$ ist die Amplitude am Ort $x$; sie hängt nicht von $t$ ab. Nichts läuft, das Muster steht.
- Knoten liegen dort, wo die Amplitude null ist: $\cos(kx) = 0$, also $kx = (2m+1)\dfrac\pi2$. Mit $k = 2\pi/\lambda$ folgt die Lage der Knoten; der Abstand benachbarter Knoten ist $\lambda/2$.$$ x_{\text{Knoten}} = (2m+1)\frac{\lambda}{4},\qquad m = 0, 1, 2, \dots $$
- Bäuche liegen dort, wo $|\cos(kx)| = 1$, also $kx = m\pi$. Bei $x = 0$ – dem losen Ende – liegt ein Bauch mit Amplitude $2\hat y$.$$ x_{\text{Bauch}} = m\frac{\lambda}{2},\qquad m = 0, 1, 2, \dots $$
Formeln, die du sicher können musst
| Größe / Gesetz | Formel | Was sie sagt · wann sie gilt |
|---|---|---|
| Laufende Welle | $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - kx)$ | läuft in $+x$-Richtung mit $c = \omega/k = \lambda f$; $k = 2\pi/\lambda$, $\omega = 2\pi/T$ |
| Stehende Welle, loses Ende | $y(x,t) = 2\hat y\cos(kx)\sin(\omega t)$ | Regelheft-Form, Ursprung $x = 0$ am losen Ende; ortsabhängige Amplitude $2\hat y|\cos(kx)|$, kein Transport von Phase oder Energie |
| Stehende Welle, festes Ende | $y(x,t) = -2\hat y\sin(kx)\cos(\omega t)$ | Ursprung $x = 0$ am festen Ende; Phasensprung $\pi$ bei der Reflexion; Knoten bei $x = 0$ |
| Knoten und Bäuche | $x_{\text{K}} = (2m+1)\tfrac\lambda4,\; x_{\text{B}} = m\tfrac\lambda2$ | loses Ende bei $x = 0$; Knotenabstand $\lambda/2$, Knoten–Bauch $\lambda/4$; Messung: Knotenabstand → $\lambda$ |
| Saite fest–fest, Rohr offen–offen | $L = n\dfrac{\lambda_n}{2}$ | $f_n = n\,c/(2L)$; $n = 1$ Grundschwingung, alle Oberschwingungen $2f_1$, $3f_1$, … |
| Rohr geschlossen–offen | $L = (2n-1)\dfrac{\lambda_n}{4}$ | $f_n = (2n-1)\,c/(4L)$; Knoten am geschlossenen, Bauch am offenen Ende; nur ungerade Vielfache $f_1$, $3f_1$, $5f_1$ |
| Resonanzrohr (Regelheft) | $\dfrac\lambda4 = d_1,\qquad \lambda = 2(d_2 - d_1)$ | $d_1 = 0{,}19\,\mathrm{m}$ → $\lambda = 0{,}76\,\mathrm{m}$, mit $f = 440\,\mathrm{Hz}$: $c = 334\,\mathrm{m/s}$; Differenz zweier Resonanzen eliminiert die Mündungskorrektur |
| Schallgeschwindigkeit | $c = \lambda\cdot f$ | Luft $20\,^\circ\mathrm{C}$: $343\,\mathrm{m/s}$; Vergleich über relative Abweichung |
| Saite (Ausblick) | $c = \sqrt{F/\mu}$ | $F$ Spannkraft, $\mu$ Masse pro Länge; Stimmen = $F$ ändern, nicht herleiten |
Typische Fehler – und wie du die Punkte holst
- Knotenabstand mit $\lambda$ statt $\lambda/2$ angesetzt – $c$ kommt doppelt so groß heraus.Zwei benachbarte Knoten haben den Abstand $\lambda/2$ (aus $\cos(kx) = 0$ bei $kx = \pi/2, 3\pi/2, \dots$). Also $\lambda = 2\cdot$ Knotenabstand. Plausibilitätshaken: $c$ für Luft muss bei etwa $340\,\mathrm{m/s}$ liegen.
- Reflektierte Welle als $\hat y\sin(\omega t - kx)$ geschrieben oder das Additionstheorem falsch angewendet ($\sin a + \sin b = \sin(a+b)$).Rücklaufende Welle: Vorzeichen von $kx$ umdrehen, $y_2 = \hat y\sin(\omega t + kx)$. Theorem: $\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2$ – mit Probe $a = b$ prüfen. Dann $\frac{a+b}2 = \omega t$, $\frac{a-b}2 = -kx$ sauber hinschreiben.
- Beim einseitig geschlossenen Rohr $L = n\lambda/2$ verwendet, oder die 2. Resonanz bei $2f_1$ gesucht.Geschlossenes Ende = Knoten, offenes Ende = Bauch: Dazwischen passt ein ungerades Vielfaches von $\lambda/4$, $L = (2n-1)\lambda/4$. Die Resonanzen liegen bei $f_1, 3f_1, 5f_1, \dots$ Skizze mit Knoten und Bauch machen – dann sieht man es.
- Resonanzrohr nur mit der ersten Resonanz ausgewertet und die Abweichung vom Literaturwert als „Messfehler“ abgetan.Die Mündungskorrektur ($\lambda/4 = d_1 + e$) macht $c$ systematisch zu klein. Zweite Resonanz messen und $\lambda = 2(d_2 - d_1)$ benutzen; $e$ fällt heraus. Beurteilen heißt: Ursache benennen, Richtung des Fehlers erklären, Abhilfe nennen.
- „Die stehende Welle breitet sich mit $c$ aus“ oder „alle Punkte haben die Amplitude $2\hat y$“.Bei der stehenden Welle wandert nichts: Die Amplitude $2\hat y|\cos(kx)|$ ist ortsfest, nur Bäuche erreichen $2\hat y$, Knoten bleiben in Ruhe. $c$ steckt nur in der Beziehung $\lambda = c/f$ der beiden Teilwellen.
- Wellenlänge auf der Saite mit der Wellenlänge des Tons in der Luft verwechselt.Gleiche Frequenz, verschiedene $c$: Auf der Saite ($c \approx 143\,\mathrm{m/s}$ beim tiefen A) ist $\lambda_1 = 2L = 1{,}30\,\mathrm{m}$; in der Luft hat derselbe Ton $\lambda = 343/110\,\mathrm{m} = 3{,}1\,\mathrm{m}$. Immer dazuschreiben, in welchem Medium.
- Beim „Erläutern“ der Entstehung nur „Welle wird reflektiert“ geschrieben.Drei Sätze: Phänomen (ortsfeste Knoten und Bäuche) – Ursache (Überlagerung von hinlaufender und reflektierter Welle gleicher Frequenz und Amplitude) – Bedingung (Knoten, wo sich beide stets auslöschen: $\cos(kx) = 0$, Abstand $\lambda/2$; Resonanz, wenn $\lambda$ zur Länge passt).
- Erläutern (Entstehung, Knoten/Bäuche, Resonanz, warum nur ungerade Obertöne): Phänomen → Ursache (Überlagerung gegenläufiger Wellen, Reflexion mit/ohne Phasensprung) → Bedingung ($\cos(kx) = 0$, $L = n\lambda/2$ bzw. $(2n-1)\lambda/4$). Fachbegriffe: Superposition, Knoten, Bauch, Eigenfrequenz, Grundschwingung, Resonanz.
- Leiten Sie her: Ansatz $y_1$, $y_2$ mit begründeten Vorzeichen (Laufrichtung, Phasensprung), Additionstheorem explizit, Deutung des Produkts, Knoten und Bäuche aus $\cos(kx)$; Skizze der Momentanbilder; Schlusssatz.
- Berechnen / Bestimmen ($\lambda$, $c$, $f_n$, $L$): Skizze mit Knoten und Bäuchen zuerst, daraus die Beziehung zwischen $L$ und $\lambda$ ablesen, dann $c = \lambda f$; Einheiten; SCI-3; Antwortsatz.
- Beurteilen (Messung der Schallgeschwindigkeit): relative Abweichung vom Literaturwert, systematische Ursache (Mündungskorrektur, Temperatur), Verbesserung (zweite Resonanz, Differenzmethode, Mittelwert über mehrere Knoten).
5 harte Fragen – hast du es wirklich verstanden?
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Schallgeschwindigkeit mit dem Resonanzrohr
Über ein Glasrohr, dessen unterer Teil mit Wasser gefüllt ist, wird eine Stimmgabel mit $f = 512\,\mathrm{Hz}$ gehalten. Beim Absenken des Wasserspiegels wird der Ton zum ersten Mal deutlich lauter, wenn die Luftsäule $d_1 = 16{,}2\,\mathrm{cm}$ lang ist, zum zweiten Mal bei $d_2 = 49{,}7\,\mathrm{cm}$ (Ablesegenauigkeit jeweils $\pm 2\,\mathrm{mm}$).
- Erläutere mit einer Skizze, warum bei diesen Längen Resonanz auftritt.
- Bestimme die Schallgeschwindigkeit zunächst nur aus $d_1$ (Verfahren des Regelhefts) und dann aus beiden Längen. Vergleiche beide Werte mit dem Literaturwert $343\,\mathrm{m/s}$.
- Beurteile, welches Verfahren das bessere ist, und begründe die Richtung der Abweichung in b). Gib für das bessere Verfahren ein Unsicherheitsintervall an.
- 3 Pa) Skizze: Rohr, Wasserspiegel = festes Ende = Knoten, Öffnung = Bauch; bei $d_1$ passt $\lambda/4$, bei $d_2$ passt $3\lambda/4$ hinein; Erläuterung: Stimmgabel regt Luftsäule an, Reflexion am Wasser, stehende Welle bei passender Länge → Resonanz, Ton laut
- 2 Pb) $\lambda = 4d_1 = 0{,}648\,\mathrm{m}$, $c = \lambda f = 332\,\mathrm{m/s}$, Abweichung $-3{,}3\,\%$
- 2 Pb) $\lambda/2 = d_2 - d_1 = 0{,}335\,\mathrm{m}$, $\lambda = 0{,}670\,\mathrm{m}$, $c = 343\,\mathrm{m/s}$, Abweichung $0{,}0\,\%$
- 3 Pc) Differenzverfahren besser: Mündungskorrektur $e$ ($\lambda/4 = d_1 + e$) fällt heraus; $e = (d_2 - 3d_1)/2 = 5{,}5\,\mathrm{mm}$ erklärt, dass $c$ aus $d_1$ zu klein ist; Unsicherheit: $\Delta(d_2 - d_1) = \pm 4\,\mathrm{mm}$ → $1{,}2\,\%$ → $c \in [339;\,347]\,\mathrm{m/s}$, Literaturwert enthalten
a) Skizze: Senkrechtes Rohr, unten Wasser; über der Öffnung die Stimmgabel; in der Luftsäule die Einhüllende der stehenden Welle mit Bauch an der Öffnung und Knoten am Wasserspiegel – bei $d_1$ ein Viertel Wellenlänge (Bauch–Knoten), bei $d_2$ drei Viertel (Bauch–Knoten–Bauch–Knoten).
Die Stimmgabel sendet eine Schallwelle in das Rohr, die am Wasserspiegel reflektiert wird. Der Wasserspiegel ist ein festes Ende (die Luft kann sich dort nicht bewegen): Knoten. Die offene Mündung ist ein loses Ende: Bauch. Hinlaufende und reflektierte Welle überlagern sich zu einer stehenden Welle, wenn beide Randbedingungen erfüllt sind – also wenn die Luftsäule ein ungerades Vielfaches von $\lambda/4$ lang ist, $d = (2n-1)\lambda/4$. Dann verstärken sich die Wellen bei jedem Umlauf, die Amplitude wird groß und der Ton laut: Resonanz. Bei $d_1$ ist $n = 1$ ($\lambda/4$), bei $d_2$ ist $n = 2$ ($3\lambda/4$).
b) Nur aus $d_1$: $\dfrac\lambda4 = d_1 \Rightarrow \lambda = 4\cdot 0{,}162\,\mathrm{m} = 0{,}648\,\mathrm{m}$, also $c = \lambda f = 0{,}648\,\mathrm{m}\cdot 512\,\mathrm{Hz} = 332\,\mathrm{m/s}$. Relative Abweichung: $\dfrac{332 - 343}{343} = -3{,}3\,\%$.
Aus beiden Längen: $d_2 - d_1 = \dfrac{3\lambda}4 - \dfrac\lambda4 = \dfrac\lambda2$, also $\lambda = 2(d_2 - d_1) = 2\cdot(0{,}497 - 0{,}162)\,\mathrm{m} = 0{,}670\,\mathrm{m}$ und $c = 0{,}670\,\mathrm{m}\cdot 512\,\mathrm{Hz} = 343\,\mathrm{m/s}$. Abweichung vom Literaturwert: $0{,}0\,\%$.
c) Das Differenzverfahren ist besser. Der Bauch liegt nicht genau in der Rohröffnung, sondern um die Mündungskorrektur $e$ darüber; die wirksamen Längen sind $d_1 + e = \lambda/4$ und $d_2 + e = 3\lambda/4$. Wertet man nur $d_1$ aus, fehlt $e$: $\lambda$ und damit $c$ werden systematisch zu klein – genau das zeigt die Abweichung von $-3{,}3\,\%$. In der Differenz $d_2 - d_1$ hebt sich $e$ weg. Aus den Messwerten folgt sogar $e = \dfrac{d_2 - 3d_1}{2} = \dfrac{0{,}497 - 0{,}486}{2}\,\mathrm{m} = 5{,}5\,\mathrm{mm}$, ein plausibler Wert für ein Rohr von etwa $1\,\mathrm{cm}$ Radius.
Unsicherheit des Differenzverfahrens: Beide Längen sind auf $\pm 2\,\mathrm{mm}$ genau, die Differenz also auf $\pm 4\,\mathrm{mm}$; relativ $\dfrac{4}{335} = 1{,}2\,\%$. Da $c \propto (d_2 - d_1)$, gilt $\Delta c = 0{,}012\cdot 343\,\mathrm{m/s} = 4\,\mathrm{m/s}$ und $c \in [339\,\mathrm{m/s};\,347\,\mathrm{m/s}]$. Der Literaturwert liegt im Intervall – die Messung ist mit $343\,\mathrm{m/s}$ verträglich. (Die Temperatur bleibt als zweite Einflussgröße: $c$ steigt um etwa $0{,}6\,\mathrm{m/s}$ je Kelvin.)
Herleitung und Deutung der Gleichung
- Leite die Gleichung der stehenden Welle her, die bei der Reflexion einer Welle $y_1 = \hat y\sin(\omega t - kx)$ am losen Ende $x = 0$ entsteht. Skizziere die Momentanbilder.
- Bestimme aus der Gleichung die Lage der Knoten und zeige, dass benachbarte Knoten den Abstand $\lambda/2$ haben.
- Erläutere, worin sich die Bewegung zweier Punkte unterscheidet, die $\lambda/8$ bzw. $3\lambda/8$ vom losen Ende entfernt sind, und gib ihre Amplituden an.
- 3 Pa) $y_2 = \hat y\sin(\omega t + kx)$ mit Begründung (Gegenrichtung, kein Phasensprung); Superposition; Additionstheorem mit $\frac{a+b}2 = \omega t$, $\frac{a-b}2 = -kx$; $y = 2\hat y\cos(kx)\sin(\omega t)$; Skizze
- 1 Pa) Deutung: Produkt aus Ortsfaktor (Amplitude $2\hat y|\cos kx|$) und Zeitfaktor; keine Ausbreitung
- 2 Pb) Knoten bei $\cos(kx) = 0$ → $kx = (2m+1)\pi/2$ → $x = (2m+1)\lambda/4$; Differenz zweier benachbarter: $\lambda/2$
- 2 Pc) beide im selben Abschnitt zwischen Bauch ($x=0$) und Knoten ($\lambda/4$)? Nein: $3\lambda/8$ liegt jenseits des Knotens → gegenphasig; Amplituden $2\hat y\cos(\pi/4) = 1{,}41\hat y$ und $2\hat y|\cos(3\pi/4)| = 1{,}41\hat y$, gleich groß, aber entgegengesetzte Richtung
a) Die reflektierte Welle läuft in $-x$-Richtung, hat dieselbe Amplitude und Frequenz, und weil am losen Ende kein Phasensprung auftritt, lautet sie $y_2 = \hat y\sin(\omega t + kx)$ (bei $x = 0$ stimmen $y_1$ und $y_2$ überein). Nach dem Superpositionsprinzip: $$y = \hat y\left[\sin(\omega t - kx) + \sin(\omega t + kx)\right].$$ Additionstheorem $\sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a+b}2\cos\dfrac{a-b}2$ mit $a = \omega t - kx$, $b = \omega t + kx$, also $\dfrac{a+b}2 = \omega t$ und $\dfrac{a-b}2 = -kx$: $$y = 2\hat y\sin(\omega t)\cos(-kx) = 2\hat y\cos(kx)\sin(\omega t),$$ da der Kosinus gerade ist. Skizze: drei Momentanbilder über $x$ (etwa $t = T/4$: $y_1$ und $y_2$ als gegeneinander verschobene Sinuskurven, $y$ als Summe mit festen Nullstellen). Deutung: Der Zeitfaktor $\sin(\omega t)$ ist für alle Orte gleich, der Ortsfaktor $2\hat y\cos(kx)$ ist eine ortsabhängige, zeitlich konstante Amplitude – das Muster bewegt sich nicht. Schlusssatz: Die Überlagerung ergibt die stehende Welle $y = 2\hat y\cos(kx)\sin(\omega t)$, was zu zeigen war.
b) Knoten sind Orte, die stets in Ruhe bleiben: $y = 0$ für alle $t$, also $\cos(kx) = 0$. Das gilt für $kx = \dfrac\pi2, \dfrac{3\pi}2, \dfrac{5\pi}2, \dots = (2m+1)\dfrac\pi2$. Mit $k = 2\pi/\lambda$ folgt $x_m = (2m+1)\dfrac\lambda4$, also $x = \dfrac\lambda4, \dfrac{3\lambda}4, \dfrac{5\lambda}4, \dots$ Der Abstand benachbarter Knoten ist $x_{m+1} - x_m = \dfrac{(2m+3) - (2m+1)}{4}\lambda = \dfrac\lambda2$, was zu zeigen war.
c) Punkt A bei $x = \lambda/8$: $kx = \dfrac{2\pi}\lambda\cdot\dfrac\lambda8 = \dfrac\pi4$, Amplitude $2\hat y\cos\dfrac\pi4 = 2\hat y\cdot 0{,}707 = 1{,}41\,\hat y$. Punkt B bei $x = 3\lambda/8$: $kx = \dfrac{3\pi}4$, $\cos\dfrac{3\pi}4 = -0{,}707$, Amplitude ebenfalls $1{,}41\,\hat y$. Beide schwingen mit derselben Frequenz und derselben Amplitude, aber der Ortsfaktor hat entgegengesetztes Vorzeichen: Zwischen A und B liegt der Knoten bei $\lambda/4$. A gehört zum Abschnitt mit dem Bauch bei $x = 0$, B zum nächsten Abschnitt. Sie schwingen daher gegenphasig – wenn A oben ist, ist B unten. Alle Punkte innerhalb eines Abschnitts (etwa A und der Bauch bei $x = 0$) schwingen dagegen gleichphasig.
Transfer: Gitarrensaite und Luftsäule
Die tiefe A-Saite einer Gitarre hat zwischen Sattel und Steg die schwingende Länge $L = 0{,}650\,\mathrm{m}$ und ist auf $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ gestimmt.
- Bestimme die Wellenlänge der Grundschwingung auf der Saite und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle auf der Saite. Skizziere Grund- und erste Oberschwingung.
- Berechne die Wellenlänge des erzeugten Tons in der Luft ($c = 343\,\mathrm{m/s}$) und erläutere, warum sie sich von der Wellenlänge auf der Saite unterscheidet.
- Um welche Strecke muss die Saite verkürzt werden (Bund gegriffen), damit sie mit $146{,}8\,\mathrm{Hz}$ (Ton D) schwingt? Begründe, welche Größe dabei gleich bleibt.
- 3 Pa) Knoten an beiden Enden → $L = \lambda_1/2$ → $\lambda_1 = 1{,}30\,\mathrm{m}$; $c = \lambda_1 f_1 = 143\,\mathrm{m/s}$; Skizze: ein Bauch ($n=1$), zwei Bäuche mit Knoten in der Mitte ($n=2$, $220\,\mathrm{Hz}$)
- 2 Pb) $\lambda_{\text{Luft}} = c/f = 343/110\,\mathrm{m} = 3{,}12\,\mathrm{m}$; gleiche Frequenz (Saite regt Luft mit ihrer Frequenz an), aber andere Ausbreitungsgeschwindigkeit → andere Wellenlänge
- 3 Pc) $c$ auf der Saite bleibt gleich (Spannkraft und $\mu$ unverändert); $f_1 = c/(2L)$ → $L' = c/(2f') = 0{,}487\,\mathrm{m}$; Verkürzung $0{,}163\,\mathrm{m} = 16{,}3\,\mathrm{cm}$; Antwortsatz
a) Die Saite ist an beiden Enden fest eingespannt, also liegen dort Knoten. In der Grundschwingung befindet sich genau ein Bauch dazwischen: $L = \dfrac{\lambda_1}2$, also $\lambda_1 = 2L = 1{,}30\,\mathrm{m}$. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf der Saite folgt aus $c = \lambda_1 f_1 = 1{,}30\,\mathrm{m}\cdot 110\,\mathrm{Hz} = 143\,\mathrm{m/s}$. Skizze: Grundschwingung – eine Einhüllende mit einem Bauch in der Mitte; erste Oberschwingung ($n = 2$) – zwei Bäuche, zusätzlicher Knoten in der Saitenmitte, $\lambda_2 = L = 0{,}650\,\mathrm{m}$, $f_2 = 2f_1 = 220\,\mathrm{Hz}$.
b) Die Saite regt die Luft mit ihrer Schwingungsfrequenz an; die Frequenz des Tons ist daher ebenfalls $110\,\mathrm{Hz}$. In der Luft breitet sich Schall aber mit $343\,\mathrm{m/s}$ aus statt mit $143\,\mathrm{m/s}$: $\lambda_{\text{Luft}} = \dfrac{c_{\text{Luft}}}{f} = \dfrac{343\,\mathrm{m/s}}{110\,\mathrm{Hz}} = 3{,}12\,\mathrm{m}$. Die Wellenlänge ist eine Eigenschaft von Welle und Medium ($\lambda = c/f$); beim Übergang Saite → Luft bleibt $f$ erhalten, $c$ ändert sich, also auch $\lambda$ – um den Faktor $343/143 = 2{,}4$.
c) Beim Greifen ändern sich weder Spannkraft noch Masse pro Länge, also bleibt die Wellengeschwindigkeit $c = 143\,\mathrm{m/s}$ auf der Saite gleich. Aus $f_1 = \dfrac{c}{2L}$ folgt für die neue Frequenz $f' = 146{,}8\,\mathrm{Hz}$: $$L' = \frac{c}{2f'} = \frac{143\,\mathrm{m/s}}{2\cdot 146{,}8\,\mathrm{Hz}} = 0{,}487\,\mathrm{m}.$$ Die Saite muss um $L - L' = 0{,}650\,\mathrm{m} - 0{,}487\,\mathrm{m} = 0{,}163\,\mathrm{m} = 16{,}3\,\mathrm{cm}$ verkürzt werden – das entspricht dem fünften Bund. Kontrolle: $f'/f_1 = 146{,}8/110 = 1{,}335 = L/L'$, Frequenz und Länge sind umgekehrt proportional.
In einem Kundtschen Rohr sammelt sich der Korkstaub bei $f = 2100\,\mathrm{Hz}$ in Häufchen, die $8{,}0\,\mathrm{cm}$ voneinander entfernt sind. Welche Schallgeschwindigkeit ergibt sich?
Ein einseitig geschlossenes Rohr hat die Grundfrequenz $f_1 = 172\,\mathrm{Hz}$. Bei welcher Frequenz tritt die nächste Resonanz auf?
Meine Notizen zu „Stehende Wellen: Saite, Rohr, Resonanz“
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