Harmonische Schwingungen: Feder- und Fadenpendel, DGL, Energie, Resonanz

• 4 Pa) $\dot y = -\hat y\omega\sin(\omega t)$, $\ddot y = -\hat y\omega^2\cos(\omega t) = -\omega^2 y$ (Kettenregel sichtbar); Einsetzen: $-m\omega^2 y = -Dy$ ⇒ $\omega^2 = D/m$ ⇒ $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/D}$; Cosinus, weil bei $t = 0$ die Auslenkung maximal und $v = 0$ ist (Start aus der Ruhe am Umkehrpunkt)
• 3 Pb) $\omega = 6{,}32\,\mathrm{s^{-1}}$, $T = 0{,}993\,\mathrm{s}$; $v_{max} = \hat y\omega = 0{,}253\,\mathrm{m/s}$; $a_{max} = \hat y\omega^2 = 1{,}60\,\mathrm{m/s^2}$; $E = \tfrac12 D\hat y^2 = 8{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{J}$ (Kontrolle $\tfrac12 mv_{max}^2$)
• 3 Pc) $\cos(\omega t) = \tfrac12$ ⇒ $\omega t = \pi/3$ ⇒ $t = T/6 = 0{,}166\,\mathrm{s}$; $v = \hat y\omega\sin(\pi/3) = 0{,}219\,\mathrm{m/s}$ (oder über Energie: $\tfrac12 mv^2 = E - \tfrac12 D(\hat y/2)^2$)

a) Ansatz $y(t) = \hat y\cos(\omega t)$. Ableiten mit der Kettenregel (innere Ableitung $\omega$): $$\dot y(t) = -\hat y\,\omega\sin(\omega t),\qquad \ddot y(t) = -\hat y\,\omega^2\cos(\omega t) = -\omega^2\,y(t).$$ Einsetzen in $m\ddot y = -Dy$: $-m\omega^2 y = -Dy$. Das gilt für alle $t$ genau dann, wenn $m\omega^2 = D$, also $\omega = \sqrt{D/m}$. Die Periode folgt aus $\omega T = 2\pi$: $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}$, was zu zeigen war. Der Cosinus passt zu den Anfangsbedingungen: Bei $t = 0$ ist $y(0) = \hat y$ (maximale Auslenkung, der Körper wird am Umkehrpunkt losgelassen) und $\dot y(0) = 0$ (aus der Ruhe). Ein Sinus-Ansatz hätte $y(0) = 0$ und $v(0) = v_{max}$ – das wäre ein Start in der Ruhelage mit Anstoß. (Allgemein: $\hat y\sin(\omega t + \varphi_0)$ mit $\varphi_0 = \pi/2$.)

b) $\omega = \sqrt{\dfrac{D}{m}} = \sqrt{\dfrac{10{,}0\,\mathrm{N/m}}{0{,}250\,\mathrm{kg}}} = 6{,}32\,\mathrm{s^{-1}}$, $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 0{,}993\,\mathrm{s}$ (also $f = 1{,}01\,\mathrm{Hz}$).
$v_{max} = \hat y\,\omega = 0{,}040\,\mathrm{m}\cdot 6{,}32\,\mathrm{s^{-1}} = 0{,}253\,\mathrm{m/s}$ beim Durchgang durch die Ruhelage.
$a_{max} = \hat y\,\omega^2 = 0{,}040\,\mathrm{m}\cdot 40{,}0\,\mathrm{s^{-2}} = 1{,}60\,\mathrm{m/s^2}$ an den Umkehrpunkten (Kontrolle: $a_{max} = F_{max}/m = D\hat y/m = 10\cdot 0{,}04/0{,}25 = 1{,}6\,\mathrm{m/s^2}$).
$E = \tfrac12 D\hat y^2 = \tfrac12\cdot 10{,}0\,\mathrm{N/m}\cdot(0{,}040\,\mathrm{m})^2 = 8{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{J}$; Kontrolle: $\tfrac12 m v_{max}^2 = \tfrac12\cdot 0{,}250\cdot 0{,}253^2\,\mathrm{J} = 8{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{J}$ – stimmt.

c) Bedingung $y = \hat y/2$: $\cos(\omega t) = \tfrac12$, kleinste positive Lösung $\omega t = \dfrac{\pi}{3}$ (Bogenmaß!), also $t = \dfrac{\pi}{3\omega} = \dfrac{\pi}{3\cdot 6{,}32\,\mathrm{s^{-1}}} = 0{,}166\,\mathrm{s}$ – das ist genau $T/6$, nicht $T/8$, wie man bei „halber Strecke“ vermuten könnte: Nahe dem Umkehrpunkt ist der Körper langsam. Geschwindigkeit: $v = \dot y = -\hat y\omega\sin(\omega t) = -0{,}253\,\mathrm{m/s}\cdot\sin\dfrac{\pi}{3} = -0{,}219\,\mathrm{m/s}$ (Betrag $0{,}219\,\mathrm{m/s}$, Richtung zur Ruhelage). Kontrolle über die Energie: $\tfrac12 m v^2 = E - \tfrac12 D(\hat y/2)^2 = 8{,}0\cdot 10^{-3} - 2{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{J} = 6{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{J}$, also $v = \sqrt{2\cdot 6{,}0\cdot 10^{-3}/0{,}250}\,\mathrm{m/s} = 0{,}219\,\mathrm{m/s}$ – bei halber Auslenkung sind bereits $75\,\%$ der Energie Bewegungsenergie.

• 3 Pa) Skizze mit $mg$, Zerlegung in Faden- und Tangentialrichtung; rücktreibend $F = -mg\sin\varphi$; Kleinwinkelnäherung $\sin\varphi\approx\varphi$ (Bogenmaß, $\varphi \lesssim 10^\circ$) und $y = l\varphi$ ⇒ $F = -\dfrac{mg}{l}y$ – linear ⇒ harmonisch; $D_{\text{eff}} = mg/l$ ⇒ $T = 2\pi\sqrt{m/D_{\text{eff}}} = 2\pi\sqrt{l/g}$
• 3 Pb) $T^2 = (4\pi^2/g)\,l$: $T^2$-Werte $1{,}61$; $2{,}43$; $3{,}24$; $4{,}04$; $4{,}84\,\mathrm{s^2}$; Ausgleichsgerade durch den Ursprung, Steigung $m_G \approx 4{,}03\,\mathrm{s^2/m}$; $g = 4\pi^2/m_G = 9{,}80\,\mathrm{m/s^2}$
• 1 Pb) Abweichung vom Literaturwert $9{,}81$: $-0{,}1\,\%$ – sehr gute Übereinstimmung
• 3 Pc) $T = 2{,}01\,\mathrm{s}$ mit $\Delta T = 0{,}02\,\mathrm{s}$ (1 %); $g\propto T^{-2}$ ⇒ $\Delta g/g = 2\Delta T/T = 2\,\%$ ⇒ $g = (9{,}77\pm 0{,}20)\,\mathrm{m/s^2}$; bei $40^\circ$: $T$ um $3{,}1\,\%$ zu lang ⇒ $g$ um $6\,\%$ zu klein ($\approx 9{,}2$), größer als die Messunsicherheit ⇒ Näherung wäre unzulässig

a) Skizze: Faden der Länge $l$, Kugel um $\varphi$ ausgelenkt, Gewichtskraft $mg$ senkrecht nach unten, zerlegt in eine Komponente entlang des Fadens ($mg\cos\varphi$, wird von der Fadenkraft kompensiert) und eine Komponente tangential zur Bahn ($mg\sin\varphi$, zur Ruhelage gerichtet). Rücktreibende Kraft: $F = -mg\sin\varphi$. Das ist nicht proportional zur Auslenkung – also zunächst keine harmonische Schwingung. Für kleine Winkel gilt die Näherung $\sin\varphi\approx\varphi$ (Bogenmaß; bei $5^\circ$ Fehler $0{,}1\,\%$, bei $10^\circ$ $0{,}5\,\%$). Mit der Bogenlänge $y = l\varphi$ wird $$F\approx -mg\,\varphi = -\frac{mg}{l}\,y = -D_{\text{eff}}\,y,\qquad D_{\text{eff}} = \frac{mg}{l}.$$ Das ist ein lineares Kraftgesetz, die Schwingung ist (näherungsweise) harmonisch, und mit $T = 2\pi\sqrt{m/D}$ folgt $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/l}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},$$ unabhängig von $m$ und von der Amplitude – gültig für kleine Winkel, was zu zeigen war.

b) Linearisierung: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$ ist eine Ursprungsgerade in $T^2$ gegen $l$. Aus den Messwerten ($T = 10T/10$):

Die Punkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung (Achsenabschnitt $\approx 0{,}01\,\mathrm{s^2}$, vernachlässigbar) – das Gesetz $T^2\propto l$ ist bestätigt. Steigung der Ausgleichsgeraden (rechnerisch mit $\bar l = 0{,}800\,\mathrm{m}$, $\overline{T^2} = 3{,}23\,\mathrm{s^2}$): $m_G = \dfrac{\sum(l-\bar l)(T^2-\overline{T^2})}{\sum(l-\bar l)^2} = \dfrac{1{,}612}{0{,}400}\,\mathrm{s^2/m} = 4{,}03\,\mathrm{s^2/m}$ (grafisch: z. B. zwischen $l = 0{,}4$ und $1{,}2\,\mathrm{m}$ steigt $T^2$ um $3{,}23\,\mathrm{s^2}$, also $4{,}04\,\mathrm{s^2/m}$). Damit $$g = \frac{4\pi^2}{m_G} = \frac{39{,}48}{4{,}03\,\mathrm{s^2/m}} = 9{,}80\,\mathrm{m/s^2}.$$ Relative Abweichung vom Literaturwert: $\dfrac{9{,}80 - 9{,}81}{9{,}81} = -0{,}1\,\%$ – die Messung stimmt innerhalb der Unsicherheit mit $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ überein.

c) Bei $l = 1{,}000\,\mathrm{m}$: $10T = (20{,}1\pm 0{,}2)\,\mathrm{s}$, also $T = (2{,}010\pm 0{,}020)\,\mathrm{s}$, relative Unsicherheit $1{,}0\,\%$. Wegen $g = 4\pi^2 l/T^2\propto T^{-2}$ verdoppelt sich die relative Unsicherheit: $\dfrac{\Delta g}{g} = 2\cdot\dfrac{\Delta T}{T} = 2{,}0\,\%$. Aus diesem einen Wertepaar: $g = \dfrac{4\pi^2\cdot 1{,}000}{2{,}010^2}\,\mathrm{m/s^2} = 9{,}77\,\mathrm{m/s^2}$, also $g = (9{,}77\pm 0{,}20)\,\mathrm{m/s^2}$ – der Literaturwert liegt im Intervall. (Das Stoppen von 10 Perioden statt einer ist genau deshalb wichtig: Mit $\pm 0{,}2\,\mathrm{s}$ auf eine einzige Periode wären es $20\,\%$.)

Beurteilung der Amplitude: Bei $40^\circ$ ist die wahre Periode um $3{,}1\,\%$ länger als $2\pi\sqrt{l/g}$. Wertet man trotzdem mit der Näherungsformel aus, erhält man $g = 4\pi^2 l/T^2$ mit einem um $3{,}1\,\%$ zu großen $T$, also ein um $2\cdot 3{,}1\,\% \approx 6\,\%$ zu kleines $g$: etwa $9{,}2\,\mathrm{m/s^2}$ statt $9{,}8$. Dieser systematische Fehler ist dreimal so groß wie die Messunsicherheit von $2\,\%$ und würde das Ergebnis deutlich verfälschen – ein Pendel mit $40^\circ$ Amplitude ist für diese Messung ungeeignet; bei $5^\circ$ ($0{,}05\,\%$) ist die Näherung dagegen völlig unproblematisch.

• 3 Pa) $D = 80\,\mathrm{kN/m}$, $\omega_0 = \sqrt{D/m} = 8{,}16\,\mathrm{s^{-1}}$, $f_0 = 1{,}30\,\mathrm{Hz}$; Dämpfungskraft $\propto v$ ⇒ exponentielle Abnahme der Amplitude (gleicher Faktor pro Zeitintervall); $e^{-\delta\cdot 1{,}5\,\mathrm{s}} = \tfrac12$ ⇒ $\delta = \ln 2/1{,}5\,\mathrm{s} = 0{,}46\,\mathrm{s^{-1}}$
• 3 Pb) Erregerfrequenz $f_E = v/10\,\mathrm{m}$; Resonanz bei $f_E = f_0$ ⇒ $v = 13{,}0\,\mathrm{m/s} = 47\,\mathrm{km/h}$; ohne Dämpfung wächst die Amplitude mit jeder Rille (Resonanzkatastrophe: Bodenkontakt verloren, Bauteile überlastet); Phasenverschiebung $90^\circ$ – Erregung immer in Bewegungsrichtung, maximale Energiezufuhr
• 2 Pc) Weichere Federn senken nur $f_0$ ($f_0\propto\sqrt D$) – Resonanz tritt dann bei kleinerer Geschwindigkeit auf, bleibt aber; außerdem größere statische Einfederung; wirksam ist Dämpfung (Stoßdämpfer), die die Resonanzamplitude begrenzt

a) Vier parallele Federn: $D = 4\cdot 20\,\mathrm{kN/m} = 80\,\mathrm{kN/m} = 8{,}0\cdot 10^4\,\mathrm{N/m}$. Eigenkreisfrequenz $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{D}{m}} = \sqrt{\dfrac{8{,}0\cdot 10^4\,\mathrm{N/m}}{1200\,\mathrm{kg}}} = 8{,}16\,\mathrm{s^{-1}}$, also $f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = 1{,}30\,\mathrm{Hz}$ und $T_0 = 0{,}770\,\mathrm{s}$ – die typische „Wipp-Frequenz“ einer Karosserie.

Ein Stoßdämpfer presst Öl durch enge Kanäle; die Reibungskraft ist dabei proportional zur Geschwindigkeit, $F_R = -k\,v$. Bei einer solchen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung verliert die Schwingung in jeder Periode denselben Bruchteil ihrer Energie, die Amplitude nimmt also in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor ab – das ist die Kennzeichnung einer Exponentialfunktion: $\hat y(t) = \hat y_0 e^{-\delta t}$. Aus der Halbierung nach $1{,}5\,\mathrm{s}$: $e^{-\delta\cdot 1{,}5\,\mathrm{s}} = \tfrac12$ ⇒ $\delta = \dfrac{\ln 2}{1{,}5\,\mathrm{s}} = 0{,}46\,\mathrm{s^{-1}}$. Nach $3\,\mathrm{s}$ ist die Amplitude auf ein Viertel, nach etwa $5\,\mathrm{s}$ auf ein Zehntel gefallen; die Periode bleibt dabei praktisch $T_0$.

b) Jede Rille gibt der Karosserie einen Stoß; bei der Geschwindigkeit $v$ und dem Rillenabstand $s = 10\,\mathrm{m}$ ist die Erregerfrequenz $f_E = \dfrac{v}{s}$. Resonanz bei $f_E = f_0$: $$v = f_0\cdot s = 1{,}30\,\mathrm{s^{-1}}\cdot 10\,\mathrm{m} = 13{,}0\,\mathrm{m/s} = 47\,\mathrm{km/h}.$$ Bei dieser Geschwindigkeit trifft jeder Stoß die Karosserie genau im Takt ihrer Eigenschwingung. Ohne Stoßdämpfer wird in jeder Periode Energie zugeführt und fast keine abgeführt: Die Amplitude wächst von Rille zu Rille weiter an (Resonanzkatastrophe) – die Räder verlieren den Bodenkontakt, Federn und Aufhängung werden überlastet, das Fahrzeug wird unkontrollierbar. Die Phasenverschiebung zwischen Erreger (Straße) und Karosserie beträgt bei Resonanz $90^\circ$ ($\pi/2$): Die Karosserie läuft eine Viertelperiode hinterher, sodass die Anregung stets in Richtung der momentanen Bewegung wirkt – genau dann ist die Energiezufuhr pro Periode maximal. Mit Stoßdämpfern wird die Amplitude auf einen endlichen Wert begrenzt, bei dem die pro Periode zugeführte Energie gleich der durch Dämpfung abgeführten ist.

c) Weichere Federn verkleinern $D$ und damit $f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{D/m}$ – bei einem Viertel der Federkonstante halbiert sich $f_0$. Die Resonanz verschwindet dadurch aber nicht, sie wandert nur zu einer anderen Geschwindigkeit ($v_{res} = f_0 s$ wird kleiner, bei einem Viertel von $D$ etwa $23\,\mathrm{km/h}$), die auf einer Landstraße genauso vorkommt. Zudem sinkt die Karosserie statisch um $mg/D$ tiefer ein und schlägt bei Beladung durch. Der Vorschlag ist also ungeeignet. Wirksam gegen Resonanz ist nicht das Verschieben der Eigenfrequenz, sondern die Dämpfung: Stoßdämpfer begrenzen die Resonanzamplitude und verbreitern die Resonanzkurve, sodass bei keiner Geschwindigkeit eine gefährliche Amplitude entsteht. (Aus demselben Grund setzt man bei Brücken und Hochhäusern Schwingungstilger ein statt nur die Steifigkeit zu ändern.)